浙江省中考数学“项目化学习试题”专题复习（体现PISA理念）

浙江省中考数学“项目化学习试题”专题复习

（体现PISA理念）适用学段：浙江省九年级（中考复习专用，七、八年级教师可选取部分例题用于课堂拓展）

文档类型：专题复习·试题精讲与训练

核心亮点承诺：不是简单地把几道“长题目”堆在一起，而是从PISA数学素养的底层逻辑出发，把浙江省中考近几年出现的项目化试题掰开揉碎，说清楚“读题怎么提取关键信息”“建模怎么从生活语言翻译成数学语言”“求解后怎么回到真实情境检验”。精讲五道原创/改编的高仿真项目化试题，覆盖方程与不等式、函数、几何测量、统计概率、方案决策五大中考核心板块，每题配完整的PISA素养解析和易错点预警。配套五道变式训练题和一份“项目化学情诊断小测”，所有题目都给了逐题详解——不是照着答案念一遍，而是把思考的岔路口、容易踩的坑、阅卷场上的扣分点全部摊开来讲。使用说明与痛点解决：

这份材料最适合正在备战浙江中考的初三师生，也适合初一初二教师提前了解命题趋势、在日常教学中渗透项目化学习。它直接解决三个让师生都焦虑的问题：一看到题目有两三百字就脑子发懵、不知从何下手；把生活情境题当成普通应用题列个方程算了就完事，结果漏了检验和解释扣掉一半分；平时练得少，考场上时间分配不合理，花二十分钟做一道项目题最后还做错。建议使用时分三步走——先通读第一部分“题型特征与PISA理念”建立整体认知，再逐道精讲例题并限时独立完成变式训练，最后用“学情诊断小测”检验掌握程度。本资料为经验分享，请根据本校、本班实际情况调整使用。一、浙江省中考“项目化学习试题”到底在考什么这两年浙江中考数学卷里，出现了一种让很多学生“看了就慌”的题目——题干一大段，配着图表，背景从快递运费到社区垃圾分类，从测量旗杆到设计种植方案，题目名字也正式，叫“项目化学习试题”或“综合与实践”。其实这类题目的内核并不神秘，它和PISA（国际学生评估项目）数学素养的命题理念一脉相承。PISA把数学素养定义为“个体在各种真实情境中，用数学的方式去思考、去解决问题的能力”。翻译成大白话就是——给你一个真实生活中的问题，你能不能自己判断需要用哪些数学知识、怎么建立模型、算出结果之后能不能回到原情境里解释这个结果是否合理。这和传统的“已知……求……”的套路题最大的区别就在于，它把“判断用什么方法”这个最难的环节也交给了学生。从近三年浙江省各市中考真题来看，项目化试题有几个明显的特征。情境真实，题目背景往往来自校园活动、家庭生活、社会调查或工程实践，读起来像一篇小报告而不是一道数学题。信息多且有冗余，需要学生自己从文字、表格、示意图中筛选有用的数据，排除干扰信息。设问有层次，通常分二至三问，从简单计算到方案设计再到评估反思，思维层级逐步加深。答案有开放性，最后一问往往允许不同方案，但要求有理有据地说明理由。这些特征叠加在一起，考查的就不只是“会不会算”，更是“会不会想”和“会不会说”。我在带初三复习的时候，专门拿出一周时间集中攻克这类题目。刚开始学生叫苦连天，说“老师你给我们看的是阅读理解吧”。但坚持练了几天之后，他们慢慢摸到了门道，甚至有学生跟我说：“其实这种题比那种死难的压轴题有意思，至少你知道它在说什么。”这句话说到点子上了——项目化试题不是靠刷熟练度能应付的，它需要一种不一样的思维习惯，而这种习惯一旦建立，对整个数学学习都有好处。二、解题策略三步法：从“读天书”到“理出头绪”根据我在课堂上反复带学生拆题的经验，我把项目化试题的解题流程归纳成三步，每一步都有具体的操作动作。第一步：读题——拿笔指着读，边读边圈画“谁、干什么、给了什么数、要决定什么”项目化试题最忌讳的就是一眼扫过去觉得“好长”然后开始发懵。我要求学生必须用笔指着题干一行一行读，读到数字就圈出来，读到“需要”“决定”“是否”“不超过”“至少”这些目标性词语就用框框起来，读到括号里的补充信息就用波浪线标出来。读完第一遍之后，在题目旁边用一句话写出“这道题要我干什么”。这句话写不出来就不要往下做。这个习惯我训练了两个星期才让大部分学生形成肌肉记忆。刚开始他们会觉得慢，但我会提醒他们：你花三分钟把题目读透，后面列式和计算各只需要三分钟，十分钟稳稳拿分；反过来，你题目没读清楚就急着列方程，列错了推倒重来，二十分钟都不够。这笔账算明白之后，学生就愿意花时间读题了。第二步：建模——把生活语言翻译成数学语言，确定未知数和等量或不等关系读完题目之后，把圈出来的数量关系整理到一个简单的信息框里。我教学生用三行格式：已知什么（整理数据，统一单位）、要求什么（设未知数）、条件是什么（列出方程、不等式或函数关系式）。这个信息框写在草稿纸的左上角，做题过程中随时回来核对，防止列式时张冠李戴。建立数学模型时最容易犯的错误是“自以为是”——题目明明说的是“利润率不低于百分之二十”，学生自动写成等于百分之二十来解方程。项目化试题里有很多“不超过”“至少”“尽可能”这样的字眼，每一个都对应着不等式方向，翻译时要格外小心。我让学生把这些词语和对应的不等号做成一个口袋卡片，贴在课桌角上，做到条件反射。第三步：检验与反思——算出来的答案要回到原文的情境里去检验是否合理解完方程或不等式之后，不要把答案往卷子上一抄就完事。先问自己三个问题：这个答案在现实中有没有意义（比如人数不能是小数、时间不能是负数、价格不能是负数等）？这个答案是否符合题目中所有约束条件？如果有多个方案，我选择的标准是什么、为什么选这个？最后用一两句话把结论写清楚，就像跟一个不懂数学的人解释你的决定一样。阅卷场上，这一两句话往往是区分满分和扣分的关键。下面我用五道典型试题，把这三步法从头到尾走一遍。每道题都模拟了学生在考场上的真实思考路径，并且指出了最容易翻车的岔路口。三、典型试题精讲（五道，逐题详尽解析）精讲一：社区快递柜安装方案（方程与不等式）试题呈现：某社区计划在A、B两个小区安装智能快递柜。A小区现有住户480户，B小区现有住户360户。根据运营公司的数据，每台标准型快递柜可服务120户居民，每台大型快递柜可服务200户居民。为方便管理，要求A小区安装的快递柜总数不少于4台，B小区安装的快递柜总数不多于3台。同时，两个小区的快递柜服务总容量（即服务的总户数）至少要覆盖现有住户的百分之九十。若A小区安装x台标准型快递柜和y台大型快递柜，请用含x、y的式子表示A小区快递柜服务的总户数。公司给出了两种安装方案，请你判断哪种方案符合要求，并说明理由。

