课件：1.4 课时1 正方形的性质

1.4课时1正方形的性质九年级(上册)北师大版2026新版教材1.探索并证明正方形的性质定理，了解它与菱形、矩形之间的关系。2.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题，进一步发展几何直观和推理能力。3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想。还记得正方形的定义吗?正方形与菱形有怎样的关系?与矩形呢?有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。菱形正方形把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状。还记得正方形的定义吗?正方形与菱形有怎样的关系?与矩形呢?有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，得到一个四边形。矩形展开正方形知识点

正方形的性质问题1 正方形是菱形吗?正方形是矩形吗?由正方形的定义可知，正方形既是矩形，又是菱形。有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。问题2 你认为正方形有哪些特殊的性质?它具有矩形与菱形的所有性质。正方形的四个角都是直角，四条边相等.正方形的对角线相等且互相垂直平分。你能证明这两个结论吗?知识点

正方形的性质ADCBO证明结论：正方形的四个角都是直角，四条边相等。已知：在正方形ABCD中，∠B=90°，AB=BC。求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA。ADCB证明：∵四边形ABCD是正方形，∠B=90°，∴AD//BC，AB//DC，∠D=∠B=90°，∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，∴∠A=∠C=90°，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°。∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，AD=BC，又∵AB=BC，∴AB=BC=CD=DA。知识点

正方形的性质证明结论：正方形的对角线相等且互相垂直平分。已知：在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=BC，∠ABC=90°。求证：AC=BD，AC⊥BD，OA=OC，

OB=OD。ABCDO证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OC，OB=OD，又∵AB=BC，∠ABC=90°，∴BO⊥AC，∠BAC=∠BCA=45°，∴AC⊥BD，∠AOB=90°。∴∠OBA=90°-∠OAB=90°-45°=45°，∴∠OBA=∠BAC，∴OA=OB，∵AC=2AO，BD=2BO，∴AC=BD。知识点

正方形的性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。几何语言：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，

AB=BC=CD=AD。定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分。几何语言：∵四边形ABCD是正方形，∴AC=BD，AC⊥BD，

OA=OB=OC=OD。ABCDO知识点

正方形的性质ABCD正方形的其他性质：1.正方形的面积=边长的平方=对角线长乘积的一半;2.正方形的每条对角线平分一组对角;3.正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。ABCDO知识点

正方形的性质例1

解：BE=DF，且BE⊥DF。理由如下：（1）∵四边形ABCD是正方形.∴BC=DC，∠BCE=90°（正方形的四条边相等，四个角都是直角）。∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°。∴∠BCE=∠DCF。又∵CE=CF，∴△BCE≌△DCF。

∴BE=DF。ABDCFE如图，在正方形ABCD中，E为边CD上的一点，F是BC延长线上的一点，且CE=CF。BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由。例1

（2）延长BE，交DF于点M（如图）。∵△BCE≌△DCF

，∴∠CBE=∠CDF。∵∠DCF=90°，∴∠CDF+∠F=90°。∴∠CBE+∠F=90°。

∴∠BMF=180°-（∠CBE+∠F）=180°-90°=90°。∴BE⊥DF。ABDCFEM如图，在正方形ABCD中，E为边CD上的一点，F是BC延长线上的一点，且CE=CF。BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由。问题3

如图，四边形ABCD是正方形。(1)若在图中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别与点A，C重合。画图如图所示。菱形的另外两个顶点需要在正方形的对角线BD所在的直线上，且到正方形ABCD两条对角线交点的距离相等。ADCB知识点

正方形的性质ADCB(2)若在图中画一个矩形EFGH，使矩形的四个顶点E，F，G，H依次在正方形ABCD的边AB，BC，CD，AD上。矩形EFGH的四个顶点需满足AE=AH=CF=CG。ADCBEFGH知识点

正方形的性质1.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）

A.四条边相等

B.对角线互相垂直平分

C.对角线平分一组对角

D.对角线相等D2.如图，在正方形ABCD中，F为对角线AC上的一点，连接BF，DF。请找出图中的全等三角形，并选择其中一对进行证明。

解：△ABD≌△CBD，△ADF≌△CDF，△ABF≌△CBF。选△ADF≌△CDF进行证明。证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，DC//AB，AD=CD，∴∠ADB=∠ABD=∠CDB

。又∵DF=DF，

∴△ADF≌△CDF(SAS)。ADCBF3.如图，在正方形ABCD中，点G在BC边上，连接AG，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，若BF=4，DE=9，则EF的长为

。54.如图，在菱形ABCD中，将A，C两点沿对角线AC分别移动到A'，C'的位置，得到正方形A'BC'D。已知菱形ABCD的面积为120cm²，正方形A'BC'D的面积为50cm²，求AC的长。

ADCBA'C'5.如图，点E，F是正方形的对角线AC上的两点，AE=CF。求证：四边形BEDF是菱形。解：如图，连接BD交AC于点O。∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，BD＝AC，OD＝OB＝OA＝OC。∵AE＝CF，∴OA-AE＝OC-CF，即OE＝OF。∴四边形BEDF为平行四边形。又∵BD⊥EF，∴四边形BEDF为菱形。O6.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长。解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°，AB＝BC＝1cm，∴∠ACB＝∠CAB＝45°。∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°。又∵∠CEF＝90°-∠ECF＝45°＝∠ECF，