第10讲二次三项式的因式分解及一元二次方程的应用(一)(原卷版+解析)

第10讲二次三项式的因式分解及一元二次方程的应用（一） 掌握二次三项式要借助一元二次方程的知识进行解答掌握一元二次方程关于利率问题的应用充分了解二次三项式与其相对应的一元二次方程之间的联系会运用方程思想解决实际问题重点问题找到题目中的等量关系，其中列方程思想是本节的重点内容．模块一：二次三项式因式分解1、二次三项式的因式分解（1）形如的多项式称为二次三项式；（2）如果一元二次方程的两个根是和,那么二次三项式的分解公式为：．将在实数范围内因式分解，正确的结果是（）A． B．C． D．在实数范围内分解因式：（1）； （2）；（3）； （4）．在实数范围内分解因式：（1）； （2）；（3）； （4）．二次三项式，当取何值时，（1）在实数范围内能分解；（2）不能分解；（3）能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？一元二次方程应用：利率问题1、列一元二次方程解应用题的步骤：审题，设元，列方程，解方程，检验，写答句．注：解得一元二次方程的解后，一定需检验是否符合应用题的题意，若不合题意则舍去．2、利率问题：利息＝本金×年利率×期数×（1-利息税）；本利和＝本金+利息 ＝本金+本金×年利率×期数×（1-利息税）＝本金×[1+年利率×期数×（1-利息税）]．某人想把10000元钱存入银行，存两年．一年定期年利率6%，两年定期年利率为6.2%．方式一：采用一年期的利率存一年后到期取出再存一年；方式二：一次性存两年再取出，问两种方式哪种划算？某人将1000元人民币按一年期存入银行，到期后将本金和利息再按一年期存入银行，两年后本金和利息共获1077.44元，则这种存款的年利率是多少？(注：所获利息应扣除5%的利息税，）．小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储蓄，到期后自动转存．今年到期扣除利息锐（利息税为利息的20%），共取得5145元，求这种储蓄的年利率．（精确到0.1%）一、单选题年月日，央行宣布，从月日起下调金融机构人民币存款基准利率，其中一年期存款基准利率由现行的下调至，月日，央行宣布从月日，一年期存款基准利率由现行的下调至，短短一个月，连续两次降息，设平均每次存款基准利率下调的百分率为，根据以上信息可列方程（

）A． B．C． D．若是一元二次方程的两个根，则的值是（）A．4 B．3 C． D．若一元二次方程的两个根分别为，则的值等于（）A． B．4 C． D．12某银行经过最近的两次降息，使三年期存款的年利率由3.85%降至3.25%，设平均每次降息的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（）A． B．C． D．若某银行经过两次降息，使三年期存款的年利率由4%降至3.24%，则平均每次降息的百分比是（

）A．10% B．9% C．8% D．7%设一元二次方程的两根为，则的值为（）A． B． C．3 D．已知，是关于的方程的两个根，则的值为（）A． B． C． D．2022某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降低至1.21%，设平均每次降息的百分率为x，则x满足方程（

）A． B．C． D．二、填空题已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最大整数值是______．某人在银行存了400元钱，两年后连本带息一共取款484元，设年利率为x，则列方程为_____．三、解答题某班级前年暑假将勤工俭学挣得的班费中的2000元按一年定期存入银行，去年暑假到期后取出了1000元捐给“希望工程”，将剩下的1000元与利息继续按一年定期存入该银行，今年暑假毕业时全部捐给了母校．假设该银行年利率无变化，且今年暑假到期后取得本息和1155元，那么该银行一年定期存款的年利率是多少？已知关于x的一元二次方程有两个实数根，(1)求实数m的取值范围；(2)若，求m的值．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)若为正整数，求的值；(2)若满足，求的值．某人把2万元存入银行，定期一年（无利息税），到期时他支取了1万元，然后把其余的钱仍存入银行，定期一年（利率不变），再到期时他取得本利合计为1.1232万元．求这种定期储蓄的年利率．已知，，若，则下列等式成立的是（