方案甲：A小区安装2台标准型和2台大型，B小区安装1台标准型和2台大型。

方案乙：A小区安装3台标准型和1台大型，B小区安装2台标准型和1台大型。若要使总成本最低，已知标准型每台安装费800元，大型每台安装费1200元，在满足所有条件的前提下，请你设计一种总成本最低的安装方案，并求出最低总成本。试题解析（逐问拆解）：第1问——送分题，但设问有意图。这一问纯粹是让学生把文字语言翻译成代数式：A小区服务总户数=120x+200y。不需要任何限制条件，所有学生都应该拿到这分。但从命题意图看，这是在为后面的建模搭台阶——先让你明确一个基本关系式，后面两问才会用到。拿到这分的时候别忘了心里默念一句：120和200这两个数字后面还要反复出现。第2问——代入检验加不等式判断。两个方案分别算一下A小区的服务总户数：方案甲A小区是120×2+200×2=640户，B小区是120×1+200×2=520户。方案乙A小区120×3+200×1=560户，B小区120×2+200×1=440户。然后对照条件逐条核验。条件一，A小区快递柜总数不少于4台：甲方案2+2=4台（刚好满足），乙方案3+1=4台（也满足）。条件二，B小区快递柜总数不多于3台：甲方案1+2=3台（刚好满足），乙方案2+1=3台（也满足）。条件三，两个小区服务总容量至少覆盖现有住户的百分之九十，即服务总户数≥(480+360)×0.9=840×0.9=756户。甲方案总容量640+520=1160户（远大于756，满足），乙方案总容量560+440=1000户（也满足）。两方案都满足条件，所以“哪种方案符合要求”的答案应该是两种都符合。但注意，第二问往往不是到此为止，题目问的是“判断哪种符合要求”，很多学生会只验证一种就下结论，被扣过程分。稳妥的做法是把两种方案都验证一遍，然后给出明确结论：方案甲和方案乙均符合要求。第3问——这是最体现PISA理念的优化决策问。首先要把“满足所有条件”翻译成一个不等式组。设A小区标准型x台、大型y台，B小区标准型m台、大型n台。则条件有三：A区总数x+y≥4，B区总数m+n≤3，总服务户数120x+200y+120m+200n≥756。并且x、y、m、n都是非负整数。目标是总成本C=800(x+m)+1200(y+n)最低。从成本结构看，大型柜单价比标准型贵400元，所以优先多用标准型。但B区最多装3台（而且总台数不能超过3，每一台可以是标准或大型），如果要最大化容量同时压低成本，B区应该全部装标准型——因为标准型成本低，但容量也低，120×3=360户，刚好把B区全部覆盖。那B区就用3台标准型，m=3,n=0，成本800×3=2400元，服务容量360户。A区需要补足总容量缺口：756-360=396户，同时A区至少4台。我们要求在满足容量≥396且台数≥4的前提下，成本最低。穷举几组可行解：若全用标准型，4台标准型容量480户≥396，成本800×4=3200元。若3台标准型1台大型，容量360+200=560，成本2400+1200=3600元，比全标准型贵。其他组合只会更贵。所以A区最优方案就是4台标准型（x=4,y=0）。因此总成本最低方案：A小区4台标准型，B小区3台标准型。总成本=3200+2400=5600元。写出答案时要包含方案描述和总成本两个要素，缺一不可。很多学生算完5600就停了，忘了用文字说清楚“怎么装”，白丢一分，一定要提醒到位。PISA素养分析：这道题考查了“表述”和“构思”两个过程。学生需要自己设定变量、建立不等式组、在多个约束下寻找最优解。第3问的开放性体现在策略选择上——不同学生可能列出不同的整数组合逐一检验，但只要最终得到了正确的最优方案并写清理由，都能得分。教学中要鼓励这种“条条大路通罗马”的思维，而不是只教一种标准解法。易错点汇总：第2问只验证了一种方案就下结论，逻辑不完整。第3问列不等式时忘了“至少覆盖百分之九十”中的百分之九十要乘以住户总数，直接当成户数用了。得到最优解后没有用文字写出具体安装方案，只说了一个数字。精讲二：校园“数学步道”测量任务（几何测量与三角函数）试题呈现：学校计划在操场上设计一条“数学步道”，其中一个测量任务是测量旗杆的高度。某小组同学利用一个测角仪（可测量仰角）和一把卷尺，设计了如下方案：在旗杆正前方的平地上选择一点A，测得旗杆顶端P的仰角为35°；然后从A点向旗杆方向走12米到达B点，此时测得旗杆顶端P的仰角为50°。已知测角仪的高度为1.5米（即测量时眼睛到地面的距离），A、B两点和旗杆底部O在同一水平线上。请根据以上信息，画出示意图，并标注已知数据。求旗杆PO的高度（即旗杆顶部到地面的距离）。结果精确到0.1米。

（参考数据：sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700；sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）该小组还想测量操场看台的高度，但看台顶部无法直接到达。请你利用测角仪和卷尺，设计一个测量方案，写出需要测量的数据和计算看台高度的表达式。逐问详解：第1问——图画对，数据标对，这分就稳了。示意图的关键要素：水平地面，旗杆PO垂直于地面，测角仪高度1.5米要体现出来（即实际观测点E和F分别在A、B两点上方1.5米处）。A点观测仰角35°，B点观测仰角50°，AB=12米。注意标注时把已知角画在观测点视线与水平线的夹角上。很多学生把测角仪高度直接忽略，画成从地面A点观测，这是错误的——因为眼睛不在脚底板上。示意图里要明确画出1.5米的“眼睛高”并在旁边标出。阅卷时图画得潦草但关键要素齐全就能得分，干净一点当然更好。第2问——经典的“两次测角求高度”模型。设旗杆PO的高度为h米，眼睛到旗杆顶端的竖直高度为(h-1.5)米——因为1.5米是眼睛高度，仰角是从眼睛看到旗杆顶端的连线与水平线的夹角，对应的竖直边应该是h减去1.5。设眼睛在A点处（即A上方1.5米处的点E）到旗杆的水平距离为d米，则在B点处（点F）的水平距离为(d-12)米。根据正切定义：

