小学三年级数学《多位数乘一位数（不连续进位）的算理与算法》单元教学设计与实施

小学三年级数学《多位数乘一位数（不连续进位）的算理与算法》单元教学设计与实施

  一、单元整体教学设计的理念阐述与理论基石

  本单元教学设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，聚焦于“数的运算”这一关键内容领域。设计理念超越传统技能操练，旨在引导学生深入理解整数乘法运算的算理，并在此基础上自主建构清晰、可靠的算法。我们视“不连续进位”为学生学习多位数乘一位数过程中的一个关键认知节点，是连接不进位乘法与连续进位乘法、乃至未来多位数乘多位数的重要桥梁。因此，本单元教学将严格遵循“情境导入→操作感知→多元表征→算理归纳→算法抽象→灵活应用→迁移拓展”的认知建构路径，致力于实现从具体形象思维到抽象逻辑思维的平稳过渡。教学设计以“大单元”视角进行整合，强调知识之间的内在联系，将本课置于整个“数的运算”知识体系中，帮助学生形成结构化、网络化的知识图谱。同时，贯彻“以学生为中心”的教学思想，通过设计层次分明、富有挑战性的探究任务与合作交流活动，激发学生的主动思考，培养其运算能力、推理意识、模型意识和应用意识。

  二、深入全面的课前分析：学生、教材与目标

  （一）学情深度剖析

  三年级学生正处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡的关键期。在知识储备上，他们已经熟练掌握了表内乘法、整十、整百数乘一位数的口算，以及不进位的多位数乘一位数的笔算方法（即竖式中仅涉及乘法的分配律应用，无需处理进位叠加）。在技能层面，学生具备初步的竖式计算书写规范和从个位算起的顺序意识。然而，他们的认知障碍与学习难点也尤为突出：首先，对“进位”本质的理解容易表面化，往往将其视为一个机械的“写几进几”的步骤，而难以将其与“位值制”中“满十进一”的核心思想以及乘法本身的“求几个相同加数和”的意义深度融合。其次，在竖式计算过程中，当某一位的乘积达到或超过十时，学生极易出现两种典型错误：一是遗忘将进位的数加到高位（下一位）的计算中；二是在处理进位加法时出现计算错误，导致连锁失误。最后，学生的思维严谨性和步骤有序性尚在发展中，容易在复杂的计算步骤中顾此失彼。因此，教学设计的核心挑战在于如何通过有效的活动设计，帮助学生实现从“知道怎么做”到“理解为什么这样做”的跨越，并建立起稳定、准确的计算程序。

  （二）教材内容解构与单元定位分析

  本单元内容在小学整数乘法知识链中承上启下。“承上”是指它直接运用和巩固了表内乘法、加法（特别是进位加法）以及位值制概念；“启下”是指其算法原理和操作流程是后续学习“连续进位乘法”、“因数中间或末尾有0的乘法”、“多位数乘两位数”乃至小数乘法的直接基础。教材通常通过呈现生活情境（如购买文具、排列方阵等）引出计算需求，然后借助小棒、方块图等直观模型演示分步计算过程，最终引出简化、规范的竖式计算格式。本设计将在此基础上进行深化与拓展，不仅仅将直观模型视为算法引入的“拐杖”，更将其作为贯穿始终的理解算理的“锚点”，并引导学生对比口算、横式笔算与竖式笔算之间的内在联系，体会竖式计算的优越性在于记录的简洁与步骤的清晰。同时，我们将教材中可能相对孤立的例题和习题，整合进一个连贯的、有意义的“问题串”或项目式学习情境中，增强学习的整体性和趣味性。

  （三）素养导向下的单元与课时教学目标

  基于以上分析，设定如下多维教学目标：

  1.知识与技能目标：学生能准确表述多位数乘一位数（不连续进位）的笔算算理，清晰说明每一步计算的含义；能够正确、规范地书写竖式，并熟练计算两位数、三位数乘一位数（不连续进位）的算式，计算速度和准确率达到既定标准；能运用所学知识解决简单的实际问题。

  2.过程与方法目标：学生经历“发现问题→提出问题→分析问题→解决问题”的完整过程，通过动手操作（如小棒分捆）、画图表征（如点子图、长方块模型）、语言表述、符号记录等多种方式，探索并理解进位乘法的计算方法；在对比、优化不同算法的活动中，发展优化思想和抽象概括能力；在错例辨析与反思中，提升自我监控与检验的元认知能力。

