2026-2027北师大版八上数学第一章 勾股定理 单元检测卷

第第页【北师大版八年级数学（上）单元测试卷】第一章勾股定理一.选择题：（每小题3分共30分)1．（本题3分）如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长是（

）A．100 B．28 C．9 D．102．（本题3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（

）A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，6，7 D．6，7，83．（本题3分）如图，从电线杆离地面12米（米）处向地面拉一条长为15米（米）的钢缆，则地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为（

）A．9米 B．8米 C．7米 D．6米4．（本题3分）下列各组数据中，不是勾股数的是（

）A．3，4，5 B．5，12，13C．8，15，16 D．6，8，105．（本题3分）由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，6．（本题3分）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（

）A． B． C． D．7．（本题3分）我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（）A． B．C． D．8．（本题3分）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜七里，中斜二十四里，大斜二十五里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为7里，24里，25里，问这块沙田的面积为（

）A．30平方里 B．32.5平方里 C．84平方里 D．65平方里9．（本题3分）如图，中，，，，点是边上的动点，则长不可能是（

）A． B．3 C．4 D．510．（本题3分）如图，在三个正方形围成的图形中，两个小正方形的面积分别是和，则字母所代表的正方形的边长是（

）A． B．2 C． D．5二、填空题（共15分）11．（本题3分）在中，，，则_______．12．（本题3分）已知的三边，，满足，则的形状为________．13．（本题3分）如图，超市在医院的南偏东的方向，且到医院的距离为，公园到医院的距离为．若公园到超市的距离为，则公园在医院的北偏东_________的方向．14．（本题3分）在中，，则的值为______15．（本题3分）如图，和都是等腰直角三角形，，，点在上（点不与点，重合）．写出线段，，之间的数量关系式：__________．三、解答题（共55分）16．（本题6分）如图，在三角形支架中，(1)求的长；(2)判断支架外框的形状，并说明理由．17．（本题7分）在中，，，，求的长．18．（本题8分）在中，分别表示的对边．(1)已知，求；(2)已知，求（用含的式子表示）．19．（本题8分）为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，米，米，米，米，．(1)为方便分区管理，学校计划在、两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆．(2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持．20．（本题8分）在中，，，，的对边分别为a，b，c．(1)若，，求c；(2)若，，求b．21．（本题9分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为16米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为34米；③牵线放风筝的小明的身高为1.7米．(1)求风筝的垂直高度；(2)如果小明想要风筝沿方向下降18米，则他应该往回收线多少米？22．（本题9分）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中．【探究1】观察，，…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股，弦；勾为5时股，弦；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：(1)如果勾为7，则股___________，弦___________；(2)如果用n（，且n为奇数）表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股=___________，弦=___________；【探究2】观察，，，…，，…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从6起也没有间断过．(3)___________，___________；(4)如果用（m为正整数且）表示勾，请用含有m的式子表示股和弦，则股___________，弦___________．第一章勾股定理（解析）一.选择题：（每小题3分共30分)1．（本题3分）如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长是（

）A．100 B．28 C．9 D．10解：根据勾股定理得，所代表的正方形的面积为，∴所代表的正方形的边长是10．故选D.2．（本题3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（

）A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，6，7 D．6，7，8解：勾股数需满足三个正整数中，两个较小数的平方和等于最大数的平方，A选项∵∴这组数是勾股数，符合题意；B选项∵，，∴这组数不是勾股数，不符合题意；C选项∵，，∴这组数不是勾股数，不符合题意；D选项∵，，∴这组数不是勾股数，不符合题意．故选A3．（本题3分）如图，从电线杆离地面12米（米）处向地面拉一条长为15米（米）的钢缆，则地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为（

）A．9米 B．8米 C．7米 D．6米解：∵，米，米，∴（米）．故选A4．（本题3分）下列各组数据中，不是勾股数的是（

）A．3，4，5 B．5，12，13C．8，15，16 D．6，8，10解：A选项，，且三个数都是正整数，是勾股数，B选项，，且三个数都是正整数，是勾股数，C选项，，，，不满足勾股数的条件，不是勾股数，D选项，，且三个数都是正整数，是勾股数.故选C5．（本题3分）由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，解：选项A：最长边为，∵，，，∴不能构成直角三角形，A不符合题意；选项B：最长边为，∵，，，∴不能构成直角三角形，B不符合题意；选项C：最长边为，∵，，，∴不能构成直角三角形，C不符合题意；选项D：最长边为，∵，，∴，满足勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，D符合题意．故选D6．（本题3分）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（