在A点：tan35°=(h-1.5)/d→d=(h-1.5)/tan35°≈(h-1.5)/0.700

在B点：tan50°=(h-1.5)/(d-12)→d-12=(h-1.5)/tan50°≈(h-1.5)/1.192代入消去d：

(h-1.5)/0.700-(h-1.5)/1.192=12提取公因式(h-1.5)：

(h-1.5)(1/0.700-1/1.192)=12计算括号内数值：1/0.700≈1.4286，1/1.192≈0.8389，差值为0.5897。

则(h-1.5)×0.5897≈12，h-1.5≈12/0.5897≈20.35，h≈21.85米，四舍五入到0.1米约为21.9米。我一般教学生用分数形式避免小数精度损失，但浙江中考计算量适中，按参考数据老老实实算就不会有大偏差。这道题最隐蔽的坑是忘了减去1.5的仪器高——直接用h/d=tan35°，求出来的是眼睛到旗杆顶的高度差，最后必须加上1.5或者一开始就设(h-1.5)为竖直边。每年模拟考都有一批学生栽在这里。第3问——PISA开放型方案设计问。看台高度测量，顶部无法直接到达，意味着不能直接测仰角或垂距。经典方案是“两次测角法”的变式：在看台底部前方选择一点C，测得到看台顶部T的仰角α；向看台方向走一段距离s到D点，再测仰角β；同样考虑测角仪高度1.5米。表达式推导和第2问类似：设看台高度H，眼睛到看台顶部竖直高度(H-1.5)，设C点水平距离为x，则tanα=(H-1.5)/x，tanβ=(H-1.5)/(x-s)，消去x得H的表达式。考生只需要写出测量步骤和最终表达式，不必具体计算。注意要说明“测角仪高度1.5米”和“C、D、看台底部在同一水平线上”这两个前提。这道题评分时会看重方案的完整性和可操作性，表达式写对即可，不要求复杂化简。平时训练时可以让学生互相评价方案，挑毛病，这个过程中他们对测量原理的理解会深很多。PISA素养分析：这是一道典型的“数学化”试题——把真实的测量任务抽象为直角三角形模型，再运用三角函数工具求解。第3问的开放性设计让学生从“解题者”变成了“方案设计者”，需要反思测量方法的原理并迁移到新情境，这正是PISA“反思”能力的体现。精讲三：周末研学租车方案（函数与方案决策）试题呈现：某校八年级组织一次周末研学活动，共有师生210人参加。学校联系了两家客运公司，相关信息如下：

