专升本数学习题

《微积分》部分

第1次

1.已知函数/(x)=[f+2(X-\/(-1)=—,/(3)=

，八5)=

3x+1(x<3)

2.试判断以下函数奇偶性：(1)/(x)=ln(x+VlT?)答：

/一1vcin2014V

(2)=，答：_______,(3)/(x|=-------答：__________

e+1'6+cosx

3.指出以下函数由哪些基本初等函数复合而成：

(1)y=^ln[cos(2x+l)2J(2)y=

4.已知/(力=%3一％,°(x)=sin2x,求/

5.设f(x)满足等式f(lnx)=d—x,求/(此

6、某厂生产产品1000吨,每吨定价130元，销售量在700吨以内时,按原价出售,

超出700吨时超出部分需打9折出售,试将销售总收益与总销售量函数关系用数

学表示

7.某饭店现有高级客房60套，现在租金天天每套200元则基本客满，若提升

租金，预计每套租金每提升1()元都有一套房间会空出来，试问租金定为多少时,

饭店房租收入最大？收入为多少元？这时饭店将空出多少套高级客房？

第2次

1.填空：(A)观察以下数列与函数改变趋势，并写出它们极限

2n1+(T)“sinn

(1),答；(2)，答.；(3),2+7，答

〃+1n+1n~

“、..3x+7

(4)hm--------(5)lim(9.r+l)=

I)xx->-

3

lim3x2-3

2.求以下极限：⑴lim(x*2+2x4-1)(2)⑶lim与一

一12X-3・16厂+1

rX~-2.X+1/匚、「4x'3—2,x~+x(6)Ihn(—

⑷lim-----；--------(5)lim------------------

tx2-1io3冗~+lx/i->oh

2-l

⑺(8)lim^x—―(9)

XfgXXi2x~-x-\S8(x+2)"(r+1)-

八八i-x~~6x+8(1Z)lim(1+-)(2--!-)

(10)lim；(11)Inn--------------

.fx4-3X2+17x-5x+4Y—口)

]3x3-2x2

(13)lim(1+2。(14)lim(-...........二(15)lim

3

X—X—\-x1-xx->2(x—2)3

3、考查以下函数在分段点极限存在性。并画出函数图象:

1-x,(0<x<l)

l-2x,(x<0)

⑴⑵f(x)=M1,(x=l)。

1,U>0)

3-x,(1<x<2)

a-x,(0<x<2)

4、己知函数/(x)=1,(x=2)在x=2处极限1盘/(“存在且等于其函数

x-b,(2<x<8)

值,求常数4以

5.⑴试确定〃值使lim八"+"

(2)试确定a,方值使lim"+"'+"=5。

Il1-X

第3次

1、求以下极限

小..tan5^小..sin2x

⑴hm------⑵hm------

•J。sin3xx->-cosx

2

cosx-1/,、..1-cosx

⑶lun；—(4)lun--------

XTO*zoxsinx

X2

x-sinx7

⑸lim(6)lim(l--)3z

r->。x+sinxr->oot

⑺lim(l+」一)〃r4-1

(8)lim(—)x

〃tsn4-1X—X-\

⑼lim（1+3"（其中〃为正整数）

(10)lim

18XXT。尸COSX

(11)(12)limxsin—

mX-TtKfxX

2、设lim/(x)存在，且M*(x)=2xlimf(x)+sin2x,求lim/(x)

x->0x-0KTO'

第4次

1、比较以下无穷小量：

(1)sin2xx2+x3(x-O)(2)工与x-sinx(x—>0)

2、求以下极限

「sinn/?(1+sin3〃2)

⑴lun-----⑵lim

〃一>8〃〃一>8n2+1

/-2/

⑶lim-~~(4)limx21-cos

.r-2(x-2)2XT9

ln(l+xsinx)(l-e')sin2x

(5)hm--------------(6)lim7

x-ol-cos2xXTOtan-x

fi-x+sinx(8)limln(1~^+3%3)

⑺hm-------

xfox-sin冗z°xtanx

3、写出以下函数连续区间与间断点

1X2-1

⑴⑵)'=

-4x+3

1(x<-l)

/(-l<x<0)在分断点处连续性，间断点要指出其类型。

4.讨论，(幻=,

2x(x>0)

Q+f,(-1<x<1)

5.设函数/(%)=,b,(x=-l)在内连续，试确定4b值」

y/x2-l,(-oo<JV<-1)

6、设lim/(X)存在，且0*(x)=2x1im/(x)+*in2x,求

.V->0A->0Kf0

第5次

I.求以下极限:

