第11讲一元二次方程的应用(二)(原卷版+解析)

第11讲一元二次方程的应用（二）掌握一元二次方程的应用中的数字问题、增长率问题、利率问题、面积问题、传播问题等模块一：数字问题1、数字问题：对于数的应用题主要是要知道数的表示．例如：一个三位数百位、十位、个位分别为x、y、z，那么这个三位数则可以表示为．有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得，求原来的两位数．一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大，求这个两位数．模块二：增长率问题2、增长率问题 表示增长前的数，表示增长率，则表示以x的增长率增长一次之后的数，表示以x的增长率增长两次之后的数．某商场今年一月份销售额万元，二月份销售额下降，进入月份该商场采取措施，改革营销策略，使日销售额大幅上升，四月份的销售额达到万元，求三、四月份平均每月销售额增长的百分率．某工厂月份产品数是万件，要求第1季度总产品数达到万件，若每月平均增长率相同，求该工厂每月的平均增长率．（只列方程不求解）模块三：利润问题3、利润问题：总利润单件利润总件数；总利润总售价总成本价．根据公式想办法将降价后的利润以及降价后能售出的件数表示出来即可．某商店购进一种商品，进价元．试销中发现这种商品每天的销售量(件)与每件的销售价(元)满足关系：，若商店每天销售这种商品要获得元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？某商场销售一批衬衫，进货价为每件元，按每件元出售，一个月内可售出件．已知这种衬衫每件涨价元，其销售量要减少件．为了减少库存量，且在月内赚取元的利润，售价应定为每件多少元？某汽车销售公司月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出辆汽车，则该汽车的进价为万元；每多售出辆，所有售出的汽车的进价均降低万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在辆以内（含辆），每辆返利万元，销售量在辆以上，每辆返利万．（1）若该公司当月售出辆汽车，则每辆汽车的进价为万元；（2）如果汽车的售价为万元/辆，该公司计划当月盈利万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利=销售利润+返利）模块四：面积问题4、几何面积问题： 对于面积问题首先判断要求面积的图形的形状，再根据公式将要求出的量用表示出来．例如要求的某个长方形面积，就必须先把长和宽表示出来．一个直角三角形的两条直角边的和是，面积是，两条直角边的长分别是____________．一个菱形两条对角线长的和是，面积是，菱形的周长是________．（结果保留根号）如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，其余部分作为耕地为．则道路的宽为是．DCQBAP如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，如果、分别是从同时出发，求经过几秒时，DCQBAP①的面积等于平方厘米？②五边形的面积最小？最小值是多少？模块五：传播问题5、传播问题（1）送贺卡原则是我送你一张你也要送我一张，所以对于每个人都送出去了张，总共有个人所以列式为；（2）而握手以及单循环比赛是不重复进行的，但我们可以假设它重复进行，所以列式为．这两类问题具有共同的特征，统称为传播问题．

圣诞节昂立师生互送贺卡，总共送出张，求昂立共有师生多少人？生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了件，这个小组共有多少名同学？有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

一、单选题如图，在高，宽的长方形墙面上有一块长方形装饰板图中阴影部分，装饰板的上面和左右两边都留有宽度为的空白墙面若长方形装饰板的面积为，则以下方程正确的是（

）A． B． C． D．如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为xcm，根据题意可列方程（

）A． B．C． D．某商场销售一批衬衣，平均每天可售出30件，每件衬衣盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件．若商场平均每天盈利2000元．每件衬衣应降价（）元．A．10 B．15 C．20 D．25有一人患了流感，经过两轮传染后，共有81人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论：①1轮后有个人患了流感；②第2轮又增加个人患流感；③依题意可得方程；④不考虑其他因素经过三轮一共会有648人感染．所以正确的结论为（

）A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（）A． B． C． D．上海某企业今年二月份的产值比一月份的产值增长，三月以来，生产呈现出下降趋势，四月份的产值比一月份的产值下降．若三、四月份的月平均下降率为x，则以下关系正确的是（

