1.4 正方形的性质与判定（课时2）教学设计

.4正方形的性质与判定(课时2)一、教学目标1.理解并掌握正方形的判定定理和推导过程；2.能熟练运用正方形的判定定理进行计算和证明；3.经历正方形的判定定理的探索和运用其解决相关问题的过程，培养和发展学生的推理能力.二、教学重点及难点重点：掌握正方形的判定定理，能应用正方形的判定定理进行计算和证明.难点：根据题干条件灵活择优选用判定定理完成几何推证.三、教学过程【知识回顾】教师提出：回顾正方形的定义及其性质.学生回答：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.正方形的四个角都是直角，四条边相等.正方形的对角线相等并且互相垂直平分.设计意图：温习正方形定义与已有性质，为本节课由矩形、菱形推导正方形判定定理铺垫知识根基，搭建新旧内容的衔接桥梁.【新知导入】教师提出：正方形既是矩形，又是菱形.你知道满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？设计意图：立足正方形与矩形、菱形的从属关系设问，依托原有图形性质逆向推导判定条件，自然引出本课正方形判定的探究主题，实现由旧知向新知的平稳过渡.【探究新知】教师提出：矩形的边有什么样的性质？正方形的边有什么样的性质？学生回答：矩形的对边平行且相等；正方形的对边平行且四边相等.教师追问：矩形添加邻边相等能否得到正方形？即有一组邻边相等的矩形是否为正方形？教师引导学生进行证明.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=AD.求证：矩形ABCD是正方形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°．又∵AB=AD，∴矩形ABCD是正方形．教师提出：你知道证明的依据是什么吗？学生回答：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形.设计意图：从矩形与正方形的边的特征对比切入，通过递进式提问引出判定猜想，依托正方形定义完成严谨证明，让学生亲历“对比特征—提出猜想—推理论证”的探究过程.教师提出：矩形的对角线具有什么性质？正方形的对角线具有什么样的性质？学生回答：矩形的对角线相等且互相平分；正方形的对角线相等且互相垂直平分.教师追问：矩形添加对角线互相垂直能否得到正方形？如何证明呢？教师引导学生进行证明.已知：在矩形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，且AC⊥DB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD．∵AC⊥BD，∴AC是线段BD的垂直平分线.∴AB=AD．∴矩形ABCD是正方形．教师提出：你知道证明的依据是什么吗？学生回答：有一组邻边相等的矩形是正方形.设计意图：对比矩形与正方形对角线的区别，以增加对角线垂直条件生成猜想，借助垂直平分线性质推导出邻边相等，沿用刚刚得出的判定定理完成证明，层层递进完善矩形判定正方形的第二条结论，在连贯推导中实现定理前后呼应，锻炼学生迁移新知、逻辑推导的能力.根据上述探究，归纳总结正方形的判定定理及其符号语言，学生做笔记.定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形.符号语言：∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，∴四边形ABCD是正方形.定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形.符号语言：∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形.设计意图：整合前面探究内容，梳理归纳两条由矩形判定正方形的定理与规范几何符号语言，引导学生整理笔记固化知识点，规范几何书写格式，形成条理化的判定知识.教师提出：菱形的角具有什么性质？正方形的角具有什么性质？学生回答：菱形的对角相等；正方形的四个角相等，都为90°.教师追问：菱形添加有一个角为直角能否得到正方形？教师引导学生进行证明.已知：如图，在菱形ABCD中，∠A=90°．求证：菱形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD．又∵∠A=90°，∴菱形ABCD是正方形．教师提出：你知道证明的依据是什么吗？学生回答：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形.设计意图：对比菱形与正方形内角特征引出猜想，依托正方形定义完成证明，归纳从菱形判定正方形的方法，承接前面矩形证正方形的探究思路，完善判定体系，培养类比探究的数学思维.教师提出：我们知道菱形的对角线垂直且互相平分，正方形的对角线相等且互相垂直平分.若菱形的对角线相等，能否得到该菱形为正方形？教师引导学生进行证明.已知：在菱形ABCD中，对角线AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD．∵AC=BD，∴OA=OB=OC=OD．∴△AOB，△BOC是等腰直角三角形．∴∠ABO=∠CBO=45°，∴∠ABC=90°．∴菱形ABCD是正方形．教师提出：你知道证明的依据是什么吗？学生回答：有一个角是直角的菱形是正方形.设计意图：沿用类比探究的授课思路，对照菱形与正方形对角线的差异提出猜想，依托上一定理完成证明，补充菱形判定正方形的第二条定理，完善正方形的判定框架，让学生体会类比推理的探究方法.