）A． B． C． D．某企业年初投资万元生产适销对路产品，年底将获得的利润与年初的投资的和作为年初的投资，到2年底，两年共获利润万元．已知年的年获利率比年的获利率多个百分点．如果设年的获利率是，那么下列所列出的方程中正确的是（

）A．B．C．D．若一元二次方程的两根分别为、，则______．某人在银行存了400元钱，两年后连本带息一共取款484元，设年利率为x，则列方程为________，解得年利率是________A公司和B公司是分别拥有96名和100名工人的小型企业．疫情期间，为了缓解下岗人的再就业问题，两企业2021年1月都吸收了部分下岗人员并向银行贷款：A公司吸收了12名下岗人员，得到的贷款额和两年的补贴费共万元；B公司也吸收了12名下岗人员，但因贷款少，两年的补贴费比A公司的补贴费少．国家对吸收下岗人员的企业按季度（一年四个季度）给予补贴，每季度补贴费用=×贷款额×．(1)2021年1月A公司得到的贷款是多少？(2)2021年1月B公司得到的贷款是多少？(3)银行规定：企业还贷款，应每年一还，还本金和利息，若第一年没还，则第一年的本金和利息作为第二年的贷款本金计算，以此类推，假设两公司第一年都没有还贷款的本金和利息，而是在两年后即2023年1月才一次性还清本金和利息，B公司还贷款的本金和利息比A公司少万元，求企业贷款年利率．（利息=本金×年利率）某人将10000元存入银行，一年后取出5000元，再将余下的本利和再存入银行，但此时银行的年利率已下降3个百分点，且到期后还要缴20%的利息税·第二年到期他取出全部存款共5588元，求银行原来的年利率．第10讲二次三项式的因式分解及一元二次方程的应用（一） 掌握二次三项式要借助一元二次方程的知识进行解答掌握一元二次方程关于利率问题的应用充分了解二次三项式与其相对应的一元二次方程之间的联系会运用方程思想解决实际问题重点问题找到题目中的等量关系，其中列方程思想是本节的重点内容．模块一：二次三项式因式分解1、二次三项式的因式分解（1）形如的多项式称为二次三项式；（2）如果一元二次方程的两个根是和,那么二次三项式的分解公式为：．将在实数范围内因式分解，正确的结果是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】考查如果一元二次方程的两个根是和,那么二次三项式 的分解公式为：．在实数范围内分解因式：（1）； （2）；（3）； （4）．【答案】（1）； （2）； （3）； （4）．【解析】（1）（2）中不能够用十字相乘法；（3）（4）可以用十字相乘法．【总结】本题主要考查利用适当的方法对多项式进行因式分解．在实数范围内分解因式：（1）； （2）；（3）； （4）．【答案】（1）； （2）； （3）； （4）．【解析】如果一元二次方程的两个根是和，那么二次三项式可分解为：．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．二次三项式，当取何值时，（1）在实数范围内能分解；（2）不能分解；（3）能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？【答案】（1）；（2）；（3），完全平方式为．【解析】（1）要使二次三项式在实数范围内能分解，则方程要有实数根，则需要满足，解得：；（2）要使二次三项式在实数范围内不能分解，则方程没有实数根，则需要满足，解得：；（3）要使二次三项式在实数范围内能分解成一个完全平方式，则方程有两个相等实数根，则需要满足，解得：．此时，完全平方式为．【总结】当一个二次三项不能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程在实数范围内无解，反之，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解．一元二次方程应用：利率问题1、列一元二次方程解应用题的步骤：审题，设元，列方程，解方程，检验，写答句．