小学二年级数学《有余数除法的初步认识》教案

小学二年级数学《有余数除法的初步认识》教案

  一、教学内容分析

  本节课选自人教版小学数学二年级下册第六单元《有余数的除法》第一课时，是学生在已经掌握了表内除法以及“平均分”的两种不同情况（等分除、包含除）的基础上，进行的一次重要的概念扩展与深化学习。有余数除法的引入，标志着学生对除法运算的理解从“完全平均分”的整数结果，迈向“不能完全平均分”的现实世界，这是整数除法认识过程中的一个关键转折点，也是后续学习多位数除法、理解除法算理、乃至未来学习小数和分数的重要认知基石。

    本节课的核心内容是“有余数除法的意义”。它并非一个孤立的计算知识点，而是对“平均分”过程与结果更全面、更真实的数学刻画。教材通常通过创设“将一些物品平均分给若干份”的情境，引导学生经历“分一分、摆一摆”的实践活动，直观地发现在平均分的过程中，存在“正好分完”和“分后还有剩余”两种结果。通过对比这两种结果，引导学生用数学语言（算式）描述“有剩余”的分配过程，从而自然地引出“余数”概念，并初步建立有余数除法的算式模型（被除数÷除数=商……余数），理解余数的含义及其与除数的大小关系（余数<除数）。

    从知识结构看，本节课上承“表内除法”和“平均分”，下启“有余数除法的竖式计算”、“解决问题”以及后续所有的除法学习。从数学思想方法看，它渗透了数学建模思想（用算式表征现实分物过程）、归纳概括思想（从具体操作中抽象出共同特征）和极限思想（理解余数一定比除数小的道理）。因此，本课的教学设计必须建立在学生充分的动手操作和直观体验之上，引导学生在对比、观察、交流中主动建构新知，实现从具体形象思维到初步抽象逻辑思维的顺利过渡。

  二、学情分析

  本课的教学对象是小学二年级下学期的学生。他们的思维特点是以具体形象思维为主，正逐步向抽象逻辑思维过渡。学习新知需要依赖大量的直观感知和动手操作活动。

    在知识储备上，学生已经熟练掌握了乘法口诀，能够比较熟练地进行表内除法的口算，清晰理解了“平均分”的含义，并能用除法算式表示平均分的过程和结果。这是学习本课最直接、最重要的认知基础。

    在能力与经验上，学生具备初步的动手操作能力（如摆小棒）、观察比较能力和小组合作交流的能力。他们习惯于从具体的生活情境或操作活动中发现并提出简单的数学问题。

    然而，学生可能面临的学习难点在于：第一，从“正好分完”的思维定势中跳出来，接受“分不完”或“有剩余”也是一种合理的、普遍存在的数学现象。第二，将“有剩余”的直观操作过程，用一个新的、含有“……”的算式形式进行表征，理解这种表征方式各部分的具体含义。第三，理解“余数”的本质是“平均分后剩下的、不够再分一份的”部分，并由此直观地感知“余数必须比除数小”的道理，而非机械记忆规则。

    因此，教学设计的核心任务是为学生搭建从旧知到新知的“脚手架”，通过设计层层递进的、富有挑战性的分物任务，制造认知冲突，激发探究欲望，引导学生在“做数学”中亲身感悟、理解并接纳有余数除法这一新的数学模型。

  三、教学目标

  依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》中对第一学段“数与运算”领域的要求，结合教学内容和学情分析，制定以下三维教学目标：

  1.知识与技能：在具体情境中，通过平均分的操作活动，理解余数及有余数除法的含义。能根据平均分后有剩余的活动结果，正确列出有余数的除法算式，会读、写有余数的除法算式，知道算式中各部分的名称（被除数、除数、商、余数）。理解余数比除数小的道理。

  2.过程与方法：经历从平均分物活动中抽象出有余数除法算式的过程，积累观察、操作、对比、概括等数学活动经验，感受数学抽象和建模的过程。在探索余数和除数关系的过程中，发展初步的推理能力和归纳能力。