（1）lim（l+sinx）x=

A->0

1

（2）limx,-A=

.V->1

2.证实方程e'=3x在（0,1）内最少有一根。

3.证实函数〃x）=d+x+l必有一个小于（）零点。

4、设函数/（X）在区间［〃,可上连续，且/⑷>&"（〃）<〃，证实在（。,〃）内最少

存在一点使

第6次

1.依照导数定义求函数.f（x）=«TT（冗>-1）导数。

2.设函数/（冗）=炉+2冗-1,依照导数定义求八0）。

3.设lim(2)=4,求八为)。

/)->oh

4.讨论函数/(x)=|x-l|在广1处连续性与可导性。

5.求曲线y=F在点(1,1)处切线方程和与法线方程。

6.设g(x)是有界函数，/(x)=^(x)sinx2,求/'(())

cinr>0

7、设〃幻=广皿Y工x-u在尸o处可导，试求常数a与b值。

\ax+bx<()

第7次

1.求以下各函数导数(a,b,c为常数)

①y=3'+x5+]n3②>=(17)(1+/)

gax"+/7x+cgsin.r

③)'二^~~r；—④户有

(a+b)x

⑤y=x(x+l)(x+2)(x+50)求/'(0)⑥)=xcosx+3x求)口=一万

2.求以下各函数导数

①y='4一工2②丫=(1+sin2x)4

③y=e④y=IncM+J)

⑤y=arctan4x⑥y=intan

(7)y=(InInx)2(8)y=x2-arcsin2x

第8次

1.①求方程±=ln(xy)确定隐函数y=)，(x)导数

y

②求曲线/+)户_2W=0在点(1,1)处切线方程。

③求由孙-，+e,=0所确定隐函数y=y(x)在x=0处导数y'［口。

2.用对数求导法求以下函数导数

①），=（1+4,。＞一1）②y=xsinx+X2,（X>0）

3.求以下各函数二阶导数

①y=e~x(2)y=sin2x

③求y=dInx在史二阶导数y"⑴。

4.设y=xlnx,求丁⑺。

5.求以下各函数微分

®y=x]nx-x®y=-

]一r

③>=泥一「@.v=/(cos3/)

6.求以下各方程确定隐函数y=y(x)微分小

①x2+y4=17②y=sin(x+y)

第9次

1.某化工厂日产能力最高为1000吨，每日生产总成本c元是日产量x吨函数

c(x)=1000+7x+50丘xe[0J000]。

①求当日产量为100吨时平均单位成本。

②求当日产量为100吨时边际成本。

2.已知某产品价格P是销售量X函数：p=pa)=100-3x,①求边际价格,

②求销售量为X单位时边际收入。

3.某企业生产某种产品，天天总成本C元与产量x吨之间函数关系为：

c(x)=2000+450x+0.02f,假如每吨产品销售价格为49()元，求：①边际成本,

②边际利润，③边际利润为零时产量。

4.设某商品需求量Q对价格P函数关系为Q=/(P)=1600(L)P，求需求量Q

4

对价格P弹性。

5.设某商品销售量Q与价格P之间关于系式Q=詈，试求：

①需求弹性。

②价格为」单位时需求弹性.

2

第10次

1.逐条检验函数/。）=无行二在区间［0,3］上是否满足罗尔定理条件，若满足

就求出定理中数值自.

2.对于函数/。）=.式工-1）。+1），不求解方程，利用罗尔定理指出/（6=0有

几个实根以及各个根取值范围。

3.设，（%）在［0,1］上可导,且/⑴=/（（））=（）.证实：在（（）/）内最少存在一点

使/'《）=/C）.（提醒：对函数尸（无）=e-xfM利用罗尔定理）

4.利用拉格朗日中值定理证实以下不等式。

①|sin。一sin〃区|。一b|；<ln(l+x)<x(x>0).

\+x

(3)x>0时，ln(l+-)>—

X1+x

5.证实恒等式：arctanx+arccotx=^/2.

第U次

1.用罗必达法则求以下各极限

不，.sinx-sin«

①吧丹②hm---------------

x-a

.lnsin2x

③lim”一。、—2x@1m

x-sinxio’Insinx

⑤lim侬一⑥lim"

x-*oX~ln(l+x)7tan3x

2

⑧lim(—5-------

⑦蚂4R:)x->oexx

V

⑨lim(兀-x)tan—⑩lim(tan2x)'

.IK2

2.验证极限lim)三不能用罗必达法则求出，并用其它方法求出其极限。

3.已知lim(cos如户=e一2,试求常数〃值。

第12次

1.求以下函数单调区间

®y=x+-@y=x^-2\x\x

X

2.证实函数/(x)=’-arctan，在定义域内单调降低。

xx

3.利用函数单调性证实以下不等式

①当初x>(),A/X+1<l+-x;②当初xwO,ex>l+x

2

jr2

(3)当初0＜工＜一,sinx＞—x.