甲公司：有45座客车（含司机）和33座客车（含司机）两种车型。45座车每辆租金600元/天，33座车每辆租金450元/天。

乙公司：只有一种40座客车（含司机），每辆租金500元/天。但乙公司要求，如果租用乙公司的车，租车总费用超过3000元可以打九折。若全部租用甲公司的车，既要保证每人都有座位，又要使所租车辆数最少，应怎样租车？最少租车费用是多少？若全部租用乙公司的车，至少需要租几辆？费用是多少？请你设计一种租车总费用最少的方案（可以混合租用甲公司的两种车型，也可以单独选择一家公司），并求出最少总费用。逐问解析：第1问——有隐含约束的整数规划雏形。设45座车x辆，33座车y辆，要求总座位数45x+33y≥210，且x、y为非负整数。目标是“所租车辆数最少”即x+y最小，然后在车辆数最少的方案中找租金最低的。先不考虑租金，只看座位和车辆数。45座车载人多、车均座位高，为了辆数最少优先多租45座车。210÷45=4.67，所以45座车至少5辆全用45座，总座位5×45=225≥210，辆数5，租金5×600=3000元。有没有可能4辆45座加若干33座达到总辆数≤5？4×45=180，还需30座，1辆33座即够，总辆数5辆（4+1），座位180+33=213≥210，租金4×600+1×450=2400+450=2850元，比全45座便宜。那辆数能否压缩到4辆？如果4辆车全用45座，4×45=180座不够210，必须加车，所以最少车辆数就是5辆。在5辆的方案中，4大1小租金2850元比全大3000元便宜，所以最少租车费用为2850元，方案为4辆45座和1辆33座。第2问——纯计算送分。乙公司40座车，210÷40=5.25，至少需要6辆。租金6×500=3000元，超过3000元可以打九折，实际费用3000×0.9=2700元。这问简单，但要留意“超过3000元”的触发条件是总费用（折前）大于3000，正好3000则不打折——题目说“超过3000可以打九折”，6辆车折前3000元不算超过，此题中6辆车的折前总费用恰好3000元，是否打折？审题：“租车总费用超过3000元可以打九折”，6辆车费用=3000元，并没有超过3000元，所以不能打折。等一下，再读一遍：“乙公司：只有一种40座客车（含司机），每辆租金500元/天。但乙公司要求，如果租用乙公司的车，租车总费用超过3000元可以打九折。”那么折前总费用是500×辆数，达到打折条件必须是>3000。6辆是3000元整，不满足“超过”，所以不打折，实际费用3000元。7辆折前3500超过3000，打九折3150元，显然更贵。所以最少费用是3000元，6辆车。学生容易一看“超过3000打折”就自动代入九折，这个陷阱在浙江考卷里反复出现，一定要画出“超过”两个字重重圈住。第3问——混合决策，需要比较多种方案。候选方案：纯甲公司最优方案（4大1小2850元），纯乙公司最优方案（6辆不打折3000元），以及甲公司内部大小车混租是否还有其他组合可能比2850元更低？甲公司的最小车辆数是5辆，但如果我们接受车辆数增加但总租金更低的情况呢？可以考虑租用更多33座车（单价低）替代45座车。做一下穷举或分析：设45座x、33座y，总租金R=600x+450y，约束45x+33y≥210。我们尝试从x=0开始。x=0，33y≥210→y≥7，7辆33座租金3150元。x=1，45+33y≥210→33y≥165→y=5，总辆数6，租金600+2250=2850元。x=2，90+33y≥210→33y≥120→y=4，总辆数6，租金1200+1800=3000元。x=3，135+33y≥210→33y≥75→y=3，总辆数6，租金1800+1350=3150元。x=4，180+33y≥210→y=1，租金2400+450=2850元（此方案即前面5辆最优）。x=5，225≥210，y=0，租金3000元。所以甲公司最低租金就是2850元（方案x=4,y=1或x=1,y=5均为2850元，选车辆数少的4+1方案更优）。那混合租用甲和乙公司的车呢？即可以从甲公司租几辆，乙公司租几辆。