根据上述探究，归纳总结正方形的判定定理及其符号语言，学生做笔记.定理3：有一个角是直角的菱形是正方形.符号语言：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形.定理4：对角线相等的菱形是正方形.符号语言：∵四边形ABCD是菱形，AC=BD，∴四边形ABCD是正方形.设计意图：系统归纳由菱形判定正方形的两条核心定理及标准符号语言，承接前面矩形判定正方形的知识内容，完善正方形的判定体系.教师对平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定进行总结，梳理知识，理清脉络.设计意图：梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，帮助学生理清四类图形的判定逻辑，整合零散知识，构建完整的特殊平行四边形知识体系；强化对判定定理的理解与记忆，避免知识点混淆，培养学生归纳梳理、融会贯通的能力.【例题练习】已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BECF是平行四边形.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∠DCB=90°.又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴∠EBC=∠ABC=45°，∠ECB=∠DCB=45°.∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC.∴□BECF是菱形(菱形的定义).在△EBC中，∵∠EBC=45°，∠ECB=45°，∴∠BEC=90°.∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形).设计意图：引导学生掌握层层递进、逐级判定的几何推理逻辑，打破单一定理套用模式，训练学生根据题干条件灵活选取判定方法的能力，提升学生几何综合证明与逻辑推导的素养.【探究新知】教师提出：如图，四边形ABCD是正方形，连接它各边的中点，可以得到一个怎样的四边形？学生在草稿纸上画图，完成后，同桌之间进行对比，形成共识后教师选取学生代表进行回答.猜想：得到一个正方形教师引导学生对猜测进行证明.已知：如图，点A1，B1，C1，D1分别是正方形ABCD各边的中点.求证：四边形A1B1C1D1为正方形. 证明：连接AC，BD，∵A1，B1分别是AB和BC边中点，∴A1B1∥AC且A1B1=AC.同理可证C1D1∥AC且C1D1=AC，A1D1∥BD且A1D1=BD，B1C1∥BD且B1C1=BD.∴四边形A1B1C1D1为平行四边形.又∵四边形ABCD是正方形，∴AC=BD(正方形的对角线相等)；AC⊥BD(正方形的对角线互相垂直)，∴A1B1=A1D1=B1C1=C1D1，∠1=90°.∴四边形A1B1C1D1是菱形，∠2=90°.∴四边形A1B1C1D1为正方形.设计意图：借助中点作图猜想内接四边形形状，依托三角形中位线定理完成推证，串联正方形对角线性质、平行四边形、菱形、正方形逐层判定定理.让学生经历动手猜想—逻辑证明的探究过程，融会贯通已学判定方法，提升综合识图与几何推理能力.教师提出：如果四边形ABCD是矩形呢？连接它各边的中点，可以得到一个怎样的四边形？学生动手画图，完成后，观察所画图形进行回答.猜想：得到一个菱形.教师引导学生对猜测进行说明.已知：如图，点E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点.求证：四边形EFGH为菱形.证明：连接AC，BD.∵E，F分别是AB和BC边中点，∴EF∥AC且EF=AC.同理可证HG∥AC且HG=AC，EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且FG=BD.∴四边形EFGH为平行四边形.又∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD(矩形的对角线相等)，∴EF=EH.∴四边形EFGH是菱形(菱形的定义).设计意图：延续“动手画图—大胆猜想—推理论证”的探究模式，类比正方形中点四边形的探究思路开展学习.结合矩形对角线相等的独有性质，利用三角形中位线定理完成证明，引导学生对比、迁移新知，体会图形性质的传承与变化，培养学生类比探究、举一反三的数学思维，进一步巩固平行四边形、菱形的判定方法.如果四边形ABCD是菱形呢？连接它各边的中点，可以得到一个怎样的四边形？学生动手画图，完成后，观察所画图形并回答.得到一个矩形.根据上述探究，归纳总结中点四边形的相关知识.顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形叫作中点四边形.（1）连接平行四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形；（2）连接矩形各边中点所得到的四边形是菱形；（3）连接菱形各边中点所得到的四边形是矩形；（4）连接正方形各边中点所得到的四边形是正方形.设计意图：通过层层递进的系列探究，完整梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的中点四边形规律，系统归纳中点四边形的核心知识点，构建完整的中点四边形知识体系.教师提出：观察下面各个图形的对角线的特点以及连接它们各边中点所得到的中点四边形，你能发现决定中点四边形形状的关键因素是什么吗？学生小组讨论1-2分钟，自由发言.教师对学生的回答进行反馈，给出答案.决定中点四边形的形状的主要因素是：原四边形的对角线的长度和位置关系.设计