  3.情感、态度与价值观目标：学生在克服进位计算难点的过程中，获得克服困难的成功体验，增强学习数学的自信心；在小组合作探究中，学会倾听、表达与协作，感受数学思维的严谨与条理之美；体会数学与生活的密切联系，认识到计算是解决实际问题的有力工具。

  三、教学资源与环境准备

  1.技术融合资源：交互式电子白板或智慧教学平台，用于动态演示分拆、组合的直观过程，实时展示学生不同的解题思路和作品。

  2.直观操作学具：每位学生准备小棒（或替代物如吸管）及橡皮筋若干，用于模拟“满十进一”；印有十行十列的点子图学习单，用于圈画计算过程。

  3.情境创设材料：制作与本地学生生活经验紧密相关的多媒体情境课件，如图书馆购书、运动会物资准备、社区公益活动等。

  4.分层学习材料：设计“基础闯关”、“能力提升”和“思维拓展”三个层次的课堂练习卡与课后作业单。

  5.评价记录工具：设计包含过程性观察要点和知识技能测评点的课堂学习评价量表。

  四、核心教学实施过程详案（两课时连排，共计80分钟）

  第一课时：算理深度探究与算法初步建构（40分钟）

  （一）情境激趣，问题驱动（预计用时：5分钟）

  教师活动：播放一段本校“爱心义卖”活动的短片，创设真实情境。画面定格在文具摊位，呈现信息：“一套彩色铅笔16元，三年级2班要为参与活动的24名志愿者每人购买一套作为纪念。一共需要多少钱？”

  学生活动：观察情境，提取数学信息（单价16元，数量24套），明确需要解决的问题：求24个16是多少，列出乘法算式16×24？此处产生认知冲突（未学）。教师引导：我们还没学两位数乘两位数，但可以化繁为简。如果只买3套呢？引出本课核心算式：16×3。

  设计意图：从真实、完整的项目背景中剥离出核心计算问题，赋予数学学习以现实意义。通过“化繁为简”的引导，渗透转化的数学思想，同时自然引出本节课的研究对象——多位数乘一位数（16×3，个位乘积满十需进位）。

  （二）多元探究，明晰算理（预计用时：18分钟）

  阶段一：自主尝试，暴露原认知

  教师活动：鼓励学生利用已有知识，尝试用自己的方法计算出16×3的结果。允许并鼓励口算、画图、摆小棒、列横式等多种方法。

  学生活动：独立思考并尝试计算。教师巡视，有意识地选取几种典型方法（可能包括：正确口算10×3=30,6×3=18,30+18=48；错误口算如16×3=318；画图法；摆小棒法等）的记录者。

  阶段二：操作具象，理解“进位”本质

  教师活动：聚焦于“摆小棒”或“点子图”方法。邀请一名用摆小棒方法的学生上台演示：先摆出1个十捆（10根）和6个单根表示16，摆出同样的3份。提问：“现在一共有多少根小棒？如何能清晰地数出来？”

  学生活动（操作与观察）：演示学生可能会先数单根：6+6+6=18根。教师追问：“18根单根小棒，看起来有点乱，怎么办？”引导学生回忆“满十根捆成一捆”的位值制规则。学生动手将18根单根中的10根捆成一捆（新的一捆），剩下8根单根。再数整捆：原来每份1捆，3份就是3捆，加上新捆成的1捆，一共4捆，即4个十。最后合起来是4捆零8根，即48。

  设计意图：通过最原始的“满十捆一”操作，将“进位”这一抽象步骤与“位值制”最核心的“满十进一”思想进行无缝对接，让学生亲眼看见、亲手制造“进位”的过程，理解“进位”来的“1”代表的是一个新的“十”，是从低一位累积而来的单位转化。

  阶段三：多元表征，沟通联系

  教师活动：利用交互式白板，同步呈现三种表征方式，并引导学生建立联系。

  1.实物表征：重现小棒“先分后合”的动态过程：3个6根是18根→10根单根汇集成1个十捆→与原来的3个十捆合并为4个十捆。

  2.图形表征：在点子图上，将表示16（一行10点加一行6点）的图形3份。先圈出所有个位上的点（6×3=18），将这18个点中每10个圈成一个大圈（表示一个十），得到1个大圈（十）和8个单点。再数十位上的大圈（原有3个，加上新圈的1个，共4个十）。

  3.符号表征（横式笔算）：对应写出分步计算过程：16×3=（10+6）×3=10×3+6×3=30+18=30+（10+8）=（30+10）+8=40+8=48。重点标注“18”拆成“10”和“8”，以及“30+10=40”这一关键步骤，指出这就是横式中的“进位”处理。