这就更灵活了。设租甲公司45座a辆、33座b辆，乙公司40座c辆（c≥0整数）。约束：45a+33b+40c≥210，总费用F=600a+450b+500c（注意乙公司总费用如果c×500>3000才打折，但如果我们混合租，c不大可能超过6辆，打折条件不易触发，先不考虑打折，若触发再算）。目标是F最小。我们尝试枚举c，对于每个c，剩下的座位需求由甲公司最经济的组合完成。c=0即纯甲方案，最低2850元。c=1，乙公司提供40座，还需170座。甲公司承担170座：尝试45a+33b≥170，求min(600a+450b)。a=0,b=6→33×6=198≥170,租金2700，总F=2700+500=3200。a=1,b=4→45+132=177,租金600+1800=2400,总F=2900。a=2,b=3→90+99=189,租金1200+1350=2550,总F=3050。a=3,b=2→135+66=201,租金1800+900=2700,总F=3200。a=4,b=0→180≥170,租金2400,总F=2900。所以c=1时最低总费用2900元，高于纯甲2850。c=2，乙提供80座，还需130座。甲公司：a=0,b=4→132≥130,租金450×4=1800,总F=1800+1000=2800（低于2850！）。核实：33×4=132,总座位80+132=212≥210。车辆：乙2辆×500=1000元，甲公司4辆33座=1800元，总费用2800元。这个方案比纯甲2850便宜！而且乙公司2辆车总费用1000元不打折。这个方案可行且最优吗？我们再检查是否还有更优。c=3，乙120座，还需90座。甲公司a=0,b=3→99≥90,租金1350,总F=1350+1500=2850，等于纯甲。a=2,b=0→90≥90,租金1200,总F=1200+1500=2700！检查：乙3辆120座，甲2辆45座90座，总座位210，恰好满足，总费用1200+1500=2700元，比2800更优。车辆：甲2辆45座，乙3辆40座，总5辆车？甲2辆+乙3辆共5辆？等一下，是不同公司，总辆数不是约束，费用最重要。2700元，检查乙公司打折条件：乙公司3辆车折前总费用1500元，不超过3000，不打折。总费用=甲1200+乙1500=2700元。c=4，乙160座，还需50座，甲a=0,b=2→66≥50,租金900,总F=900+2000=2900；a=1,b=0→45座不够(45<50)，再加1小33租金+450=1050，总F=1050+2000=3050。c=5，乙200座，还需10座，甲只用1辆33座即可，租金450,总F=450+2500=2950。c=6，乙240≥210,不需甲，费用6×500=3000（不打折）。因此最低方案是c=3,a=2,b=0，即甲公司2辆45座，乙公司3辆40座，总费用2700元。这个方案需要在答案中明确写出来并说明计算过程。这道题的计算量比较大，考场上不太要求学生穷举到极致，往往题目会设定一个合理的枚举范围。但从PISA理念看，这道题训练的是“在多个变量下进行系统决策”的数学化能力。日常教学时可以降低计算量，但保留决策逻辑的训练。PISA素养分析与教学建议：本题是一个典型的多条件优化决策题，需要学生在不同方案之间进行比较和选择。教学中我会引导学生画一张“方案对比表”，横行列不同组合，竖行写“车辆数”“座位数”“费用”“是否满足条件”，把直觉判断变成可视化的数据对比，减少遗漏。精讲四：学生课外阅读情况调查（统计与概率）试题呈现：某校七年级为了解学生课外阅读时间与学业成绩之间的关系，随机抽取了200名学生进行问卷调查。统计结果如下表：每天课外阅读时间人数其中学业成绩优秀的人数不足0.5小时5080.5～1小时80321小时以上7040分别计算三个时间段的学生中，学业成绩优秀的频率。根据上述数据，你认为课外阅读时间与学业成绩之间是否存在关联？请说明理由。小明说：“从数据看，阅读1小时以上的学生成绩优秀的频率最高，所以只要每天阅读1小时以上，成绩就一定会优秀。”