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2026年数学奥林匹克竞赛代数考试题及答案1.设正实数,,…,满足+证明：对任意正实数,，由基本不等式可得，该不等式对所有i=1注意到(+化简得，当且仅当所有，即=对所有i成立，也就是所有=1时等号成立，原不等式得证。2.求所有函数f:ℤ→f解：首先证明f是双射。先证单射：若f(a)=f(b)，则对任意整数x，f(+f(a))=f(+f(b))，代入原方程得记c=f(0)，我们已经得到f(f(y))=+y对任意y成立。令y=0代入原方程得f(+c)=f(x。令y=−代入f(f(y))=+y接下来证明f是奇函数：对任意整数x，f((−x)=f(−x=f()=对原方程变形可得f(+f(y))=f()+y=f()+f(f(y))，令u=≥0，v=f(y)整数集上的可加函数必形如f(x)=kx，其中k为整数，代入f(f(y))=y得y=y对所有y成立，故=1，即k=13.设n是大于1的正整数，复数,,…,满足对任意1≤k证明：设首一多项式P(x)=(x)=++整理得递推关系：=我们对k用数学归纳法证明||≤1对所有1≤k≤n成立。当k=1时，=|由题设||≤1对所有j|归纳成立。当k=n时，||4.设a,b,+证明：先对通项变形，=1(原不等式等价于：3利用条件a+b+≥通分后左边分母为(a+b左展开分母：(a

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