2025-2026学年大学生复习教学设计数学

2025-2026学年大学生复习教学设计数学授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间课程基本信息1.课程名称：数学复习教学

2.教学年级和班级：大学一年级全体学生

3.授课时间：2025年9月15日星期二上午第二节课

4.教学时数：1课时核心素养目标培养学生运用数学思维解决实际问题的能力，提升逻辑推理和数学建模的素养。通过复习课程，使学生能够熟练运用数学知识，提高分析、综合和评价的能力，增强数学应用意识，为后续课程学习打下坚实基础。教学难点与重点1.教学重点：

-重点强调函数的极限概念，特别是单侧极限和无穷小的概念，要求学生能够准确理解并运用这些概念来分析函数的极限行为。

-强调导数的几何意义和物理意义，使学生能够理解导数作为切线斜率与瞬时变化率的基本应用。

-举例讲解如何求解函数的一阶导数和二阶导数，以及如何运用导数解决实际问题，如函数的单调性、极值点和拐点等。

2.教学难点：

-难点在于理解并掌握极限的定义，特别是ε-δ语言的应用，学生可能难以直观理解无穷小量的概念。

-在求解导数时，学生可能难以判断函数的连续性和可导性，特别是在分段函数和复合函数的情况下。

-理解导数的几何意义时，学生可能难以将导数与函数图像的变化联系起来，特别是在处理曲线的凹凸性和拐点时。

-在应用导数解决实际问题（如极值问题）时，学生可能难以正确选择合适的函数和求解步骤，导致计算错误或无法得出正确结论。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的教材《高等数学》。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的函数图像、极限过程动画、导数定义的几何解释等图表和视频。

3.实验器材：准备计算器、数学软件等辅助工具，用于辅助学生进行数学运算和图形绘制。

4.教室布置：布置教室环境，包括分组讨论区、实验操作台，确保学生能够方便地进行小组讨论和实验操作。教学过程设计导入环节（5分钟）

-创设情境：通过展示生活中的速度变化问题，如汽车行驶速度的变化，引入极限的概念。

-提出问题：引导学生思考如何描述汽车行驶过程中的速度变化，从而引出极限的定义。

讲授新课（20分钟）

-函数极限的定义：讲解极限的定义，使用ε-δ语言，通过实例说明如何使用极限描述函数的连续性。

-无穷小量的概念：解释无穷小量的概念，并通过实例展示如何判断无穷小量。

-导数的定义：介绍导数的定义，结合几何意义和物理意义，解释导数作为切线斜率和瞬时变化率。

-导数的计算：讲解如何求函数的一阶导数和二阶导数，通过实例演示求导过程。

-用时：5分钟

巩固练习（15分钟）

-练习1：让学生独立完成几个极限计算题，包括直接计算和运用极限性质。

-练习2：让学生尝试求几个函数的一阶导数，并讨论求导过程中的难点。

-讨论：分组讨论极限与导数的关系，以及如何在实际问题中应用这些概念。

-用时：15分钟

课堂提问（5分钟）

-提问1：什么是无穷小量？如何判断一个量是无穷小量？

-提问2：导数的几何意义和物理意义是什么？

-提问3：如何求函数的导数？请举例说明。

-用时：5分钟

师生互动环节（5分钟）

-学生展示：请几名学生展示他们的练习答案，教师进行点评和纠正。

-小组讨论：让学生分组讨论如何将导数应用于实际问题，如物体的运动轨迹分析。

-教师总结：教师总结本节课的重点内容，强调极限和导数在数学和物理中的应用。

核心素养能力的拓展要求（5分钟）

-引导学生思考：如何将数学知识应用于解决实际问题？

-提出问题：讨论在解决实际问题时，如何运用极限和导数的概念？

-用时：5分钟

-总结：回顾本节课的重点内容，强调极限和导数的重要性。

-作业布置：布置课后作业，包括极限和导数的练习题，以及一个小型应用题。

-用时：5分钟

总用时：45分钟知识点梳理1.极限的概念：

-极限的定义：当自变量的值无限接近某一数值时，函数值无限接近某一确定的值。

-单侧极限：从左边和右边无限接近某一点时，函数值分别趋向的值。

-无穷小的概念：比零大且比任何正数都小的量。

2.无穷小量的性质：

-无穷小量的运算法则：有限个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量。

-等价无穷小：两个无穷小量如果它们的比值为一个非零常数，则称它们是等价无穷小。

3.极限的计算方法：

-直接计算法：直接代入极限点，观察函数值的趋向。

-有界函数与无穷小量的乘积：有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。

-重要极限公式：如$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$，$\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$。