你同意小明的说法吗？请从统计的角度说明理由。逐问解析：第1问——频率计算，送分但要注意分母。优秀频率=该时间段优秀人数/该时间段总人数。不足0.5小时：8/50=0.16；0.5～1小时：32/80=0.40；1小时以上：40/70≈0.571。列出来即可。第2问——关联判断，要有数据支撑。标准答案模式：从频率来看，阅读时间越长，优秀频率越高，表明课外阅读时间与学业成绩存在正相关。但需要注意，这只是一个抽样调查，不能直接说因果关系。回答时要强调“从样本数据看，存在正相关趋势”，而不要用绝对化的词。第3问——统计思维辨析，这是PISA反思能力的典型考查。不同意。理由可以从多个角度切入：第一，频率高不代表“一定”，只能说明可能性更大。第二，成绩优秀与阅读时间之间可能存在其他影响因素（比如学生本身学习习惯好），并不一定是阅读时间直接导致成绩优秀，即相关不等于因果。第三，样本容量和抽样范围有限，结论不能随意推广。学生写出一条有理有据的即可得分，但必须体现“相关不是必然”这一统计核心观念。这道题看上去简单，但第3问的区分度很高，不少学生只会说“不一定”，但说不出“为什么不必然”，显得空洞。复习时要专门训练学生用“频率是概率的估计”“存在其他变量”“样本有局限性”等规范语言来说理。精讲五：校园农场种植方案（代数综合与优化）试题呈现：学校“耕读园”有一块矩形试验田，长20米，宽12米。计划在这块田里种植西红柿和黄瓜两种作物。西红柿每株占地0.5平方米，黄瓜每株占地0.8平方米。根据作物习性，西红柿和黄瓜的行距要求不同，最终可种植的总株数受到土地总面积和种植密度的双重限制。经测算，这块地最多可种植西红柿80株，黄瓜最多可种植60株。两种作物的预期收益如下：西红柿每株收益6元，黄瓜每株收益8元。设种植西红柿x株，黄瓜y株，请写出x、y应满足的所有约束条件。若要使总收益最大，应分别种植西红柿和黄瓜多少株？最大总收益是多少元？实际上，学校希望至少种植20株西红柿（便于学生观察）。在此条件下，第2问中的最优方案是否需要调整？若需要，请给出新的最优方案；若不需要，请说明理由。详细解析：第1问——完整列出约束条件。土地面积约束：0.5x+0.8y≤20×12=240。个体上限约束：0≤x≤80,0≤y≤60。x、y为整数。有些学生会漏写非负条件，注意补充。另外，有的题目还可能隐含“必须种满”之类的条件，这道题没有，所以只列给出的即可。第2问——整数线性规划的简单情形。目标函数总收益R=6x+8y。在约束区域内求最大值。这类题在初中一般通过分析边界即可，因为目标函数系数和约束条件比较简单。分析思路：由于黄瓜单株收益更高，优先多种黄瓜。但黄瓜上限60株。如果y取最大60株，则用地0.8×60=48平方米，剩余240-48=192平方米可种西红柿，192/0.5=384株，但西红柿上限80株，所以y=60时，x最多80，占地0.5×80=40平方米，总用地40+48=88平方米，远未达总面积上限。那么可以继续增加x？x已到上限80，不能再多。所以此时x=80,y=60，收益=6×80+8×60=480+480=960元。是否可能减少y来增加x?x上限80已是最多，收益比黄瓜低，减少y换成x只会降低总收益。所以最大值就是(80,60)，收益960元。但我们要验证是否满足所有约束：0.5×80+0.8×60=40+48=88≤240，满足。所以最优方案就是顶格种植。第3问——增加额外约束后的最优调整。“至少种植20株西红柿”即x≥20。原最优解x=80本身就≥20，所以这个新增条件并不改变最优解，不需要调整。不少学生会怀疑自己，明明多了一个限制，怎么会不变？这就考查了“检验已知解是否满足新约束”的思维，不用重新算一遍。写出“原方案中x=80已满足x≥20，故最优方案不变”即可得分。PISA素养：这个第3问非常巧妙，不是增加一个紧约束，而是增加一个松约束，测试学生在不必要的情况下是否盲目重新计算。日常教学应多设计此类“假改动”来训练批判性思维。四、配套变式训练（五道，附参考答案与简要解析）变式训练一（方程与不等式类）：

