湖北省十堰市2025-2026学年高一数学上学期10月月考试题含解析

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.设集合，，若，则（）．

A2B.1C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.

【详解】因为，则有：

若，解得，此时，，不符合题意；

若，解得，此时，，符合题意；

综上所述：.

故选：B.

2.已知集合，，则中元素个数为（）

A.0B.3C.5D.8

【答案】C

【解析】

【分析】根据补集的定义即可求出．

【详解】因为，所以，中的元素个数为，

故选：C．

3.武当山是我国著名的道教圣地、世界文化遗产，有不少令人向往的景点.甲、乙、丙三位同学被问到是否

去过金顶、紫霄宫、太子坡三个景点时，甲说：我去过的景点比乙多，但没去过金顶：乙说：我没去过紫

霄宫：丙说：我们三个人去过同一个景点、则乙一定去过的景点是（）

A.金顶B.紫霄宫C.太子坡D.不能确定

【答案】C

【解析】

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【分析】根据题意分析结合集合的交集思想即可求解.

【详解】先从乙说的出发，可以推出乙可能去过金顶或太子坡，

再由甲说的，可以推出甲去过紫霄宫和太子坡，则乙只能去过金顶和太子坡中的一个，

再结合丙说的，利用集合交集的思想，即可判断出乙一定去过太子坡.

故选：C

4.下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有（）

A.，B.有的矩形不是平行四边形

C.，D.，

【答案】C

【解析】

【分析】利用存在量词的概念以及命题的真假即可求解.

【详解】ABC均为存在量词命题，D不是存在量词命题，故D不符合题意，

选项A：因为，所以命题为假命题；

选项B：因为矩形都是平行四边形，所以命题为假命题；

选项C：，故命题为真命题，故C正确.

故选：C．

5.若，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到

，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证

明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由

通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.

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【详解】解法一：

因为，且，

所以，即，即，所以.

所以“”是“”的充要条件.

解法二：

充分性：因为，且，所以，

所以，

所以充分性成立；

必要性：因为，且，

所以，即，即，所以.

所以必要性成立.

所以“”是“”的充要条件.

解法三：

充分性：因为，且，

所以，

所以充分性成立；

必要性：因为，且，

所以，

所以，所以，所以，

所以必要性成立.

所以“”是“”的充要条件.

故选：C

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6.设，，则与的大小关系是（）

A.B.C.D.无法确定

【答案】A

【解析】

【分析】利用作差法解出的结果，然后与0进行比较，即可得到答案

【详解】解：因为，，

所以，

∴，

故选：A

7.已知实数满足，则的取值范围是（）

A.B.

C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】令，得到，求得，得到

，即可求解.

【详解】令，联立方程组，解得，

则，

因为，可得，

所以，所以，即.

故选：B.

8.已知U是非实数集，若非空集合A1，A2满足以下三个条件，则称（A1，A2）为集合U的一种真分拆，

并规定（A1，A2）与（A2，A1）为集合U的同一种真分拆

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①A1∩A2=0

②A1A2=U

③的元素个数不是中的元素.

则集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（）

A.5B.6C.10D.15

【答案】A

【解析】

【分析】由真分拆的定义及规定即可求解.

【详解】解：由题意，集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆有；

；；；

，共5种，

故选：A.

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列命题为真命题的是（）

A.当时，，

B.，，

C.若，则

D.“”是“”的必要不充分条件

【答案】BD

【解析】

【分析】A、C选项可以举反例排除，B选项配方可以求解，D选项根据充分必要条件的概念判断即可.

【详解】A选项，由二次函数性质可知，当时不成立，故A选项错误；

B选项，，由于完全平方非负，则，故B选项

正确；

C选项，时不成立，故C选项错误；

D选项，“”可以推出“”，“”推不出“”，故“”是“”必

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要不充分条件,故D选项正确；

故选：BD.

10.若正实数，满足，则下列说法正确的是（）

A.有最大值B.有最大值

C.有最小值4D.有最小值

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用基本不等式可判断A的正误，利用A的结果可判断BC的正误，利用反例可判断D是错误的，

故可得正确的选项.