）A．； B．；C．； D．．某玩具店销售某款玩具，单价为20元，为扩大销售，该玩具店连续两次对该款玩具进行降价销售，降价后的单价为元，且两次降价的百分比均为x，那么可列方程为（

）A． B．C． D．某超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，出售价格每涨价1元，日销售量将减少20千克，现该超市要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价（

）元A．5元 B．5元或10元 C．10元或15元 D．15元二、填空题某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件．但要求销售单价不得超过65元．要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为______元．某商店销售一批保暖衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，商店采取适当的降价措施，经调查发现，在一定的范围内，保暖衬衫的单价每降1元，商店平均每天可多售出2件，如果商店通过销售这批保暖衬衫每天要盈利1200元，尽量减少库存，保暖衬衫的单价应降__________元．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是___．某商场七月份的销售额为1000万元，八月份的销售额下降了20%，商场从九月份起改进经营措施，销售额稳步增长，十月份的销售额达到1352万元，如果每月的销售额增长率相同，设这个增长率为，那么可列方程________．某科技有限公司为了鼓励员工创新，计划逐年增加研发资金投入，已知该公司年全年投入的研发资金为万元，年全年投入的研发资金为万元，设平均每年增长的百分率为x，可列方程为_______．网课期间小夏写了封保护眼睛的倡议书，用微博转发的方式传播，设计了如下转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共157人参与了此次活动，则x为______人．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了10次手，则这次会议到会的人数是______人．如图，操场边的小学部农庄，有一块长米，宽米的矩形田地，现需修建一横两竖同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同品种的蔬菜，使种植蔬菜的面积为道路面积的3倍．则道路的宽为_____米．三、解答题读诗词解题：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？（提示：三十而立，四十而不惑）某乐园摊位上销售一批玩偶，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，摊主采取了降价措施．假设在一定范围内，玩偶的单价每降1元，摊主平均每天可多售出2件．(1)若某天该玩偶每件降价10元，则该玩偶的销量为______件，当天可获利________元；(2)如果该摊主销售这批玩偶要保证每天盈利为1400元，同时尽快减少库存，那么玩偶的单价应降多少元？下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（）．A．32 B．126 C．135 D．144如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第行有个点…，前行的点数和不能是以下哪个结果（

）A．45 B．66 C．100 D．210如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，要围成面积为的花圃，的长是____．

《念奴娇•赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”若设这位风流人物去世的年龄十位数字为x，则可列方程为____．组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛．(1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？(2)写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式；(3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升．(1)某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率；(2)某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价．如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为27米和15米．该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场，其中和两边借助墙体且不超出墙体，其余部分用