题目：某文具店准备购进甲、乙两种笔记本。甲种每本进价3元，售价5元；乙种每本进价5元，售价8元。商店计划用不超过1200元的资金购进这两种笔记本共300本。甲种笔记本的进货量不少于乙种笔记本的2倍。请问：如何安排进货才能使全部售出后获得的总利润最大？最大利润是多少元？参考答案：设购进甲x本、乙y本。约束：x+y=300，3x+5y≤1200，x≥2y。将x=300-y代入得3(300-y)+5y≤1200→900+2y≤1200→y≤150，又x≥2y即300-y≥2y→y≤100。所以y≤100，取y=100则x=200。利润P=2x+3y=2×200+3×100=700元。若y<100，减少乙而增加甲，利润会降，故最大利润700元，方案甲200本乙100本。变式训练二（几何测量类）：

题目：如图，小华想测量河对岸的塔高。他在河岸边A点测得塔顶仰角30°，然后沿河岸后退30米至B点，测得塔顶仰角为20°。测角仪高度忽略不计，A、B和塔底C在同一水平面，A、B、C三点共线吗？请据此求塔高。（参考数据：tan30°≈0.577,tan20°≈0.364）参考答案：A、B、C不共线，因为“沿河岸后退”意味着AB平行于河岸，塔在对岸，所以AB不一定指向塔底。需要重新画图分析。设塔高h，C到A所在河岸线的垂直距离d，AB=30且AB∥河岸，则A、B两点到C的水平距离不同。需要利用角度关系，设未知数列方程。具体略。变式训练三（函数决策类）：