271

4.求以下函数极值与单调区间

@y=X3-3x2-9x-l；②y=---7

(l+x)~

5.利用二阶导数求/(x)=feT极值。

第13次

1.求以下函数凹凸区间和拐点

①八»=。7'②/(r)=rVr-2

2.确定常数。、b、C值，使/（外=/+&丫2+以+。有一拐点（1,一1）,且在x=_l

处取极值。

3.求以下曲线水平与铅直渐近线

JT7

①》=®y=ex-1

(l-x)(2+x)

第14次

1.求函数》=次（8-幻,工£[1,7]最大值与最小值。

2.设某商品销售量x与价格〃之间关系为：x=1200-6p,试问价格p为多少

时，销售收入最大？最大销售收入为多少?

3.设每七天生产某商品不单位总成本为C（x）=200-12x+0.2f（元），销售单价

为20元.问每七天生产该商品多少单位时才能取得最大利润？最大利润是多

少？

4.设生产某产品7千件平均成本为e（/）=16+41+丘（元）,企业以每件1元价

x

格出售该产品，问生产多少千件产品才能得到最大利润？

5.设某商品需求量x是单价〃函数：〃=80-0.09x（元），商品总成本C是需求

量x函数：C（x）=7000-2%+0.01/（元），若每单位商品纳税2元，贝|

（1）求纳税后不盈不亏时商品价格；

（2）求纳税后销售利润达成最大时商品价格和最大利润额。

第15次

1.已知j/(x)公nfsinx+C,求/*)..

2.求经过点(工,2),且在任意点*,)，)处切线斜率等于cosx曲线方程。

3.已知卜"(x)公=x+，+C,求Jf(x)dx.

4.若是/(x)一个原函数，求卜"(Inx心.

5.求以下不定积分

(1)J(2x3+y[x——)dx(2)j(x+Vx)(x2+l)dx

(4)Jsecx(secx-tanx)dLv

(5)公(6)[2cos2—dx

JxJ2

(8)[3cot2xdx

cos2x

(9)(io)[dx

Jsinx+cosx

第16次

1.求以下不定积分

1

(1)dx(2)jV5-2xdx

4x+5

1+sinJF.

(3)j(cos3x+e，)dx(4)----『——at

小

(5)j(x3+x)71+(6)Jsin7xcos3x6t¥

(,dx

(7)(8)

xVl-21nx

(9)cos5xsinxclx(10)jcotxcsc4xdx

rarccotx.

(11)(12)------丁出

J1+x2

16x+5,

-dx(14)—j^===dx

32

—x~(arcCOST)V3A-+5A-10

2

(15)(16)

1+e

第17次

求以下不定积分

1+Vx,

(1)—7=—or(2)jx2(l-x)20^

rdx⑷J*

1+

dx

(5)j71+exdx(6)

7o-x2)3

第18次

I.若ln2x是/(x)一个原函数，求力;、和，.炉"(x)力;.

2.求以下不定积分

(1)xsinxdr(2)

J

jln(l+X2)JLV(4)jx2exdx

(5)j(x2+l)cosxtZv(6)卜21n(久+ig

rInx

(7)arccosuri/r(8)J(一)2dx

(9)je3xco^lxdx(10)xarctan^dLr

第19次：求以下不定积分

(1)(2)f—/—dx

JXJx(y°+i)

rcotx.cosx-sinA.

-------ax(4)--------------dx

JInsinxcosx+sinA

x

⑸jdx⑹J-

(I+X)10

⑺[sinyfxdx⑻J-dx

第20次

1.在以下定积分被积函数图象中指出一块面积，使之与对应定积分值相等(用

阴影表示在平面直角坐标系上)

3____乙

(1)J\l9-x2dx；(2)J号sinxdx

~~3

2.依照定积分几何意义，用定积分表示由曲线y=/,y=o和工=2所围成图形

面积。

3.利用定积分几何意义填空：

(1)J；4A•仆；⑵J：24y二

第21次

1.计算以下积分

.1

2sin—

2

(1)Ji"(x+-)tZ.v(2)jf--r-dy

x“一y

(4)f2|l-x|rfr

⑶JT1厂(r%+1)J0

(5)尸tan*"。(6)f1q-dx

J0

⑺匚』(8)f'4^^

J02

e%x+1

(X<0

(9)函数=,计算Jo/(x)公；

L(x>l)