总长45米的木栏围成．中间预留1米宽的通道，在和边上各留1米宽的门．设长x米．(1)求的长度(用含x的代数式表示)．(2)若饲养场的面积为180平方米，求x的值．第11讲一元二次方程的应用（二）掌握一元二次方程的应用中的数字问题、增长率问题、利率问题、面积问题、传播问题等模块一：数字问题1、数字问题：对于数的应用题主要是要知道数的表示．例如：一个三位数百位、十位、个位分别为x、y、z，那么这个三位数则可以表示为．有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得，求原来的两位数．【答案】原来的两位数是35或53．【解析】设个位数字为，则十位数字是． 根据题意可得：，整理得：． 分解得：， 解得：，．答：原来的两位数是35或53．【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决数字问题．一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大，求这个两位数．【答案】16或49．【解析】设一位数为，则两位数为． 则根据题意可得：，整理得：． 分解得：，解得：，．答：这个两位数为16或49【总结】把一个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，可以表示为；把一个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数，可以表示为．模块二：增长率问题2、增长率问题 表示增长前的数，表示增长率，则表示以x的增长率增长一次之后的数，表示以x的增长率增长两次之后的数．某商场今年一月份销售额万元，二月份销售额下降，进入月份该商场采取措施，改革营销策略，使日销售额大幅上升，四月份的销售额达到万元，求三、四月份平均每月销售额增长的百分率．【答案】20％【解析】三、四月份平均每月销售额增长的百分率是， 则根据题意可得：， 解：（负值舍去）．答：三、四月份平均每月销售额增长的百分率是20％．某工厂月份产品数是万件，要求第1季度总产品数达到万件，若每月平均增长率相同，求该工厂每月的平均增长率．（只列方程不求解）【答案】设该工厂每月的平均增长率是，则根据题意可得：．模块三：利润问题3、利润问题：总利润单件利润总件数；总利润总售价总成本价．根据公式想办法将降价后的利润以及降价后能售出的件数表示出来即可．某商店购进一种商品，进价元．试销中发现这种商品每天的销售量(件)与每件的销售价(元)满足关系：，若商店每天销售这种商品要获得元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？【答案】每件商品的售价应定为40元，每天要售出这种商品20件．【解析】由题意列方程得：， 整理可得：，解得： 答：每件商品的售价应定为40元，每天要售出这种商品20件．【总结】本题主要考查一元二次方程在利润问题中的应用，注意对题目条件的分析．某商场销售一批衬衫，进货价为每件元，按每件元出售，一个月内可售出件．已知这种衬衫每件涨价元，其销售量要减少件．为了减少库存量，且在月内赚取元的利润，售价应定为每件多少元？【答案】60元．【解析】设这种衬衫每件涨价元． 则根据题意可得：， 整理可得：， 解得：，． 当时，； 当时，． 因为要减少库存量，所以售价应定为每件50+10=60元．【总结】本题中主要考查对减少库存的理解．某汽车销售公司月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出辆汽车，则该汽车的进价为万元；每多售出辆，所有售出的汽车的进价均降低万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在辆以内（含辆），每辆返利万元，销售量在辆以上，每辆返利万．（1）若该公司当月售出辆汽车，则每辆汽车的进价为万元；（2）如果汽车的售价为万元/辆，该公司计划当月盈利万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利=销售利润+返利）【答案】（1）26.8万元；（2）6部．【解析】（1）∵当月仅售出辆汽车，则该汽车的进价为万元；每多售出辆，所有售出 的汽车的进价均降低万元/辆 ∴若该公司当月售出辆汽车，则每辆汽车的进价为万元．设需要售出部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润为．当时，根据题意可列方程：，整理可得：，解得：，（负值舍去）；当时，根据题意可列方程：，整理可得：，解得：，（负值舍去）．∵5<10， ∴舍去．答：需要售出6部汽车．【总结】本题综合性很强，主要考查利用一元二次方程解决利润的问题，解题时注意分析条件．

模块四：面积问题4、几何面积问题： 对于面积问题首先判断要求面积的图形的形状，再根据公式将要求出的量用表示出来．例如要求的某个长方形面积，就必须先把长和宽表示出来．一个直角三角形的两条直角边的和是，面积是，两条直角边的长分别是____________．【答案】6，8．【解析】一个直角三角形的两条直角边的和是14，积是，又这两个数是正数，所以这两条边长分别是6和8．【总结】本题主要考查方直角三角形的面积问题．一个菱形两条对角线长的和是，面积是，菱形的周长是________．（结果保留根号）【答案】．【解析】一个菱形两条对角线长的和是，积是，则两条对角线分别长为4和6，则菱形的边长为，则菱形的周长为．【总结】本题主要考查方菱形的面积问题．如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，其余部分作为耕地为．则道路的宽为是．【答案】1米．【解析】设道路的宽为． 由题意可得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）．∴道路的宽为1米．

