2025-2026学年上海市长宁区延安中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年上海市长宁区延安中学高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共4小题，共12分。1.若数列{an}是等比数列，则“首项a1＞0，且公比q＞1”是“数列{an}单调递增”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.非充分非必要条件2.已知复数z1，z2，z3，下列说法正确的有（）A.若，则 B.若，则z1=z2=0

C.若z1z2=z1z3，则z1=0或z2=z3 D.若|z1-z2|=|z1+z2|，则z1z2=03.已知△ABC是边长为2a（a＞0）的等边三角形，P为△ABC所在平面内一点，则的值不可能是（）A.-a2 B. C. D.-2a24.已知O是锐角△ABC所在平面内的一定点，动点P满足：，λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。5.已知向量，，若，则实数x=

.6.已知数列{an}满足：2an+1=2an+1，a1=1，则a7=

.7.已知复数z满足z=i（2-i），则的虚部是

.8.已知等差数列{an}中，a3+a12=8，Sn为{an}的前n项和，则S14=

.9.已知，，则在方向上的数量投影是

.10.已知复数z满足|z+2-i|=2，则|z|的最小值是

.11.已知m∈R，关于x的一元二次方程x2-（2m+1）x+m2+1=0的一个根z是纯虚数，则|（z+2m）2|=

.12.已知单位向量，满足，则=

.13.已知数列{an}中，a1=1，，Sn为{an}的前n项和，则S50=

.14.若点A，B，C是半径为1的圆O上三点，且，则=

.15.设等比数列{an}的公比为q,Tn为前n项积，且满足a1＞1，a2025a2026＞1，，则下列结论正确的是

.（填序号）

①0＜q＜1

②a2025a2027＞1

③Tn的最大值为T2025

④若Tn≤1，则n≥405216.在复平面中，已知点A（-1，0）、B（0，3），复数z1、z2对应的点分别为Z1、Z2，且满足|z1|=|z2|=2，|Z1Z2|=4，则的最大值为______．三、解答题：本题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题13分)

已知向量，，，且；

（1）求与的夹角；

（2）若，求k的值.18.(本小题15分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，.

（1）求{an}的通项公式；

（2）若不等式λSn+1≥an-1对任意n∈N，n≥2恒成立，求实数λ的取值范围.19.(本小题15分)

已知关于x的一元二次方程x2-（m+2）x+（m2+1）=0（m∈R）有两根x1，x2.

（1）若，求实数m的取值范围；

（2）若|x1|+|x2|=3，求实数m的值.20.(本小题17分)

对于一个给定的数列{an}，令bn=an+an+1（n∈N，n≥1），则数列{bn}称为数列{an}的一阶和数列.

（1）若{bn}是等比数列，且a1=0，a2=2，a3=4，求a5；

（2）若，令cn=anbn，证明：{cn}是等比数列，并求的值；

（3）若{an}是首项为1的等差数列，d为公差，3ak-1≤2bk-1（k≥2），a1+a2+…+ak=100，求正整数k的最大值，以及k取最大值时d的值.21.(本小题12分)

对任意两个非零向量，定义新运算：，其中θ为与的夹角.

（1）若非零向量满足，且，求的取值范围；

（2）若向量，且，求正数t的值；

（3）已知非零向量满足（k是正整数），向量的夹角，和都是有理数，且，求sinθ.

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】3

6.【答案】4

7.【答案】-2

8.【答案】56

9.【答案】-1

10.【答案】

11.【答案】

12.【答案】

13.【答案】-25

14.【答案】

15.【答案】①③

16.【答案】

17.【答案】解：（1）因为向量，，，

又，

所以，

解得x=2，

所以，，

得，

所以，

即与夹角的余弦值为．

又，

所以，

即与的夹角为．

（2）由（1）知，，，

所以，，，

所以，

即k2=1，

解得k=±1，

所以k的值为±1．

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