2.求以下函数导数

(,1)、F(x)=r[ioo-^1=dt(2)G(x)=J：tIe'dt

J*Vl+r

3.求以下极限

r0,

fln(l+t)dtcostdt

(1)lim———；-----(2)lim--------

尸XTOx

第22次

1.计算以下积分

..eIn8P

⑴」；知⑵J2777公

⑶口公(4)f7sin3x-sin>xd!¥

Jo

⑹「再"

⑺匕/公⑻CF以

(9)Jln(\l\+x2-x)dx(10)J：(tanx5+cosx)dx

(11)J!\nxdx(12)f；cos^

(⑶乐力(14)f%arctanr/r

Jo

(15)jcos5xdx(⑹「:苧

2.设/(x)是连续函数，证实：J；/(x)〃=j；/(a—x)〃。

3.求以下广义积分

⑴⑵「二心

J()

第23次

1、计算以下各小题中由线围成图形面积。

⑴由y=ex,y=e和x=0所围成部分。

7T

(2)y=sinx,y=cosx和％=0,五=耳所围成部分c

（3）由y=/和y=2x+3所围部分。

2、求由y=/和V=8x所围成部分分别绕x轴和），轴旋转一周体积。

3、求由曲线y=«与直线x=l,x=4,y=0所围成图形绕x轴旋转一周所得

立体体积。

4、已知抛物线y=/与三直线x=〃，x=a+l,j=0,

（1）当。为何值时，它们所围成图形面积最小？

（2）求此最小面积图形分别绕冗、），轴旋转一周所得几何体体积。

第24次

1、判断以下级数敛散性,并求收敛级数和

9en+2X1

①32(-1严-②X——

n=lV占2n(n+1)

8

2+(-1)〃

③热岛)@z

n-\T

公1111

⑤1+2+3+…+99+£sin—万：m)—+——+——4-…+——+…：

“Too73V3V3V3

co&

⑧才〃In—

⑦y+V

888

2、设级数£许收敛，级数、＞〃发散，证实：级数£（。〃+包）发散，并由此判

n=\n=\n=\

3

断级数）敛散性。

10〃

第25次

1、判断以下正项级数敛散性

00n+184

①X2②£

n=\n+5/2+2〃=1ndn+1

oc8Inn

③z~n+\@z

n=l〃二】n

8

713〃

⑤⑥z

n=\/J=l

cP_

⑧Z2〃si*

n=l)

PCT-nl8

2〃+1)

⑨zrt⑩£(

n=ln〃=l

3〃

2、证实：lim—=0

rt-»8〃！

第26次

1、判断以下级数是否收敛，若收敛指出是条件收敛还是绝对收敛?

⑴Y（-]y-^-L=

n=\J"+1

⑶s空（其中。是任意一角弧度值）（4）£（-1产n

〃=i〃2/7-1

.n

oosin/s?M2

（5）Y

“=iy[An^⑹尸

00_

（7）y（-i）z,—⑻Z（T）〃5〃tan前

〃=】〃•ZM=13

00811

（9）£（-1尸f（10）7（1+-）

n=\建H=13〃

2、讨论级数w收敛情况（包含条件收敛与绝对收敛其中〃〉0）

”=1〃

第27次

1、求以下级数收敛半径和收敛域

③》3（4）Z宁一

71=0〃=]7〃

2、求幕级数收敛域与和函数

00118〃

①£（6-踵X；②Z（T）"一；

”=o33〃=[n

③

/|=1

第28次

1、将以下函数展开成麦克劳林级数，并写出收敛域.

x

(1)

2*1+3x

(3)(4)-

x2+5x4-62

(5)x2e2x,i(6)3Y

2、将函数〃x)=—!—展开成x—2某级数，并写出收敛域。

x+3

3、将函数/(x)=—，在/=-1处展开成辱级数，并写出收敛域。

1-x

4、求级数£，和。

n=2n-

笫29次

1、验证以下各题中给出函数是否为对应方程解，若是解，则指出是其通解，还

是特解。

人sinx,

①)'=----,冲+y=cosx；(2)y=c(e~x+/'),y"-3y'+2y=0

2、求解以卜微分方程

①xydx+yj1-x2dy=0；②-----y=e

y

③yInxdx+xlnydy=0；OV=e”,y(o)=o

3、求解以下微分方程。

y

①=②户T，y⑴=。

4、求解以下微分方程

①yf-xy=O；②e*+y=0,y(0)=2；

③盯'+y=3,y⑴=0；®yr+y=2ev

5、求解以下微分方程

①了”="—cosx；②y〃=』y'+xex,(注：不显含y)