DCQBAP如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，如果、分别是从同时出发，求经过几秒时，DCQBAP①的面积等于平方厘米？②五边形的面积最小？最小值是多少？【答案】①2秒或4秒；②3秒时，五边形的面积最小，最小值是63平方厘米．【解析】（1）设运动时间为，则，． 则， 解得：或． ∴经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米．由（1）可得： ∴要使的面积有最大值，则要使取最大值，则此时，面积为9， 则此时五边形的面积最小，最小值为．【总结】本题主要考查动点问题，在解题时注意动点的运动轨迹．模块五：传播问题5、传播问题（1）送贺卡原则是我送你一张你也要送我一张，所以对于每个人都送出去了张，总共有个人所以列式为；（2）而握手以及单循环比赛是不重复进行的，但我们可以假设它重复进行，所以列式为．这两类问题具有共同的特征，统称为传播问题．

圣诞节昂立师生互送贺卡，总共送出张，求昂立共有师生多少人？【答案】31人．【解析】设昂立共有师生人， 由题意可得： 整理得：，解得：，（负值舍去）． 答：昂立共有师生31人．【总结】本题主要考查互送卡片问题，由于每人都要送到，因此不用除2．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了件，这个小组共有多少名同学？【答案】14．【解析】设这个小组共有名同学， 由题意可得： 整理得：，解得：，（负值舍去）． 答：这个小组共有14名同学．有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？【答案】10．【解析】设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，此时共有人 受到了传染；第二轮传染中，这人每人传染了个人，则共传染人． 由题意可知：，解得：（负值舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染了10个人.【总结】本题也是传播问题中一道比较经典的题目，注意分析题意，列出准确的方程．

一、单选题如图，在高，宽的长方形墙面上有一块长方形装饰板图中阴影部分，装饰板的上面和左右两边都留有宽度为的空白墙面若长方形装饰板的面积为，则以下方程正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据长方形装饰板的面积为，列一元二次方程即可．【详解】解：根据题意，得，故选：B．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是解题的关键．如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为xcm，根据题意可列方程（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据原画的长、宽及四周彩纸的宽，可得出原画四周镶上彩纸后的长为，宽为，再结合原画四周镶上彩纸后的面积等于原画面面积的2倍，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【详解】解：原画面是长为，宽为的矩形，且彩纸的宽度为，原画四周镶上彩纸后的长为，宽为．根据题意得：，即．故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．某商场销售一批衬衣，平均每天可售出30件，每件衬衣盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件．若商场平均每天盈利2000元．每件衬衣应降价（）元．A．10 B．15 C．20 D．25【答案】D【分析】利用衬衣平均每天售出的件数每件盈利每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可．【详解】解：设每件衬衫应降价元．根据题意，得：，整理，得，解得，．“增加盈利，减少库存”，应舍去，．故选：D．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数每件盈利每天销售的利润是解题关键．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有81人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论：①1轮后有个人患了流感；②第2轮又增加个人患流感；③依题意可得方程；④不考虑其他因素经过三轮一共会有648人感染．所以正确的结论为（

）A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【答案】A【分析】第一轮的传染源是1个人，他传染了x人，则第一轮后共有人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，则第二轮后共有人患了流感，而此时患流感人数为81，根据这个等量关系列出方程，再进行一一判断即可．【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x人．则第一轮后共有人患了流感，故①正确；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，则第2轮又增加个人患流感，故②错误；依题意，得，即，故③正确；解方程，得，（舍去）．每轮传染中平均每人传染了8人．经过三轮一共会有人感染，故④错误；综上可知，正确的结论有①③，故选A．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系列出一元二次方程．为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，列出方程即可．【详解】解：第一轮传播人数为：，第二轮又增加，由题意，得：；故选D．【点睛】本题考查一元二次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．上海某企业今年二月份的产值比一月份的产值增长，三月以来，生产呈现出下降趋势，四月份的产值比一月份的产值下降．若三、四月份的月平均下降率为x，则以下关系正确的是（

