1.4 第2课时 正方形的判定（导学案）

第1章特殊平行四边形1.4正方形的性质与判定第2课时正方形的判定【学习目标】1.用类比方法归纳正方形的判定方法，培养学生的数学表达能力.2.探究并证明正方形的判定定理.3.灵活运用正方形的判定方法进行证明或计算，发展学生的逻辑思维能力.学习重点：证明正方形的判定定理.学习难点：灵活运用正方形的判定方法进行证明或计算，发展学生的逻辑思维能力.【复习导入】问题1：什么是正方形？正方形有哪些性质？问题2：你是如何判定矩形、菱形的？思考怎样判定一个四边形是正方形呢？【合作探究】探究点1:正方形的判定活动1准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.猜想：满足怎样条件的矩形是正方形？证一证已知：在矩形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC⊥DB.求证：四边形ABCD是正方形.活动2把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形.猜想：满足怎样条件的菱形是正方形？证一证已知：在菱形ABCD中，对角线AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形.归纳总结常用的正方形判定方法：定义法矩形法菱形法归纳总结正方形判定的几条途径：练一练1.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（）A．AC=BD，AB∥CD，AB=CDB．AD∥BC，∠BAD=∠BCDC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD．AO=CO，BO=DO，AB=BC典例精析例1如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.练一练2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F.求证：四边形CEDF为正方形.探究点2:中点四边形问题如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？做一做如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？拓展1如图，顺次连接平行四边形ABCD各边中点，得到的四边形EFGH是什么四边形？拓展2如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到的四边形EFGH是什么四边形？拓展3如图，顺次连接菱形ABCD各边中点，得到的四边形EFGH是什么四边形？拓展4如图，顺次连接正方形ABCD各边中点，得到的四边形EFGH是什么四边形？归纳总结思考：决定中点四边形形状的关键因素是什么？当堂反馈1.当矩形的对角线互相垂直时，此矩形将变成()A.菱形 B.等腰梯形C.正方形 D.无法确定2.在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是()A.∠D＝90° B.AB＝CDC.AD＝BC D.BC＝CD3.如图，在▱ABCD中，AC⊥BD于点O.若不添加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是.4.在▱ABCD中，AC，BD为对角线，如果AB＝BC，AC＝BD，那么▱ABCD一定是.5.如图，EG，FH都过正方形ABCD对角线的交点O，且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.参考答案【合作探究】探究点1:正方形的判定证一证：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=CO=BO=DO，∠ADC=90°.∵AC⊥DB，∴AD=AB=BC=CD.∴四边形ABCD是正方形.证一证证明：∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD，AC⊥DB.∵AC=DB，∴AO=BO=CO=DO.∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC是等腰直角三角形.∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°.∴四边形ABCD是正方形.练一练1.C典例精析例1证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BECF是平行四边形.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∠DCB=90°.又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴∠EBC=eq\f(1,2)∠ABC=45°，∠ECB=eq\f(1,2)∠DCB=45°.∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC.∴□BECF是菱形(菱形的定义).在△EBC中，∵∠EBC=45°，∠ECB=45°，∴∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB=180°-2×45°=90°.∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形).练一练2.证明：∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC=∠DFC=90°.又∵∠C=90°，∴四边形CEDF是矩形.过点D作DG⊥AB于点G.∵AD是∠CAB的平分线，∴DE=DG.同理，DG=DF，∴DE=DF.∴四边形CEDF为正方形.知识点二：中点四边形问题拓展1解：连接AC、BD.∵点E、F、G、H为各边中点，∴四边形EFGH是平行四边形.拓展2解：连接AC、BD.∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD.∵点E、F、G、H为各边中点，∴EF=GH=FG=EH.∴四边形EFGH是菱形.拓展3解：连接AC，BD.∵E，F分别是AB和BC边中点，∴EF∥AC，同理可证HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD.∴EF∥HG，EH∥FG，∴四边形EFGH，PFQO为平行四边形.又∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，∴∠1=90°，∠2=90°.∴四边形EFGH是矩形.拓展4证明：连接AC，BD，∵E，F分别是AB和BC边中点，∴EF∥AC且EF=eq\f(1,2)AC，同理可证HG∥AC且HG=eq\f(1,2)AC，EH∥BD且EH=eq\f(1,2)BD，FG∥BD且FG=eq\f(1,2)BD.∴四边形PFQO为平行四边形.又∵四边形ABCD是正方形，∴AC=BD，AC⊥BD.∴EF=FG=HG=EH，∠DOC=90°.∴四边形EFGH是菱形，∠EFG=90°.∴四边形EFGH为正方形.归纳总结思考：决定中点四边形形状的关键因素是什么？决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系.当堂反馈1.C2.D3.AC＝BD(答案不唯一).4.正方形.5.证明：∵四边形ABCD为正方形，∴OB＝OC，∠ABO＝∠BCO＝45°，∠BOC＝90°，即∠COH＋∠BOH＝90