  3.情感、态度与价值观：在认识有余数除法的过程中，体会数学与日常生活的紧密联系，感受除法应用的普遍性和完整性。在操作、探究、交流中获得成功的体验，增强学习数学的兴趣和自信心，初步养成乐于思考、勇于探究的学习品质。

  四、教学重难点

  1.教学重点：理解余数及有余数除法的意义，能正确列出并读写有余数的除法算式。

  2.教学难点：理解余数为什么一定要比除数小；将平均分后有剩余的操作过程与有余数除法算式建立有效联系，理解算式的表征意义。

  五、教学准备

  1.教师准备：多媒体课件（PPT）、交互式电子白板或希沃授课助手。

  2.学生准备：每4-6人一个学习小组，每组准备一袋学具（内含：不少于20根的小棒、10个圆片、若干张记录单）、练习本。

  3.情境教具：用于导入的实物或图片（如：一组卡通人物卡片、一篮水果图片）。

  六、教学过程

  （一）创设情境，复习导入，引发认知冲突（预计时间：5分钟）

    师：同学们，前面我们学习了除法，知道了除法可以解决平均分的问题。老师今天带来了6颗甜甜的草莓，想平均分给坐得最端正的两位小朋友。谁来帮老师分一分？（请一名学生上台模拟分草莓）

    生：（操作）每人先分1颗，再分1颗，再分1颗……分完了，每人正好分到3颗。

    师：分得真好！你能用一个除法算式来表示刚才分的过程和结果吗？

    生：6÷2=3（颗）。

    师：这里的6、2、3分别表示什么意思？

    生：6表示一共6颗草莓，2表示平均分给2个人，3表示每人分到3颗。

    师：也就是6颗草莓，平均分给2人，每人分3颗，正好分完。（板书：6÷2=3（颗）正好分完）

    师：现在，老师这里还有7颗草莓（课件出示），还是想平均分给这2位小朋友，每人又能分到几颗呢？结果会怎样？请大家用小棒代替草莓，在小组内分一分、摆一摆，看看有什么发现。

    （学生小组操作，教师巡视）

    生1：我们每人先分3颗，发现还多出1颗。

    生2：我们也是一样，每人分3颗后，还剩1颗，没办法再平均分了。

    师：哦？也就是说，这7颗草莓，平均分给2人，每人分3颗，结果没有“正好分完”，而是……？

    生齐：还剩下1颗！

    师：像这样平均分后，还有剩余的情况，在我们的生活中非常常见。这剩下的1颗在数学上叫什么？这种情况又该怎样用一个数学算式来表示呢？这就是我们今天要一起探究的新知识。（自然引出课题）

  （二）动手操作，探究新知，建构概念模型（预计时间：22分钟）

    活动一：多样化操作，感知“有剩余”现象。

    师：刚才我们遇到了7颗草莓平均分给2人，有剩余的情况。现在，请各小组打开学具袋，取出小棒。我们来玩一个“分小棒”的游戏。

    任务1：请分别拿出8根、9根、10根、11根、12根小棒，每次都是“每2根一份”，动手分一分，看看结果有什么不同？把分的结果用“几根小棒，每2根一份，可以分（）份，还剩（）根”的句式说给同桌听，并填写在记录单（一）上。

    （学生动手操作、记录，教师巡视指导，选取典型记录进行展示）

    生汇报：

    8根：每2根一份，可以分4份，还剩0根。

    9根：每2根一份，可以分4份，还剩1根。

    10根：每2根一份，可以分5份，还剩0根。

    11根：每2根一份，可以分5份，还剩1根。

    12根：每2根一份，可以分6份，还剩0根。

    师：观察这些结果，你有什么发现？

    生：有时候能正好分完，剩0根；有时候会剩下1根。

    师：是的。在平均分的过程中，存在“正好分完”和“分后有剩余”两种情况。今天，我们重点研究“有剩余”的情况。

    活动二：尝试表征，引出“有余数除法”算式。

    师：像“9根小棒，每2根一份，分了4份，还剩1根”这个分的过程，能用我们学过的除法算式表示吗？试一试。

    （学生尝试，可能会出现9÷2=4或9÷2=4……1等写法）

    师：有同学写成9÷2=4。这个算式能完整地表示出“分了4份”和“还剩1根”这两个信息吗？

    生：不能，它只表示了分4份，没表示出还剩1根。

    师：为了把“还剩1根”这个信息也表示在算式里，数学家们引入了一个新的符号“……”（六个点），读作“余”。我们可以这样写：9÷2=4（份）……1（根）。这个算式读作：9除以2等于4份余1根。请大家跟老师读一遍。