）A．； B．；C．； D．．【答案】D【分析】设一月份的产值为a，根据题意可用a和x表示出四月份的产值为或，则，即．【详解】解：设一月份的产值为a，则二月份的产值为，∴三月份的产值为，四月份的产值为．∵四月份的产值比一月份的产值下降，∴四月份的产值还可表示为，∴，则．故选D．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．某玩具店销售某款玩具，单价为20元，为扩大销售，该玩具店连续两次对该款玩具进行降价销售，降价后的单价为元，且两次降价的百分比均为x，那么可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据降价后的单价为元，且两次降价的百分比均为x，列方程即可．【详解】解：∵降价后的单价为元，且两次降价的百分比均为x，∴可列方程为：，故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意并列出方程是解决本题的关键．某超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，出售价格每涨价1元，日销售量将减少20千克，现该超市要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价（

）元A．5元 B．5元或10元 C．10元或15元 D．15元【答案】A【分析】设每千克水果涨了x元，那么就少卖了千克，根据市场每天销售这种水果盈利了6000元，可列方程求解；【详解】解：设每千克水果涨了x元，根据题意，得，解得或．因为同时又要使顾客得到最大优惠，所以应该上涨5元．故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的应用及理解题意的能力，关键是以利润作为等量关系列方程求解．二、填空题某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件．但要求销售单价不得超过65元．要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为______元．【答案】55【分析】设每件工艺品售价为元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，利用每天销售这种工艺品获得的利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合销售单价不得超过65元，即可得出结论．【详解】解：设每件工艺品售价为元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，依题意得：，整理得：，解得：，，又销售单价不得超过65元，，每件工艺品售价应为55元．故答案为：55．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．某商店销售一批保暖衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，商店采取适当的降价措施，经调查发现，在一定的范围内，保暖衬衫的单价每降1元，商店平均每天可多售出2件，如果商店通过销售这批保暖衬衫每天要盈利1200元，尽量减少库存，保暖衬衫的单价应降__________元．【答案】20【分析】设每件衬衫应降价元，则每件所得利润为元，但每天多售出件即售出件数为件，因此每天赢利为元，进而可根据题意列出方程求解．【详解】解：设每件衬衫应降价元，根据题意得，整理得解得：，．因为尽量减少库存，，故每件衬衫应降20元．答：每件衬衫应降价20元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是___．【答案】84【分析】等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和＝这个两位数﹣4，把相关数值代入求得整数解即可．【详解】设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x﹣4）．可列方程为：x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4解得：x1＝8，x2＝1.5（舍），∴x﹣4＝4，∴10x+（x﹣4）＝84．答：这个两位数为84．故答案为：84【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．某商场七月份的销售额为1000万元，八月份的销售额下降了20%，商场从九月份起改进经营措施，销售额稳步增长，十月份的销售额达到1352万元，如果每月的销售额增长率相同，设这个增长率为，那么可列方程________．【答案】【分析】设这个增长率为，根据十月份的销售额达到1352万元列方程即可．【详解】解：设这个增长率为，由题意得．故答案为：．【点睛】此类考查了一元二次方程的应用－增长率，要注意增长的基础，解决此题的关键是根据题意找到数量关系．某科技有限公司为了鼓励员工创新，计划逐年增加研发资金投入，已知该公司年全年投入的研发资金为万元，年全年投入的研发资金为万元，设平均每年增长的百分率为x，可列方程为_______．【答案】【分析】根据题意列方程即可．【详解】解：由题意得：，故答案为：．【点睛】本题考查了列一元二次方程，解题关键是根据题意列出方程．网课期间小夏写了封保护眼睛的倡议书，用微博转发的方式传播，设计了如下转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共157人参与了此次活动，则x为______人．【答案】12【分析】根据传播规则结合经过两轮转发后共有157个人参与了此活动，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：依题意，得：，解得：(不合题意，舍去)．故答案为：12．