注：解得一元二次方程的解后，一定需检验是否符合应用题的题意，若不合题意则舍去．2、利率问题：利息＝本金×年利率×期数×（1-利息税）；本利和＝本金+利息 ＝本金+本金×年利率×期数×（1-利息税）＝本金×[1+年利率×期数×（1-利息税）]．某人想把10000元钱存入银行，存两年．一年定期年利率6%，两年定期年利率为6.2%．方式一：采用一年期的利率存一年后到期取出再存一年；方式二：一次性存两年再取出，问两种方式哪种划算？【答案】方式一划算．【解析】方式一：两年后可取出：； 方式二：两年后可取出：； ∵11236>10062， ∴方式一划算．【总结】本题主要考查利率的应用，注意对两种不同存款方式的区分．某人将1000元人民币按一年期存入银行，到期后将本金和利息再按一年期存入银行，两年后本金和利息共获1077.44元，则这种存款的年利率是多少？(注：所获利息应扣除5%的利息税，）．【答案】4％．【解析】设这种存款的年利率是，由题意可列方程：， 则，解：（负值舍去），． 答：这种存款的年利率是4%．【总结】注意要扣除利息税，则第一年的表达式为，而不是．小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储蓄，到期后自动转存．今年到期扣除利息锐（利息税为利息的20%），共取得5145元，求这种储蓄的年利率．（精确到0.1%）【答案】1.8％．【解析】设这种储蓄的年利率为， 则根据题意列方程可得：， 整理，得：， 利用计算器可得：（负值舍去），． 答：这种储蓄的年利率为1.8%．一、单选题年月日，央行宣布，从月日起下调金融机构人民币存款基准利率，其中一年期存款基准利率由现行的下调至，月日，央行宣布从月日，一年期存款基准利率由现行的下调至，短短一个月，连续两次降息，设平均每次存款基准利率下调的百分率为，根据以上信息可列方程（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】等量关系：经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由降低至．【详解】解：经过一次降息，是；经过两次降息，是．∴列方程为，即．故选：．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系．正确理解降低率，每一次的降低率都是就上一年的基础而言．若是一元二次方程的两个根，则的值是（）A．4 B．3 C． D．【答案】B【分析】直接利用一元二次方程的根与系数的关系即可得．【详解】解：是一元二次方程的两个根，，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．若一元二次方程的两个根分别为，则的值等于（）A． B．4 C． D．12【答案】A【分析】利用根与系数的关系解答即可．【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为，∴，故选：A．【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的两个关系式是解题的关键．某银行经过最近的两次降息，使三年期存款的年利率由3.85%降至3.25%，设平均每次降息的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】等量关系：经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由降低至．【详解】解：经过一次降息，是；经过两次降息，是．则有方程．故选：C．【点睛】本题考查了列一元二次方程解应用题的问题，解题的关键是找出题目中的相等关系．正确理解降低率，每一次的降低率都是就上一年的基础而言．若某银行经过两次降息，使三年期存款的年利率由4%降至3.24%，则平均每次降息的百分比是（

