2026年正项级数测试题及答案

2026年正项级数测试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.若正项级数∑aₙ满足aₙ₊₁/aₙ≤q<1对一切n≥N成立，则该级数A.必发散 B.可能收敛也可能发散 C.必收敛 D.必为几何级数2.对p级数∑1/nᵖ，使其收敛的p范围是A.p>0 B.p≥1 C.p>1 D.p<13.设∑aₙ为正项级数，若limnaₙ=1，则A.级数必收敛 B.级数必发散 C.无法判定 D.级数为调和级数4.若∑aₙ与∑bₙ均为正项级数且aₙ~bₙ，则A.两级数同敛散 B.两级数必都发散 C.两级数必都收敛 D.以上均错5.用积分判别法可判收敛的正项级数是A.∑1/(nlnn) B.∑1/(nln²n) C.∑1/n D.∑lnn6.若正项级数∑aₙ的部分和Sₙ有上界，则A.级数必发散 B.级数必收敛 C.可能发散 D.必为交错级数7.对∑(n²+1)/(n⁴+2)，用比较判别法应选比较级数A.∑1/n B.∑1/n² C.∑1/n³ D.∑1/n⁴8.若∑aₙ收敛，则A.limaₙ=0 B.limaₙ=1 C.limaₙ不存在 D.limaₙ=∞9.正项级数∑aₙ满足aₙ₊₁/aₙ→1，则A.必收敛 B.必发散 C.需进一步判别 D.为p级数10.若∑aₙ发散，∑bₙ收敛，且aₙ,bₙ>0，则∑(aₙ+bₙ)A.收敛 B.发散 C.可能收敛 D.为0二、填空题（每题2分，共20分）11.若正项级数∑aₙ收敛，则limaₙ=____。12.p级数∑1/nᵖ当p=____时刚好发散。13.用比值判别法时，若limaₙ₊₁/aₙ=L，则当L____时级数收敛。14.对∑1/(n²+1)，其敛散性为____。15.若aₙ~1/n²，则∑aₙ的敛散性为____。16.积分判别法要求对应函数f(x)在[1,∞)上____且____。17.若∑aₙ的部分和Sₙ→3，则级数和为____。18.对∑(lnn)/n²，用比较判别法应比较____级数。19.若∑aₙ收敛，则∑(aₙ+1/n)的敛散性为____。20.正项级数∑aₙ满足aₙ≤1/n²，则该级数____。三、判断题（每题2分，共20分）21.正项级数收敛当且仅当其部分和有上界。22.若aₙ→0，则∑aₙ必收敛。23.对∑1/n，积分判别法可判定其发散。24.若∑aₙ收敛，则∑aₙ²必收敛。25.比值判别法适用于所有正项级数。26.若aₙ~bₙ且∑bₙ发散，则∑aₙ必发散。27.对∑1/(nlnn)，用积分判别法可知其收敛。28.若∑aₙ发散，则其部分和Sₙ必趋于∞。29.正项级数收敛的充要条件是limaₙ=0。30.若∑aₙ收敛，则∑(aₙ+1/n²)必收敛。四、简答题（每题5分，共20分）31.叙述正项级数比较判别法并给出使用步骤。32.说明积分判别法的适用条件并举一例。33.给出比值判别法的结论并指出其失效情形。34.解释“同阶无穷小”在比较判别法中的作用。五、讨论题（每题5分，共20分）35.讨论∑1/(nᵖlnᵠn)的敛散性与p,q的关系。36.若aₙ>0且∑aₙ收敛，是否必有∑√aₙ收敛？说明理由。37.构造一个收敛的正项级数∑aₙ使limaₙ₊₁/aₙ=1，并说明为何满足条件。38.讨论“部分和有界”与“级数收敛”在正项级数中的等价性，并举例说明负项级数情形不再等价。答案与解析一、1C2C3B4A5B6B7B8A9C10B二、11.0 12.1 13.<1 14.收敛 15.收敛 16.连续、正值、单调减 17.3 18.∑1/n^(3/2) 19.发散 20.收敛三、21√22×23√24×25×26√27×28√29×30√四、31.比较判别法：设∑aₙ,∑bₙ为正项级数，若存在N使n≥N时aₙ≤kbₙ(k>0)，则∑bₙ收敛⇒∑aₙ收敛；∑aₙ发散⇒∑bₙ发散。步骤：选已知敛散的比较级数；求极限或不等式比较；得结论。32.积分判别法：若f(x)在[1,∞)上连续、正值、单调减，则∑f(n)与∫₁^∞f(x)dx同敛散。例：∑1/n²，∫₁^∞1/x²dx=1收敛，故级数收敛。33.比值判别法：设limaₙ₊₁/aₙ=L，若L<1收敛，L>1发散，L=1失效。失效情形：∑1/n(L=1发散)，∑1/n²(L=1收敛)。34.同阶无穷小即limaₙ/bₙ=c∈(0,∞)，此时∑aₙ与∑bₙ同敛散，使比较判别法可直接通过极限形式应用。五、35.当p>1时级数收敛；p=1且q>1时收敛；p=1且q≤1时发散；p<1时发散。36.不一定。反例：aₙ=1/n²，∑aₙ收敛，但∑√aₙ=∑1/