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了10次手，则这次会议到会的人数是______人．【答案】5【分析】设参加会议有x人，每个人都与其他人握手，共握手次数为，根据题意列方程．【详解】解：设参加会议有x人，依题意得：，整理得：，解得，（舍去）．答：参加这次会议的有5人，故答案为：5．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，计算握手次数时，每两个人之间产生一次握手现象，故共握手次数为，此题难度不大．如图，操场边的小学部农庄，有一块长米，宽米的矩形田地，现需修建一横两竖同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同品种的蔬菜，使种植蔬菜的面积为道路面积的3倍．则道路的宽为_____米．【答案】【分析】如图所示，用平移的方法计算出道路的面积，再计算出种植蔬菜的面积，根据题意的数量关系即可求解．【详解】解：设道路的宽为米，如图所示，∵矩形田地的长米，宽米，∴道路部分的面积为，整理得，，种植蔬菜部分的面积为，整理得，，∵种植蔬菜的面积为道路面积的3倍，∴，整理得，，解得，，（舍去），∴道路的宽为米，故答案为：．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际运用，理解题目中的数量关系，运用平移的方法简化图形，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．三、解答题读诗词解题：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？（提示：三十而立，四十而不惑）【答案】周瑜去世时是36岁．【分析】设周瑜去世时年龄的个位数是，则十位数是，根据题意列出方程，解方程即可求解．【详解】解：设周瑜去世时年龄的个位数是，则十位数是．根据题意可知，解得或，∴或．∵三十而立，四十而不惑，∴不合题意，舍去，综上，周瑜去世时是36岁．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．某乐园摊位上销售一批玩偶，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，摊主采取了降价措施．假设在一定范围内，玩偶的单价每降1元，摊主平均每天可多售出2件．(1)若某天该玩偶每件降价10元，则该玩偶的销量为______件，当天可获利________元；(2)如果该摊主销售这批玩偶要保证每天盈利为1400元，同时尽快减少库存，那么玩偶的单价应降多少元？【答案】(1)50；1500(2)20元【分析】（1）根据题意玩偶的单价每降1元，摊主平均每天可多售出2件，则降价10元，销量为件，根据销量乘以单件的利润求得获利；（2）设玩偶的单价降价元，根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：依题意，某天该玩偶每件降价10元，则该玩偶的销量为件，当天可获利元；故答案为：50；1500．（2）解：设玩偶的单价降价元，根据题意，得，解得：，∵尽快减少库存，∴，答：玩偶的单价应降20元．【点睛】本题考查了一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出一元二次方程是解题的关键．下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（）．A．32 B．126 C．135 D．144【答案】D【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可．【详解】解：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：，则最大数为，根据题意得出：，解得：，，（不合题意舍去），故最小的三个数为：8，9，10，下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：15，16，17，第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：22，23，24，故这9个数的和为：，故选：D．【点睛】本题主要考查了数字变化规律以及一元二次方程的解法，解题的关键是根据已知得出最大数与最小数的差为16．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第行有个点…，前行的点数和不能是以下哪个结果（

）A．45 B．66 C．100 D．210【答案】C【分析】由于第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…，则前n行共有个点，然后根据选项分别求出n的值，即可作出判断．【详解】通过观察图形可知：第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点，前n行共有个点，其中n为正整数．∴当时，解得：（舍去），；当时，解得：（舍去），；当时，解得：（舍去），（舍去），即前行的点数和不能是100；当时，解得：（舍去），．故选：C．【点睛】本题主要考查的是探究图形的规律，一元二次方程的解．正确得到前行的点数和的式子是解题的关键．如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，要围成面积为的花圃，的长是____．

【答案】【分析】设的长为，则的长为，由题意得，，整理得，计算求出满足要求的解即可．【详解】解：设的长为，则的长为，由题意得，，整理得，解得，或，当时，的长为，不满足题意，舍去，∴的长为，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程并求解．《念奴娇•赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