4.函数的连续性：

-函数在某点连续的定义：如果函数在某点的极限存在且等于该点的函数值。

-连续函数的性质：连续函数的可导性、有界性、保号性等。

5.导数的概念：

-导数的定义：函数在某点的导数是该点处切线的斜率。

-导数的几何意义：导数表示函数在某点附近的变化率。

-导数的物理意义：导数表示位移对时间的导数，即速度。

6.导数的计算方法：

-直接求导法：直接对函数求导。

-积的导数：$(uv)'=u'v+uv'$。

-商的导数：$(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$。

-复合函数的导数：$(f\circg)'=f'(g(x))\cdotg'(x)$。

7.高阶导数：

-二阶导数：函数的一阶导数的导数。

-三阶导数及以上：类似地，对高阶导数进行计算。

8.导数的应用：

-求函数的极值：通过求导数等于零的点，分析极值的性质。

-求函数的单调区间：通过导数的符号判断函数的单调性。

-求函数的凹凸区间：通过二阶导数的符号判断函数的凹凸性。

-求函数的拐点：拐点是凹凸区间的分界点，通过二阶导数的零点求拐点。

9.极限与导数的应用实例：

-物理学中的应用：速度、加速度、位移等。

-工程学中的应用：应力、应变、振动等。

-经济学中的应用：边际成本、边际收益等。

10.课后思考题：

-如何判断一个无穷小量是否是高阶无穷小？

-如何判断一个函数在某一区间内是否存在极值？

-如何求一个函数的拐点？

-如何运用导数解决实际问题？反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.实践案例教学：在讲解极限和导数的概念时，我尝试引入实际生活中的案例，比如汽车行驶中的速度变化，这样学生更容易理解抽象的数学概念。

2.多媒体辅助教学：利用动画和图表展示极限过程和导数的几何意义，帮助学生直观地理解这些概念。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生基础参差不齐：我发现学生在基础知识和理解能力上存在较大差异，有的学生对基本概念理解不深，有的学生则能够快速掌握。

2.课堂互动不足：虽然我尝试通过提问和讨论来提高学生的参与度，但感觉还是不够，有些学生似乎对课堂互动不够积极。

3.评价方式单一：目前的评价方式主要是通过课后作业和考试，缺乏对学生在课堂表现和小组合作能力的评价。

反思改进措施（三）

1.个性化教学：针对学生基础的不同，我计划在课堂上提供不同层次的问题和练习，确保每个学生都能跟上课程进度。

2.激发学生互动：我将设计更多互动环节，比如小组讨论、角色扮演等，鼓励学生积极参与课堂活动。

3.丰富评价方式：除了传统的作业和考试，我将引入课堂表现评价和小组合作评价，以更全面地评估学生的学习成果。同时，我也会考虑引入形成性评价，让学生在课程过程中得到及时的反馈和指导。板书设计①极限概念

-极限的定义：$\lim_{x\toa}f(x)=L$

-单侧极限：$\lim_{x\toa^-}f(x)$，$\lim_{x\toa^+}f(x)$

-无穷小量：$\epsilon>0$，存在$\delta>0$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，有$|f(x)-L|<\epsilon$

②导数概念

-导数的定义：$f'(a)=\lim_{x\toa}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

-几何意义：函数在某点的切线斜率

-物理意义：位移对时间的导数，即速度

③导数的计算

-直接求导法

-积的导数：$(uv)'=u'v+uv'$

-商的导数：$(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

-复合函数的导数：$(f\circg)'=f'(g(x))\cdotg'(x)$

④导数的应用

-求函数的极值

-求函数的单调区间

-求函数的凹凸区间

-求函数的拐点课后拓展1.拓展内容：

-阅读材料：《微积分学导论》中关于极限和导数的基本概念和应用的章节，加深对极限和导数理论的理解。

-视频资源：观看在线教育平台上的微积分教学视频，特别是那些通过动画和实例讲解极限和导数的视频，帮助学生直观理解这些概念。

-实际应用案例：收集一些现实生活中的数学应用案例，如物理学中的运动学问题、经济学中的成本收益分析等，让学生分析这些案例中如何运用极限和导数。

2.拓展要求：

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