【详解】因为正实数a，b满足，所以，

所以，故当且仅当时等号成立，

故有最大值，A正确；

由A可得，

当且仅当时等号成立，故有最大值，B正确；

，当且仅当时等号成立，

故有最小值4，C正确；

取，此时，所以的最小值不是，

故D错误，

故选：ABC..

11.设集合X是实数集R的子集，如果实数满足：对任意，都存在，使得成

立，那么称为集合X的聚点.则下列集合中，0为该集合的聚点的有（）

A.B.

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CD.整数集Z

【答案】AC

【解析】

【分析】利用集合聚点的新定义，集合集合的表示及元素的性质逐项判断.

【详解】A.因为集合中的元素是极限为0的数列，所以对于任意，都存在

，使得成立，所以0为集合的聚点，故正确；

B.因为集合中的元素是极限为1的数列，除第一项外，其余项都至少比0

大，所以对于时，不存在满足的x，所以0不为集合的

聚点，故错误；

C.对任意，都存在，使得成立，那所以0为集合的聚点，故

正确；

D.对任意，如，对任意的整数，都有或成立，不可能有

成立，所以0不是集合整数集Z的聚点，故错误；

故选：AC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分

12.已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是______．

【答案】

【解析】

【分析】根据，当时，求解；当时，求解即可.

【详解】由题意，,

当时，则，

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则，

又，

所以集合.

故答案为：.

13.设集合，则集合的子集个数为________

【答案】16

【解析】

【分析】先化简集合A，再利用子集的定义求解.

【详解】解：，

故A的子集个数为，

故答案为：16

14.正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【解析】

【分析】将问题转化为，利用基本不等式求出的最小值，再解一元二次不等式

即可.

【详解】因为不等式恒成立，

所以，

因为，且，

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所以，

当且仅当，即时，等号是成立的，

所以，所以，即，

解得.

故答案为：

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知集合

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据集合的运算法则计算；

（2）由得，然后分类和求解．

【详解】（1）当时，中不等式为，即，

∴或，则

（2）∵，∴，

①当时，，即，此时；

②当时，，即，此时.

综上的取值范围为.

16.设函数

（1）若不等式的解集为，求，的值；

（2）若，求以下两个问题：

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①若，，求的最小值：

②若在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）

（2）①9；②

【解析】

【分析】（1）利用不等式解集结合一元二次方程根和系数的关系求解即可；

（2）①利用基本不等式中“1”的应用求解即可；②把转化为在R上恒成立，

利用二次函数的性质求解即可.

【小问1详解】

若不等式的解集为，

则，

所以.

解得.

【小问2详解】

若，

①，，则，

当且仅当，即时，等号成立.

故的最小值为9.

②在R上恒成立，

即在R上恒成立，

若，则z在上不恒成立，舍，

故，

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解得：

故a的取值范围为.

17.设.

（1）当时，解关于的不等式；

（2）当时，解关于的不等式；

（3）若关于的不等式在时有解，求实数的取值范围.

【答案】（1）

（2）答案见解析（3）

【解析】

【分析】（1）通过解一元二次不等式来求得正确答案.

（2）对进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法来求得正确答案.

（3）利用分离参数法，结合函数的单调性、最值等知识来求得的取值范围.

【小问1详解】

当时，由，得，解得，所以不等式的解集为.

【小问2详解】

当时，由整理得，解得；

当时，由整理得，

即，解得；

当时，由整理得，

即，令，解得或，

令，解得，

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当，即时，原不等式的解集为或；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为或.

综上，，原不等式的解集为或；

当时，原不等式的解集为；

当，原不等式的解集为或；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为.

【小问3详解】

依题意，关于x不等式在时有解，

即在时有解，

由于，

所以在区间上能成立，

由于在区间上单调递增，最小值为，

所以，所以的取值范围是.

18.某厂家拟在2023年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万

件与年促销费用m万元（）满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量

只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每

件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）．

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（1）将2023年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

（2）该厂家2023年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）

（2）该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元

【解析】

【分析】（1）根据，求出，从而可求出，再根据利润公式求函数关系式即可；

（2）根据（1）中结论，再结合基本不等式即可得解.

【小问1详解】

由题意知，当时，（万件），

则，解得，∴，

所以每件产品的销售价格为（元），

∴2020年的利润；

【小问2详解】

∵当时，，

∴，

当且仅当即时等号成立．

∴，

即万元时，（万元），

故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为2