第30次

1、求以下微分方程解

①y〃+y'=0,②y"+y=()

(3)/-6/+9y=0,(4)y"-3y'-4y=0,

2、已知二阶常系数线性齐次微分方程两个特解为：1和",

①试写出该微分方程；②写出该微分方程通解。

3、求解以下微分方程：

①yn-y=-5x,(2)y"+4y'=8

4、已知函数y=1,y2=\+e\%=1+/'都是方程)，〃+。)，'+力，=/(1)解,

①试写出y"+ay'+=0通解；②试写出y"+ay'+by=/(x)通解；

③写出方程y"+a)/+〃)，=/(x)详细形式.

第31次

1.求以下函数定义域，并在平面直角坐标系下画出其定义域略图。

(1)z=lnxy(2)z=^4-x2-y2+,*=

J/+)#-J

(3)z=-------(4)z

2.求极限

①lim辿项ln(x2+j2)

②物22

XTOyx+y

y->0y->l

④lim(x24-y2)-sin——

③lim国“一27

一冲-1r+)厂

)TO

第32次

1.设/*,)，)=y求£(x,y)；Ax,y)"；(O,i)

2.设z=ln(x+力，求第3却(3)

3.求以下函数偏导数

@z=(cosx)siny；②z=«•Iny；

®z=exy+yx2；

第33次

1、按要求求以下函数高阶导数

22

G02-P.32z8Zdz

①Z7+)，+肛+C5,求记后诉②z=),lnx，

oxoy(L100)

2、求以下函数全微分

①z=孙+'；②〃=”.

y

3^设f(x,y)=x',求力'(x,y)及4(1,1)。

第34次

1.z=M2-Inv,其中"=±,u=3x+2y,求生,生。

ydxdy

z=w2+v2,其中〃=cos3x,u=sin2x,求包。

2.

dx

3.z=(2x+y)'f，求dz.

、_ixczdz

4.已知/(x,y)可微，z=f(x2-y2,e)‘求以’犷

第35次

1.已知＞=)，3)是由方程/y2+/+),4=i6确定隐函数，求立。

dx

已知z=z(x,y)是由方程x+y+z=e-(f3确定隐函数，求电,作。

2.

dxdy

3.z=z(x,y)由方程土=InZ确定，求半

zyoxdy

设Y+y2+z?-4z=0确定隐函数z=z(x,y),试求凸

4.

dx(2.0.1)

第36次

1＞求二元函数2=X4+：/一%2—2»一,2极值

2、某工厂生产两种型号精密机床，其产量分别为台，总成本函数为

C(x,y)=/+2y2一个(单位:万元).依照市场调查,这两种机床需求量共8台.

问应怎样安排生产,才能使总成本最小?

第37次

1、化/=口f(x,y)dcy为二次积分,其中积分区域D是：

D

①由y=尤，孙=1和x=2所围成；

②由y=/和y=2-戈2围成。

2、画出以下累次积分所表示二重积分积分积分区域，并交换其积分次序。

①［闷:/(x,yyly；②J：dy^'/(x,y)dx

3、计算以下二重积分

①J，(/+y)do,D是由y=/,)，=%所围成。

D

②jjxydxdy,其中D是由直线）;==l,x=2所围成。

D

③D由y=x,y=l,x=O所围成。

D

4、计算积分JjjF+ydb,。是圆心在原点,半径为3闭圆

D

计算二重积分\\（x2+丁）鹏,，其中。是圆环形域。=｛（苍"22

5、l<x+y<4

D

计算二重积分"）必由，其中。为圆域。=｛（）x2+y2<a2,a>（）

6、x,y

《线性代数》部分

第38次

1.利用对角线法则计算以下三阶行列式

2011—A,-24

(1)D=1-4-1；(2)D=23-21

-183111—A,

2.用行列式性质计算以下行列式

2210尤），

(1)D二10-55(2)D=-x0z

202199101-y-z0

用化上三角形行列式方法计算以下行列式

31-1

432

-314

(1)D=553(2)D=

510

364

1-53

(]2221234

20222341

(3)D=(4)D=

22023412

22204123

2-10-1

4.