题目：某移动通信公司推出两种套餐：套餐A月租20元，含100分钟通话，超出后0.2元/分钟；套餐B月租35元，含200分钟通话，超出后0.15元/分钟。设每月通话x分钟，总费用y元。分别写出两种套餐的y与x的函数关系式，并回答：当每月通话多少分钟时，两种套餐费用相同？若小王每月通话约250分钟，选哪个套餐划算？参考答案：套餐A：y=20(x≤100),y=20+0.2(x-100)(x>100)。套餐B：y=35(x≤200),y=35+0.15(x-200)(x>200)。当x>200时，令20+0.2(x-100)=35+0.15(x-200)，解得x=400。所以400分钟时费用相同。250分钟时，x<400，比较：A费用=20+0.2×150=50元，B费用=35元(未超200分钟)，选B。变式训练四（统计概率类）：

题目：某班40名学生一次数学测验成绩频数分布表如下，成绩按A(优秀)、B(良好)、C(及格)、D(不及格)四等。A等5人，B等18人，C等12人，D等5人。若从该班随机抽取一名学生，抽到B等及以上为“达标”。求抽到达标的概率。现在随机抽取两名学生（不放回），求至少有一名达标的概率。参考答案：达标人数=5+18=23人，总40人，单次抽到达标概率23/40。两次不放回至少一名达标，用对立事件：两名都不达标概率=(17/40)×(16/39)=272/1560≈0.1744，则至少一名达标概率≈0.8256。精确分数为1-(17×16)/(40×39)=1-272/1560=1288/1560=161/195。变式训练五（代数综合优化类）：

题目：学校计划用篱笆围一个矩形花圃，一面靠墙（墙长15米），另外三面用篱笆围成，篱笆总长24米。设垂直于墙的一边长为x米，平行于墙的一边长为y米。求花圃面积S关于x的函数关系式，并求出能使面积最大的x值及最大面积。参考答案：由题意：2x+y=24（y为平行于墙的一边），且y≤15（墙长限制）。面积S=xy=x(24-2x)=-2x²+24x。顶点x=6，此时y=12≤15，符合。Smax=-2×36+24×6=72平方米。所以x=6时面积最大72平方米。五、配套工具：项目化学习试题学情诊断小测这份小测用于复习后当堂检测，限时45分钟，满分50分。前三题为必做，第四题选做（供学有余力学生）。（方程与方案决策，12分）某班级组织春游，有48名学生和2名老师。可以租用A型车（每辆坐6人，租金80元/天）和B型车（每辆坐10人，租金120元/天）。要求老师分散到各车，且每车至少有一名老师。问如何租车费用最低？写出方案和最低费用。（几何测量，12分）如图，小明放风筝，风筝线长50米，线与地面夹角35°，小明身高1.6米。求风筝距地面的高度。后来风变大，线长不变，角度变为45°，风筝升高了多少？（参考数据：sin35°≈0.574,sin45°≈0.707）（统计与说理，10分）某校调查八年级学生“最喜欢的运动项目”，得到扇形图：篮球40%，足球25%，乒乓球20%，其他15%。小明说：“因为篮球占40%最大，所以八年级大部分学生最喜欢篮球。”你同意吗？从统计角度说明理由。（选做，16分）某园艺公司计划培育A、B两种花卉。培育A种每株成本20元，利润10元；B种每株成本30元，利润18元。公司投入成本不超过3000元，且要求A种至少培育50株，B种不少于A种的一半。应如何安排使总利润最大？小测参考答案：50人，老师2名分到不同车，每车有老师，则最多租2辆车？但两辆车可能不够坐。需要综合考虑。设A型a辆、B型b辆。座位数6a+10b≥50，且每车至少1老师，故a+b≤2（因为只有2名老师）。若租1辆B坐10人加老师，余40人需A车：a需7辆，总费用7×80+120=680元，老师不够分。最多只能租2辆，则2辆车需坐下50人，且各有一名老师。即a+b=2。组合：2B坐20人不够；1A1B坐16人不够；均不行。所以必须租3辆以上，但老师只有2名，矛盾？审题：“老师分散到各车，且每车至少有一名老师