）A． B． C． D．解：如图所示：

由于圆柱体的底面周长为，则．由题意得，，所以．故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是．故选B7．（本题3分）我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（）A． B．C． D．解：设长方形田的宽为步，宽与对角线的和为步，则对角线长为步，∵长方形中长，宽，对角线构成直角三角形，符合勾股定理，且已知长为步，∴根据勾股定理可得，C选项符合题意．故选C8．（本题3分）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜七里，中斜二十四里，大斜二十五里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为7里，24里，25里，问这块沙田的面积为（

）A．30平方里 B．32.5平方里 C．84平方里 D．65平方里解：已知三角形沙田的三条边分别为7里，24里，25里，，，，故该三角形沙田是直角三角形，且两条直角边的长分别为7里，24里则沙田的面积为（平方里）．故选C9．（本题3分）如图，中，，，，点是边上的动点，则长不可能是（

）A． B．3 C．4 D．5解：∵中，，，，∴，根据垂线段最短，可知的长不可小于3，当P和C重合时，，由，即长不可能是．故选A10．（本题3分）如图，在三个正方形围成的图形中，两个小正方形的面积分别是和，则字母所代表的正方形的边长是（

）A． B．2 C． D．5解：如图，∵小正方形面积分别为、，∴，，∵，∴，∴正方形的边长．故选C二、填空题（共15分）11．（本题3分）在中，，，则_______．解：在中，，故；∴，∵，故，即．12．（本题3分）已知的三边，，满足，则的形状为________．解：∵，∴，∴是直角三角形．13．（本题3分）如图，超市在医院的南偏东的方向，且到医院的距离为，公园到医院的距离为．若公园到超市的距离为，则公园在医院的北偏东_________的方向．解：如图，由题意得，，∴∴，∴∴，故公园在医院的北偏东的方向．14．（本题3分）在中，，则的值为______解：如图，在中，，∴，∴．15．（本题3分）如图，和都是等腰直角三角形，，，点在上（点不与点，重合）．写出线段，，之间的数量关系式：__________．解：如图，连接，∵和都是等腰直角三角形，∴，，，∵，∴，∴∴，∵∴，∴为直角三角形根据勾股定理可得：，∴∵在中，根据勾股定理有，，∴，∴.三、解答题（共55分）16．（本题6分）如图，在三角形支架中，(1)求的长；(2)判断支架外框的形状，并说明理由．（1）解：∵，∴，在中，，，∴在中，，∴∴的长为；(2)为直角三角形，理由如下：由（1）知，，∴，∵，，∴，，∴，∴∴是直角三角形．17．（本题7分）在中，，，，求的长．解：在中，，由勾股定理，得，又∵，，∴．18．（本题8分）在中，分别表示的对边．(1)已知，求；(2)已知，求（用含的式子表示）．（1）解：在中，，由勾股定理得，，则；（2）解：在中，，由勾股定理得，，则19．（本题8分）为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，米，米，米，米，．(1)为方便分区管理，学校计划在、两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆．(2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持．（1）解：如图，连接，在中，，∵，，∴；答：至少需要10米的篱笆；（2）解：∵，，，，，∴，∴是直角三角形，，∴，∵，∴．答：这块劳动实践基地的总面积为平方米．20．（本题8分）在中，，，，的对边分别为a，b，c．(1)若，，求c；(2)若，，求b．（1）解已知在中，，，，的对边分别为，，，由勾股定理得∵，，∴；（2）解：在中，，，．21．（本题9分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为16米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为34米；③牵线放风筝的小明的身高为1.7米．(1)求风筝的垂直高度；(2)如果小明想要风筝沿方向下降18米，则他应该往回收线多少米？（1）解：在中，由勾股定理得，，

米（负值舍去），（米），答：风筝的高度为31.7米．（2）解：由题意得，米，米，（米），

（米），他应该往回收线米．22．（本题9分）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中．【探究1】观察，，…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股，弦；勾为5时股，弦；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：(1)如果勾为7，则股___________，弦___________；(2)如果用n（，且n为奇数）表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股=___________，弦=________