  学生活动：跟随教师的引导，观察三种表征的对应关系，尝试用自己的语言描述每一步在做什么。小组内互相说一说：“18是怎么来的？”“多出来的‘10’去了哪里？”“最后的‘40’又是怎么组成的？”

  设计意图：通过实物、图形、符号三种表征的有机融合与相互印证，为学生搭建从具体到抽象的思维阶梯。横式笔算清晰地展示了算理逻辑，为竖式算法的引入奠定坚实的理解基础。小组交流深化对算理的语言表述。

  （三）算法抽象，竖式建模（预计用时：12分钟）

  阶段一：从横式到竖式的自然过渡

  教师活动：指出横式书写在计算更多位数时可能不够简洁。提问：“能否用一种更简洁、更清晰的方式，把刚才分步计算的过程记录下来？”引导学生观察横式16×3=30+18=48，思考如何对齐数位。

  学生活动：部分学生可能已有竖式经验。教师呈现空白竖式框架，引导学生共同构建：

  首先写出乘数16和因数3，相同数位对齐。提问：“先算哪一位？为什么？”（先算个位，因为从低位算起能保证进位顺利加入高位的计算）。

  第一步：用3乘个位上的6，得18。提问：“这个‘18’在竖式中怎么处理？”引导学生讨论：在竖式中，我们直接在个位的位置写下乘积的个位数字“8”，而将产生的“1个十”（即进位数）暂时记在心上，或者如常规做法，写在十位的下方、横线的上方，作为一个小的标记“1”。强调这个小“1”代表的是1个十，必须写在十位的对应位置上。

  第二步：用3乘十位上的1，得3个十，即30。提问：“现在十位上真的只有3个十吗？”引导学生回忆：还有刚才个位进上来的1个十。所以，十位上实际是3个十加1个十，等于4个十。在竖式十位的位置写下4。

  完整呈现竖式：

  16

  ×3

  ──────

  48

  （其中，个位3×6=18，写8进1；十位3×1=3，加进位的1等于4，写4）。

  阶段二：算法提炼与规范

  教师活动：引导学生共同总结笔算算法步骤：1.相同数位对齐；2.从个位乘起；3.用一位数依次去乘多位数的每一位；4.哪一位上乘得的积满几十，就向前一位进几；5.与哪一位相乘，积的末位就和哪一位对齐。

  学生活动：齐读或复述算法步骤。教师用不同颜色笔在竖式中标注“乘”、“进”、“加”的关键位置。完成1-2个即时模仿练习，如24×3，教师巡视指导书写规范。

  设计意图：在学生充分理解算理的基础上，水到渠成地引出竖式算法。将竖式的每一步与横式算理、直观操作明确关联，避免算法成为无源之水。强调步骤的规范性和进位的书写位置，培养严谨的数学学习习惯。

  （四）首课小结与课后延伸（预计用时：5分钟）

  教师活动：引导学生回顾本课探索历程：从实际问题出发，通过摆、画、算，明白了进位是怎么来的，并学会了用简洁的竖式来计算。布置实践性作业：寻找生活中一个可以用“多位数乘一位数（需进位）”计算的实际例子，记录下来，并尝试计算。

  学生活动：分享本节课的收获与疑问。领取实践作业。

  设计意图：梳理学习路径，强化学习成就感。实践作业将数学与生活再次连接，为下节课的应用深化做准备。

  第二课时：算法巩固、灵活应用与思维拓展（40分钟）

  （一）复习关联，迁移新知（预计用时：8分钟）

  教师活动：呈现上节课的实践作业案例，选择一例（如“一盒巧克力有28块，4盒共有多少块？”）进行全班交流。快速复习竖式计算步骤。然后，将问题升级：“如果是三位数乘一位数呢？比如，我们为义卖活动准备了125个环保袋，每个班级发3个，可以发给多少个班？还剩几个？”引出算式125×3。

  学生活动：尝试将两位数乘一位数的算法迁移到三位数。独立或同桌合作尝试计算125×3。重点探究：个位、十位依次相乘后，百位如何计算？进位的数如何处理？

  设计意图：通过复习快速激活已有认知，并从两位数自然过渡到三位数，检验算法的可迁移性，引导学生发现算法的普适性规律。

  （二）分层练习，巩固内化（预计用时：15分钟）

  教师活动：发布分层练习卡，学生根据自身情况选择完成至少两个层次。

  *基础闯关层：侧重于竖式计算的规范书写和基本进位。如：37×2,29×4,118×5,142×3。要求书写工整，说清每一步的算理。

  *能力提升层：侧重于对算理的深度理解和简单应用。包括：①改错题，呈现典型错误竖式（如忘记加进位、进位数写错位置、数位对不齐等），分析错误原因。②填空补全竖式。③解决简单两步实际问题（如：一本书56页，小明每天看3页，一周能看完吗？）。

