2026-2027年高考数学一轮复习解析几何部分圆第❶课时　圆的方程

第八章解析几何第二节圆的方程第❶课时圆的方程目

录CONTENTS01必备知识基础落实02关键能力精准突破课标

解读1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

知识点一

圆的方程1.圆的定义及方程定义圆是平面上到

的距离等于

⁠的点的集合标准方程（

x

－

a

）2＋（

y

－

b

）2＝

r2

（

r

＞0）圆心：

⁠半径：

r

一般方程

x2＋

y2＋

Dx

＋

Ey

＋

F

＝0

（

D2＋

E2－4

F

＞0）圆心：

⁠半径：

r

＝

⁠定点定长（

a

，

b

）

2.点与圆的位置关系点

M

（

x0，

y0），圆的标准方程（

x

－

a

）2＋（

y

－

b

）2＝

r2.理论依

据点到圆心的距离与半径的大小关系三种情

况（

x0－

a

）2＋（

y0－

b

）2

r2⇔点在圆上（

x0－

a

）2＋（

y0－

b

）2

r2⇔点在圆外（

x0－

a

）2＋（

y0－

b

）2

r2⇔点在圆内＝

＞

＜

d

＜

r

d

＝

r

d

＞

r

2.圆与圆的位置关系

位置关系方法几何法：圆心距

d

与

r1，

r2的关系代数法：联立两圆方程求方程组解的

情况外离

⁠无解外切

⁠一组实数解相交

＜

d

＜

⁠两组不同的实数解内切

d

＝

⁠一组实数解内含0≤

d

＜｜

r1－

r2｜（

r1≠

r2）无解d

＞

r1＋

r2

d

＝

r1＋

r2

｜

r1－

r2｜

r1＋

r2

｜

r1－

r2｜（

r1≠

r2）

若

x2＋

y2＋

Dx

＋

Ey

＋

F

＝0（

D2＋

E2－4

F

＞0）表示圆，则有：（1）当

F

＝0时，圆过原点.（2）当

D

＝0，

E

≠0时，圆心在

y

轴上；当

D

≠0，

E

＝0时，圆心在

x

轴上.（3）当

D

＝

F

＝0，

E

≠0时，圆与

x

轴相切于原点；当

E

＝

F

＝0，

D

≠0时，圆与

y

轴相切于原点.（4）当

D2＝

E2＝4

F

时，圆与两坐标轴相切.直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，代数法与几何法是不

同的方向和思路，解题时要根据题目特点灵活选择.

1.圆相关切线方程结论（1）过圆

x2＋

y2＝

r2上一点

P

（

x0，

y0）的圆的切线方程为

x0

x

＋

y0

y

＝

r2.（2）过圆（

x

－

a

）2＋（

y

－

b

）2＝

r2上一点

P

（

x0，

y0）的圆的切线方程为（

x0

－

a

）（

x

－

a

）＋（

y0－

b

）（

y

－

b

）＝

r2.（3）过圆

x2＋

y2＝

r2外一点

M

（

x0，

y0）作圆的两条切线，则两切点所在直线方

程为

x0

x

＋

y0

y

＝

r2.2.圆

C1：

x2＋

y2＋

D1

x

＋

E1

y

＋

F1＝0与圆

C2：

x2＋

y2＋

D2

x

＋

E2

y

＋

F2

＝0相交时：（1）将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；（2）两圆圆心的连线垂直平分公共弦；（3）

x2＋

y2＋

D1

x

＋

E1

y

＋

F1＋λ（

x2＋

y2＋

D2

x

＋

E2

y

＋

F2）＝0表示过两圆交

点的圆系方程（不包括

C2）.

一、辨析正误（在括号内画“√”或“×”）（1）确定圆的几何要素是圆心与半径.

（

√

）（2）已知点

A

（

x1，

y1），

B

（

x2，

y2），则以

AB

为直径的圆的方程是（

x

－

x1）（

x

－

x2）＋（

y

－

y1）（

y

－

y2）＝0.

（

√

）

（4）方程（

x

＋

a

）2＋（

y

＋

b

）2＝

t2（

t

∈R）表示圆心为（

a

，

b

），半径为

t

的圆.

（

×

）（5）若两圆相切，则有且只有一条公切线.

（

×

）√√√××（6）若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切.