    （教师板书：9÷2=4（份）……1（根），并带领学生认读）

    师：谁来说说这个算式中，9、2、4、1分别表示什么意思？

    生：9表示一共有9根小棒（要分的总数），2表示每2根一份（每份数），4表示分成了4份（份数），1表示分完后还剩下1根（剩下的数）。

    师：在数学上，我们把要分的总数9叫做“被除数”，每份数2叫做“除数”，分得的份数4叫做“商”，剩下的这个数1，有一个专门的名字，叫做“余数”。（板书各部分名称）

    师：请大家模仿这个算式，把记录单上其他“有剩余”的情况（如11根）也用一个完整的算式表示出来，并说出算式中各部分的名称。

    （学生独立完成，小组交流）

    活动三：变换份数，探究余数与除数的关系。

    任务2：现在，我们换一种分法。请拿出小组的小棒，试着把10根小棒，分别平均分成3份、4份、5份、6份。边分边思考：每次分的结果是怎样的？如果有剩余，剩下的根数有什么特点？把结果记录在记录单（二）上，并用算式表示。

    （学生操作、记录、列式。教师收集典型作品，如下）

    平均分成3份：10÷3=3（根）……1（根）余1根

    平均分成4份：10÷4=2（根）……2（根）余2根

    平均分成5份：10÷5=2（根）……0（根）余0根

    平均分成6份：10÷6=1（根）……4（根）余4根？（此处可能引发争议）

    师：我们一起来看看大家的结果。对于“10÷6=1……4”，有不同意见吗？

    生：（有学生举手）老师，我觉得不对。10根小棒平均分成6份，每份1根，用掉了6根，确实还剩4根。但是，这剩下的4根，还能不能再每份分1根？

    师：问得好！大家再分分看，剩下的4根，在已经保证“平均分”（每份一样多）的前提下，还能继续分吗？

    生：（操作后）可以！剩下的4根，再给4个组分，每份又能再分到1根。这样每份就一共是2根了。

    师：那最终的结果是？

    生：10根小棒平均分成6份，每份1根，不够，实际上每份能分到1根后，还剩4根，这4根还能继续分，每份再分1根不够，所以最终每份是1根，总共用掉6根，还剩下4根，但不能再分了？……（学生陷入思考）

    师：让我们回到“平均分”的定义：每份分得同样多。当我们说“平均分成6份”时，意味着最终每份的数量必须一样。第一次每份分1根，用了6根，剩4根。如果我们把这4根继续分，哪怕只给其中4份再多分1根，这6份的数量就不一样了（有的是1根，有的是2根），这就不叫“平均分成6份”了。所以，在“平均分成6份”的要求下，第一次每份分1根后，剩下的4根已经不够给“每一份”都再分1根了（因为需要6根）。这时，分的过程就停止了。剩下的4根，就是余数。

    师：但是，请大家观察这个余数4，和我们刚刚的除数6，比较一下大小。

    生：余数4比除数6小。

    师：再看看我们前面分的过程中，所有有余数的情况：9÷2=4……1，余数1比除数2小；11÷2=5……1，余数1比2小；10÷3=3……1，余数1比3小；10÷4=2……2，余数2比4小。

