课件：第26章 二次函数 章末小结

第二十六章二次函数章末小结九年级(上册)人教版2026新版教材实际问题二次函数y=ax2+bx+c图象性质归纳抽象实际问题的答案利用二次函数的图象和性质求解目标知识点1二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.例1已知y=(m²+m)xm²-2m-1+(m-3)x+m2-11是关于x的二次函数．

（1）求m的值；

（2）写出二次项系数、一次项系数及常数项．

知识点1二次函数的概念知识点2二次函数的图象和性质y=ax2(a≠0)a>0a<0图象开口方向向上向下开口大小|a|越大，抛物线的开口越小对称轴y轴（直线x=0）顶点坐标原点(0,0)增减性当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大.当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小.最值当x=0时，y最小值​=0.当x=0时，y最大值​=0.补充说明顶点是抛物线的最低点.顶点是抛物线的最高点.知识点2二次函数的图象和性质y=ax2+k

(a≠0)a>0a<0图象开口方向向上向下对称轴y轴

(直线x=0)顶点坐标(0，k)增减性当x<0

时，y

随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大.当x<0

时，y

随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小.最值当x=0时，y最小值​=k.当

x=0时，y最大值​=k.知识点2二次函数的图象和性质

y=a(x-h)2(a≠0)a>0a<0图象开口方向向上向下对称轴直线x=h顶点坐标(h,0)增减性当x<h时，y

随x

的增大而减小；当x>h时，y

随x

的增大而增大.当

x<h时，y随x

的增大而增大；当x>h时，y

随x

的增大而减小.最值当

x=h时，y最小值​=0.当x=h时，y最大值​=0.知识点2二次函数的图象和性质函数y=a(x-h)2+k(a>0)y=a(x-h)2+k(a<0)图象开口方向向上向下对称轴直线x=h顶点坐标(h，k)增减性当x<h时，y

随x

的增大而减小；当x>h时，y

随x

的增大而增大.当

x<h时，y随x

的增大而增大；当x>h时，y

随x

的增大而减小.最值当

x=h时，y最小值​=k.当x=h时，y最大值​=k.知识点1XXX知识点2二次函数的图象和性质函数

y=ax2+bx+c

(a>0)

y=ax2+bx+c

(a<0)图象开口方向向上向下顶点坐标对称轴增减性最值例2已知抛物线y=2x2-12x+13.(1)当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？(2)当x为何值时，y随x的增大而减小.(3)将该抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，请直接写出新抛物线的表达式.解：∵y=2x2-12x+13=2(x2-6x+9)-5=2(x-3)2-5，∴抛物线开口向上，顶点为(3，-5)，对称轴为直线x=3.（1）当x=3时，y有最小值，最小值为-5；（2）当x＜3时，y随x的增大而减小；（3）新抛物线的表达式为y=2(x-5)2-3．知识点1XXX知识点2二次函数的图象和性质例3

如下图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点，点P是x轴上的一个动点．(1)求此抛物线的解析式；

解：(1)设y＝a(x－1)2＋4，把(0，3)代入，得a(0－1)2＋4＝3，∴a＝－1,∴此抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3．知识点2二次函数的图象和性质例3

如下图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点，点P是x轴上的一个动点．(2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标.

解：(2)B(0，3)关于x轴对称的点B′的坐标为(0，－3)，连接AB′交x轴于点P，则PA＋PB的值最小．设直线AB′的解析式为y＝kx＋b，把A(1,4)，B′(0,－3)分别代入，得

解得

∴y＝7x－3，当y＝0时，7x－3＝0，解得x＝

，∴P(,0).B′知识点2二次函数的图象和性质

例4

知识点2二次函数的图象和性质

例4

知识点2二次函数的图象和性质

例4

知识点2二次函数的图象和性质二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴公共点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系知识点3二次函数与一元二次方程二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴公共点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的公共点一元二次方程ax2+bx+c=0的根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式(b2-4ac)没有公共点没有实数根b2-4ac＜0有一个公共点有两个相等的实数根b2-4ac=0有两个公共点有两个不相等的实数根b2-4ac＞0知识点3二次函数与一元二次方程

知识点3二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次不等式的关系抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方的点对应的x的所有值是不等式ax2+bx+c>0的解集；抛物线

y=ax2+bx+c在x轴下方的点对应的x的所有值是不等式ax2+bx+c<0的解集.例5已知二次函数y=x²-2mx+m²+3（m是常数）.(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴都没有公共点.(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？

知识点3二次函数与一元二次方程例5已知二次函数y=x²-2mx+m²+3（m是常数）.(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？解：(2)方法一∵y=x²-2mx+m²+3=(x-m)²+3，∴把函数y=(x-m)²+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=(x-m)²的图象，它的顶点坐标是(m,0)，此时这个函数的图象与x轴只有一个公共点，∴把函数y=x²-2mx+m²+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.知识点3二次函数与一元二次方程例5已知二次函数y=x²-2mx+m²+3（m是常数），(2)把该函数的图象沿轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？

知识点3二次函数与一元二次方程例6

下列表格中是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的一些对应值，可以判断一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个近似根是（）x6.76.86.97.0y=ax2+bx+c-0.3-0.10.20.6A.6.7

B.6.8

C.6.9

D.7.0B知识点3二次函数与一元二次方程

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象回答下列问题：

（1）写出方程ax2+bx+c=0的根；

（2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集；例7解：(1)观察题图可知，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点为(0,0)，(2,0)，所以方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=0，x2=2.(2)因为二次函数

y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点为(0,0)，(2,0)，且开口向下，所以不等式ax2+bx+c<0的解集为x<0或x>2.知识点3二次函数与一元二次方程知识点4用二次函数解决实际问题用二次函数解决实际问题一般步骤(1)审：仔细审题，厘清题意.(2)设：找出问题中的变量和常量，分析它们之间的关系，设出适当的未知数.(3)列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式.(4)解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题.(5)检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.(6)答：写出答案.例8

如图，在某次篮球训练中，小张在距篮圈中心的水平距离4m处跳起投篮，球运行的路线是跑物线．当球运行的水平距离为2.5m时达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离是3.05m，则此时抛物线的函数关系式是（）A.y=-2x2+4 B.y=-0.2x2+3.5C.y=-0.2x2+3.05 D.y=-0.2x2+2.5B解析：根据题意抛物线的顶点坐标为（0，3.5），∴设抛物线的解析式为y=ax2+3.5．根据题意得，抛物线过点（1.5，3.05）．∴2.25a+3.5=3.05，解得a=-0.2，∴抛物线的解析式为y=-0.2x2+3.5．知识点4用二次函数解决实际问题

某水果店出售一种水果，每千克定价20元时，每周可卖出300千克．试销发现：

①每千克水果每降价1元，每周可多卖出25千克；

②每千克水果每涨价1元，每周将少卖出10千克；

问题：（1）若定价16元每千克，则每周可卖出______千克；

（2）若定价m(m>20)元每千克，则每周可卖出_________千克（用含m的代数式表示）；

（3）你认为应当如何定价才能使一周销售收入最多？400(500-10m)

例9知识点4用二次函数解决实际问题

某水果店出售一种水果，每千克定价20元时，每周可卖出300千克．试销发现：

①每千克水果每降价1元，每周可多卖出25千克；

②每千克水果每涨价1元，每周将少卖出10千克；

问题：（3）你认为应当如何定价才能使一周销售收入最多？

例9知识点4用二次函数解决实际问题雨季将要来临，某农户计划给蔬菜大棚进行加固．如图，该蔬菜大棚截面形状可近似看作抛物线的一部分，AD为垂直于地面的保温墙