课件：26.3 第2课时 估算一元二次方程的根

26.3课时2估算一元二次方程的根九年级(上册)人教版2026新版教材1.进一步掌握二次函数与一元二次方程的双向转化关系，理解利用二次函数图象求一元二次方程近似根的原理与方法.2.能通过“观察图象+逐步缩小范围(二分法)”的方式，估算一元二次方程的近似根，深化数形结合与转化的数学思想.根据二次函数与一元二次方程的联系，也可以将一元二次方程问题转化为相应的二次函数问题.不妨来看下面的问题.

利用函数图象求方程x2-2x-2=0的根的近似值(结果保留小数点后一位).例1解：画出函数y=x2-2x-2的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.由于画图或观察可能存在误差，所以由函数图象求得的相应方程的根，一般是近似的.

y=x2-2x-2

y=x2-2x-2我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围.例如，取2，3的平均数2.5，用计算器算得自变量为2.5时的函数值为-0.75，与自变量为3时的函数值异号，所以这个根在2.5，3之间.再取2.5，3的平均数2.75，用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0.0625，与自变量为2.5时的函数值异号，所以这个根在2.5，2.75之间.y=x2-2x-2重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.625，2.75之间，在2.6875，2.75之间……可以看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值.例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于∣2.6875-2.75∣=0.0625<0.1，我们可以将2.6875作为根的近似值.y=x2-2x-2y=x2-2x-2

我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围.取-1和0的平均数-0.5，用计算器算得自变量为-0.5时的函数值为-0.75<0，与自变量为-1时的函数值异号，所以根在-1与-0.5之间.y=x2-2x-2再取-1与-0.5的平均数-0.75，计算自变量为-0.75时的函数值为0.0625>0，与自变量为-0.5时的函数值异号，所以根在-0.75与-0.5之间.再取-0.75与-0.5的平均数-0.625，计算自变量为-0.625时的函数值为-0.359375<0，与自变量为-0.75时的函数值异号，所以根在-0.75与-0.625之间.此时区间两端点之差为∣-0.625-(-0.75)∣=0.125>0.1不满足精度要求，再取一次平均数.取-0.75与-0.625的平均数-0.6875，计算自变量为-0.6875时的函数值为-0.15234375<0，与自变量为-0.75时的函数值异号，所以根在-0.75与-0.6875之间.此时区间两端点之差为∣-0.6875-(-0.75)∣=0.0625<0.1.因此，我们可以将-0.75或-0.6875作为根的近似值.这种求根的近似值的方法也适用于更高次的一元方程.y=x2-2x-2

跟踪训练利用二次函数的图象求方程2x2-3x-1=0的近似根（结果保留小数点后一位）.解：画出函数y=2x2-3x-1的图象，如图所示.由图可知，函数y=2x2-3x-1的图象与x轴的两个公共点的横坐标分别在-1和0，1和2之间.取-1和0的平均数-0.5，当x=-0.5时,y=1,当x=0时,y=-1,所以方程的一个根在-0.5和0之间.取-0.5和0的平均数-0.25，当x=-0.25时,y=-0.125,所以方程的这个根在-0.5和-0.25之间.取-0.5和-0.25的平均数-0.375，当x=-0.375时,y=0.40625,跟踪训练所以方程的这个根在-0.375和-0.25之间，由此方法可得到原方程的一个近似实数根为-0.3.用同样的方法可得到原方程的另一个近似实数根为1.8.所以方程2x2-3x-1=0的近似实数根是x1≈-0.3，x2≈1.8.

利用二次函数的图象求方程2x2-3x-1=0的近似根（结果保留小数点后一位）.除了可以根据二次函数与一元二次方程的联系来估计一元二次方程的近似根，我们还能根据二次函数的图象求解一元二次不等式的解集.问题

如图是函数y=x2-x-2的图象，根据图象回答问题：(1)方程

x2-x-2=0

的根是多少？(2)

x取什么值时，函数值大于0？(3)

x取什么值时，函数值小于0？y=x2-x-2(1)x1=2，x2=-1.(2)当x<-1或x>2时，函数值大于0.(3)当-1<x<2时，函数值小于0.二次函数与一元二次不等式的关系抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方的点对应的x的所有值是不等式ax2+bx+c>0的解集；抛物线

y=ax2+bx+c在x轴下方的点对应的x的所有值是不等式ax2+bx+c<0的解集.

例2解析:由图可知抛物线

𝑦=𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐

的对称轴为直线

𝑥=−1，且经过点

(−3，0)，∴抛物线与

𝑥

轴的另一个交点为

(1,0).∵抛物线在

𝑥

轴的上方部分的

𝑦>0,∴当

𝑦>0

时，𝑥

的取值范围是

−3<𝑥<1.B11.利用函数图象求下列方程根的近似值（结果保留小数点后一位）:(1)x2-3x+1=0； (2)-x2-x+1=0.解：(1)画出函数y=x2-3x+1的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约是0.4，2.6.所以方程x2-3x+1=0的实数根为x1≈0.4，x2≈2.6.1.利用函数图象求下列方程根的近似值（结果保留小数点后一位）:(1)x2-3x+1=0； (2)-x2-x+1=0.解：(2)画出函数y=-x2-x+1的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约是-1.6，0.6.所以方程-x2-x+1=0的实数根为x1≈-1.6，x2≈0.6.2.利用函数图象求下列方程的根的近似值(结果保留小数点后一位):(1)x2-6x+7=0;

(2)-x2+3x+1=0.解：(1)画出函数y=x2-6x+7的图象,它与x轴的公共点的横坐标大约是1.6，4.4.所以方程x2-6x+7=0的实数根为x1≈1.6，x2≈4.4.2.利用函数图象求下列方程的根的近似值(结果保留小数点后一位):(1)x2-6x+7=0;

(2)-x2+3x+1=0.解：(2)画出函数y=-x2+3x+1的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.3，3.3.所以方程-x2+3x+1=0的实数根为x1≈-0.3，x2≈3.3.

解：图象如图所示.(1)x1=3，x2=-1.(2)当x<-1或x>3时，函数值大于0.(3)当-1<x<3时，函数值小于0.估计一元二次方程的近似根二次函数与一元二