    师：你们猜一猜，在有余数的除法里，余数和除数可能会有什么关系？

    生：余数好像总是比除数小。

    师：为什么余数一定要比除数小呢？谁能结合分小棒的过程解释一下？

    生：因为如果余数等于或者大于除数，就说明剩下的部分还够至少再分一份，那就应该继续分下去，直到剩下的部分比一份的数量（除数）少为止。

    师：解释得太精彩了！就像“10÷6”，如果余数写成4，4<6，是合理的。但如果余数写成7，7>6，那就意味着剩下的比一份还多，肯定还能继续分，所以不可能。因此，在有余数的除法中，余数必须比除数小。这是我们今天发现的又一个重要规律。（板书：余数<除数）

  （三）分层练习，巩固内化，拓展思维（预计时间：10分钟）

    练习设计遵循由易到难、由具体到抽象、由巩固到拓展的原则。

    1.基础巩固练习（看图列式，理解意义）

    （课件出示）主题图：有13个爱心，每4个爱心圈一份。

    问题：圈了（）份，还剩（）个。

    列式：÷=（份）……（个）

    说一说：算式中的每个数表示什么？余数是多少？它比除数小吗？

    （此题旨在巩固有余数除法的模型表征，看图直接列式，强化意义理解）

    2.辨析明理练习（判断对错，深化关系）

    （1）16÷3=4……4（）

    （2）在算式□÷5=3……△中，△可能是6。（）

    （3）有21块饼干，每5块装一袋，可以装满4袋，还剩1块。（）

    要求学生先独立判断，再说明理由。重点辨析（1）和（2），紧扣“余数必须比除数小”的规律。

    3.操作应用练习（动手验证，解决问题）

    师：老师带来了15张精美的贴纸，要奖励给今天课堂表现最积极的4个学习小组（每个小组视为一份）。平均每个小组能得几张贴纸？还剩几张？请大家用小棒摆一摆，或者画一画，再列出算式。

    （学生独立或小组合作完成。此题为“包含除”情境的应用，拓宽学生对“平均分”两种情境下皆可产生余数的认识）

    4.思维拓展练习（开放推理，发展数感）

    （课件出示）在算式□÷6=4……★中，★可能是哪些数？□最大是几？最小是几？

    引导学生根据“余数<除数”，推断★可能是1,2,3,4,5。再根据“被除数=除数×商+余数”的原理（此关系可引导学生通过具体例子归纳发现，如：9=2×4+1），计算当★=5时，□最大，为6×4+5=29；当★=1时，□最小，为6×4+1=25。此题为本课知识的综合应用与适度延伸。

  （四）课堂总结，梳理收获，布置作业（预计时间：3分钟）

    师：这节课我们一起走进了有余数除法的世界。谁来分享一下你的收获？

    生1：我知道了平均分东西，有时会正好分完，有时会有剩余。

    生2：我学会了有余数除法的算式怎么写、怎么读，知道了被除数、除数、商和余数。

    生3：我发现了余数一定要比除数小。

    师：同学们的收获真丰富！是的，今天我们认识了除法家族的一位新成员——有余数除法。它不仅让除法能描述更多生活中的现象，也为我们解决更复杂的数学问题打开了大门。

    布置作业：

    1.必做题：数学课本第60页“做一做”第1、2题。（巩固基本概念和读写）

    2.选做题：找一找生活中遇到的“平均分后有剩余”的例子，并尝试用今天学的算式表示出来，说给家人听。

    3.挑战题（学有余力学生）：想一想，一个数除以7，余数可能有哪几种情况？如果商是5，这个数最大是多少？最小是多少？

  七、板书设计

    有余数除法的初步认识

    正好分完：6÷2=3（颗）

    有剩余：7÷2=3（颗）……1（颗）

    9÷2=4（份）……1（根）

    被除数除数商余数

    读作：9除以2等于4余1。

    重要发现：余数<除数

  八、教学反思（预设）

    本节课的设计力求体现“以学生发展为本”的教育理念和当前课程改革所倡导的深度学习的教学导向。成功之处预计体现在以下几个方面：

    其一，情境创设与认知冲突的有效性。从复习“正好分完”的除法自然过渡到“有剩余”的现实问题，迅速引发学生的认知冲突，激发了强烈的求知欲，使学生带着问题