（

√

）√二、版本互鉴1.（人教A版选择性必修第一册P85T1改编）圆心为（1，－1）且过原点的圆的方

程是（

）A.（

x

＋1）2＋（

y

－1）2＝1B.（

x

＋1）2＋（

y

＋1）2＝1C.（

x

－1）2＋（

y

＋1）2＝2D.（

x

－1）2＋（

y

－1）2＝2答案：C2.（苏教版选择性必修第一册P52例1改编）圆心坐标为（2，－3）且过原点的圆的

方程是（

）A.（

x

－2）2＋（

y

＋3）2＝

B.（

x

＋2）2＋（

y

＋3）2＝

C.（

x

＋2）2＋（

y

－3）2＝13D.（

x

－2）2＋（

y

＋3）2＝13答案：D3.（湘教版选择性必修第一册P89T4改编）圆

x2＋

y2＋8

x

－16

y

＋16＝0的圆心坐

标和半径是（

）A.（4，8），8B.（－4，8），10C.（－4，－8），64D.（－4，8），8答案：D4.（人教B版选择性必修第一册P104T4改编）若点（1，1）在圆（

x

－

a

）2＋（

y

＋

a

）2＝4的内部，则实数

a

的取值范围是（

）A.（－1，1）B.（0，1）C.（－∞，－1）∪（1，＋∞）D.{－1，1}答案：A5.（苏教版选择性必修第一册P61T1改编）直线

l

：

x

－

y

＋1＝0与圆

C

：

x2＋

y2－

4

x

－2

y

＋1＝0的位置关系是（

）A.相离B.相切C.相交且过圆心D.相交但不过圆心答案：D6.过原点且倾斜角为60°的直线被圆

x2＋y2－4

y

＝0截得的弦长为（

）A.

B.2C.

D.2

答案：D7.（苏教版选择性必修第一册P56T3改编）已知

A

（1，0），

B

（0，3），则以

AB

为直径的圆的方程是

.答案：

x2＋

y2－

x

－3

y

＝08.（人教A版选择性必修第一册P98T1改编）两圆

x2＋

y2－2

y

＝0与

x2＋

y2－4＝0

的位置关系是

.答案：内切9.（人教A版选择性必修第一册P98T9改编）圆

x2＋

y2－4＝0与圆

x2＋

y2－4

x

＋4

y

－12＝0的公共弦的长为

.

考点1

求圆的方程

（自悟通）1.若直线

x

＋2

y

＋1＝0是圆（

x

－

a

）2＋

y2＝1的一条对称轴，则

a

＝（

）A.

B.－

C.1D.－1D

解析：由题意得，圆心为（

a

，0），因为直线

x

＋2

y

＋1＝0是圆（

x

－

a

）2＋

y2＝1的一条对称轴，所以直线过圆心，即

a

＋1＝0，解得

a

＝－1.2.已知圆经过点

A

（4，4），

B

（－2，4），

C

（4，－4），则该圆的半径为

（

）A.4B.5C.8D.10

3.请写出一个过点

O

（0，0），且与直线

x

＋

y

－4＝0相切的圆的标准方程，

为

.

答案：（

x

－1）2＋（

y

－1）2＝2（答案不唯一）

4.圆心在直线

x

－2

y

－3＝0上，且过点

A

（2，－3），

B

（－2，－5）的圆的方程

为

.

答案：（

x

＋1）2＋（

y

＋2）2＝10

求圆的方程的两种方法（1）几何法，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.（2）待定系数法①若已知条件与圆心（

a

，

b

）和半径

r

有关，则设圆的标准方程，求出

a

，

b

，

r

的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于

D

，

E

，

F

的方程组，求出

D

，

E

，

F

的值.考点2

与圆有关的轨迹问题

（精研通）【例1】

已知直角三角形

ABC

的斜边为

AB

，且

A

（－1，0），

B

（3，0）.求：（1）直角顶点

C

的轨迹方程；（2）直角边

BC

的中点

M

的轨迹方程.

求与圆有关的轨迹问题的方法（1）直接法：直接根据题目提供的条件列方程.（2）定义法：根据圆、直线等定义列方程.（3）几何法：利用圆的几何性质列方程.（4）相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.

设定点

M

（－3，4），动点

N

在圆

x2＋

y2＝4上运动，以

OM

，

ON

为邻边作平

行四边形

MONP

，求点

P

的轨迹方程.

又点

N

（

x0，

y0）在圆

x2＋

y2＝4上，所以（

x

＋3）2＋（

y

－4）2＝4.所以点

P

的轨迹是以（－3，4）为圆心，2为半径的圆.

考点3

与圆有关的最值问题

（精研通）命题点1

斜率型、距离型、截距型最值问题【例2】