  *思维拓展层：侧重于规律探索和逆向思考。如：①在□里填上合适的数字，完成竖式谜题。②探索规律：观察12×3,12×4,12×5……的积，有什么发现？③如果某一位乘得的结果是二十几，那么进位数可能是几？

  学生活动：自主选择练习，独立完成。教师巡视，对“基础闯关层”学生进行个别指导，确保人人过关；与“能力提升层”和“思维拓展层”学生进行思路点拨和深度对话。

  设计意图：尊重学生差异，提供弹性学习空间。基础层夯实技能，提升层聚焦理解与辨析，拓展层发展高阶思维。改错题是巩固算法、培养检验习惯的有效手段。

  （三）综合应用，解决问题（预计用时：12分钟）

  教师活动：回归首课时的“爱心义卖”大情境，呈现一组关联数据，设计成微型项目任务：“义卖收入预算与结算”。

  任务单：

  1.预算环节：预计卖出自制书签25套，每套含4张书签。一共需要准备多少张书签底纸？（25×4）

  2.采购环节：购买装饰彩带，每卷彩带长15米，需要购买6卷。总共有多长彩带？（15×6）

  3.结算环节：某种钥匙扣售价18元，当天售出7个。该商品收入多少元？（18×7）

  4.挑战环节：最终统计，收到面值10元的纸币共136张，请问这部分现金总额是多少元？（实质是136×10，但可引导学生思考其与一般进位乘法的区别，链接后续学习）。

  学生活动：以小组为单位，分工合作完成计算任务，并派代表解释每道题的算式意义和计算过程。小组间相互评价计算的准确性和解决问题的合理性。

  设计意图：在真实、连贯的复杂情境中综合运用所学知识解决问题，让学生体会数学的整体性和实用性。小组合作培养协作能力，解释过程锻炼数学表达能力。

  （四）全课总结，评价反思（预计用时：5分钟）

  教师活动：引导学生从知识、方法、情感三个维度进行总结。展示课堂学习评价量表，组织学生进行自我评价和小组互评。量表内容包括：“我能清晰说出进位乘法的算理”、“我能正确计算不连续进位的乘法”、“我能用乘法解决生活中的问题”、“我积极参与小组讨论”、“我书写认真规范”等维度，采用星级或等级评价。

  学生活动：回顾两课时的学习，完成自我评价，并在小组内分享一个自己最满意的学习瞬间或一次克服困难的经历。

  设计意图：引导学生进行系统反思，促进元认知发展。多元评价方式关注过程与结果，情感与技能，发挥评价的激励与导向作用。

  五、教学评价设计

  本单元教学评价贯彻“教学评一体化”理念，采用形成性评价与总结性评价相结合的方式。

  1.过程性观察评价：教师通过课堂巡视、聆听小组讨论、分析学生操作与作品，观察学生在探究活动中的参与度、思维深度、合作交流表现、克服困难的态度等，记录于课堂观察记录表中。

  2.知识技能纸笔评价：通过课中的分层练习卡和单元结束后的专项测评，考查学生对算理的理解程度、竖式计算的准确率与速度、解决实际问题的能力。测评题设计注重层次性和开放性。

  3.表现性任务评价：如“寻找生活中的乘法问题”实践作业、“微型项目任务”完成情况，评价学生综合应用知识、数学建模和表达交流的能力。

  4.学生自评与互评：利用评价量表，引导学生反思自己的学习过程与成果，学习欣赏同伴的优点，形成积极的数学学习情感。

  六、差异化教学支持策略

  为满足不同学生的学习需求，本设计内置多层次支持：

  *对学习基础较弱的学生：提供更多的直观操作机会（小棒、点子图常备），在算法抽象环节给予“步骤提示卡”，清晰列出每一步要做什么。练习阶段优先确保“基础闯关层”的掌握，教师提供一对一的辅导，重点帮助其理解进位原理，建立计算信心。

  *对大多数学生：鼓励他们在理解算理的基础上追求算法的熟练与灵活，能清晰表述思考过程，并能运用所学解决“能力提升层”的问题。鼓励他们尝试“思维拓展层”的挑战。

  *对学有余力的学生：引导他们深入探究算理与算法背后的数学原理（如乘法分配律的早期渗透），鼓励其用不同的方法解决问题（如尝试将多位数拆分成其他方便计算的部分），并担任“小老师”帮助同伴，或研究更复杂的数字谜题和规律探索