）A．10% B．9% C．8% D．7%【答案】A【分析】设平均每次降息的百分比是x，则第一次降息后的年利率为，第二次降息后的年利率为，由此列出方程求解即可．【详解】解：设平均每次降息的百分比是x，由题意得：，解得或（舍去），∴平均每次降息的百分比是10%，故选A．【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键．设一元二次方程的两根为，则的值为（）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】直接由根与系数的关系可求解．【详解】解：∵一元二次方程的两根为，∴，∴．故选B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确的计算是解决本题的关键．已知，是关于的方程的两个根，则的值为（）A． B． C． D．2022【答案】C【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵，是关于的方程的两个根，∴，∴故选C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降低至1.21%，设平均每次降息的百分率为x，则x满足方程（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】等量关系：经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降低至1.21%．【详解】经过一次降息，是2.25%（1－x），经过两次降息，是2.25%（1－x）2，∴可得：2.25%（1－x）2＝1.21%，故选：D．【点睛】考查了列一元二次方程解应用题的问题，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，正确理解降低率，每一次的降低率都是就上一年的基础而言．二、填空题已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最大整数值是______．【答案】0【分析】由于关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可知，据此进行计算即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，∴，整理得，，解得．∴的最大整数值是0．故答案为：0．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．某人在银行存了400元钱，两年后连本带息一共取款484元，设年利率为x，则列方程为_____．【答案】【分析】本题为复利问题，一般形式为，如果设年利率为x，那么根据题意可得出方程．【详解】解：设年利率为x，则根据公式可得：；故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式，其中a是变化前的原始量，b是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率．三、解答题某班级前年暑假将勤工俭学挣得的班费中的2000元按一年定期存入银行，去年暑假到期后取出了1000元捐给“希望工程”，将剩下的1000元与利息继续按一年定期存入该银行，今年暑假毕业时全部捐给了母校．假设该银行年利率无变化，且今年暑假到期后取得本息和1155元，那么该银行一年定期存款的年利率是多少？【答案】．【分析】根据“本金年利率）本息和”作为相等关系列方程求解即可．【详解】解：设一年定期存款的年利率为，依题意列方程，得，整理，得解得，（舍去）答：一年定期存款的年利率为．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系金年利率）本息和，准确的列出方程是解决问题的关键．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，(1)求实数m的取值范围；(2)若，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意，利用一元二次方程根的判别式大于或等于零，求得m的范围．（2）由题意，利用一元二次方程根与系数的关系解方程求得m值．【详解】（1），∵，∴，∴，∴实数的取值范围是；（2），，又∵，∴，∴，解得，，又∵，∴，∴即的值为．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，属于基础题．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)若为正整数，求的值；(2)若满足，求的值．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，于是得到结论；（2）根据，，代入，解方程即可得到结论．【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，解得：，为正整数，；（2）解：，，，，，解得：，，，．【点睛】本题主要考查了一元二次方程中根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．某人把2万元存入银行，定期一年（无利息税），到期时他支取了1万元，然后把其余的钱仍存入银行，定期一年（利率不变），再到期时他取得本利合计为1.1232万元．求这种定期储蓄的年利率．【答案】这种定期储蓄的年利率为【分析】设这种存款方式的年利率x，根据题意可知利息本金利率时间，代入数据就可以建立一元二次方程，求出其解就可以了．【详解】解：设这种定期储蓄的年利率为x，则根据题意可得：，化简，得：，解得：(不合题意，舍去)，这种定期储蓄的年利率为．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是掌握利率问题的几个数量关系：利息本金利率时间，本息和本金利息．已知，，若，则下列等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先推出，，进而得到a、b相当于是关于x的一元二次方程的两个实数根，由根与系数的关系即可得到．【详解】解：∵，，∴，，∴a、b相当于是关于x的一元二次方程的两个实数根，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．某企业年初投资万元生产适销对路产品，年底将获得的利润与年初的投资的和作为年初的投资，到2年底，两年共获利润万元．已知年的年获利率比年的获利率多个百分点．如果设年的获利率是，那么下列所列出的方程中正确的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量解答，本题的等量关系是：2021年的获利额+2022年的获利额=56万元，可由此列方程求解．【详解】解：设2021年的年获利率为x，那么2022年的年获利率为x+10%，由题意得，．故选：D【点睛】本题考查了列一元二次方程的能力．此题是结合投资与获利的实际问题，解答此题要注意以下问题：（1）求出2021和2022两年的获利；（2）根据两年共获利润56万元列方程．若一元二次方程的两根分别为、，则______．【答案】【分析】分别利用一元二次方程根与系数的关系求，将后面的分式通分后再代入求值即可得答案．【详解】解∶，．故答案为∶．【点睛】本题考查了根与系数的关系，孰练掌握是解题的关键．某人在银行存了400元钱，两年后连本带息一共取款484元，设年利率为x，则列方程为________，解得年利率是________．【答案】10%【分析】设年利率为x，根据“存了400元钱，两年后连本带息一共取款484元”列方程求解即可．【详解】解：设年利率为x，由题意得：，解得：x＝10%，即年利率是10%，故答案为：，10%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式，其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率．A公司和B公司是分别拥有96名和100名工人的小型企业．疫情期间，为了缓解下岗人的再就业问题，两企业2021年1月都吸收了部分下岗人员并向银行贷款：A公司吸收了12名下岗人员，得到的贷款额和两年的补贴费共万元；B公司也吸收了12名下岗人员，但因贷款少，两年的补贴费比A公司的补贴费少．国家对吸收下岗人员的企业按季度（一年四个季度）给予补贴，每季度补贴费用=×贷款额×．(1)2021年1月A公司得到的贷款是多少？(2)2021年1月B