第12讲解直角三角形(原卷版+解析)

第12讲解直角三角形解直角三角形内容分析解直角三角形内容分析掌握直角三角形中，除直角外其余五个元素之间的关系熟练运用锐角三角比的意义解直角三角形难点在于，若一个三角形不是直角三角形，要有意识把它化归为解直角三角形的问题．知识精讲知识精讲解直角三角形模块一：解直角三角形的基本类型在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．在中，如果，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系：（1）三边之间的关系： （2）锐角之间的关系： （3）边角之间的关系： ， ，例题解析例题解析在中，，，b=9，解这个直角三角形．（，，，）．在中，已知，a=7，b=9，解这个直角三角形（利用计算器计算）．在直角三角形中，，，a–b=2，a、b、c是、、所对的边，解这个直角三角形．如图，中，，BC=3，AC=4，以B为圆心，4为半径作圆弧交AC边于点F，交AB于点E，连接CE，求的正切值．模块二：解直角三角形的运用例题解析例题解析ABCDE在中，，a、b、c分别是、、的对边，解下列直角ABCDE三角形：（1），；（2），；如图，在菱形ABCD中，AEBC于点E，EC=1，cosB=，则这个菱形的面积是______．ABCD中，，，角平分线，解这个直角三角形．ABCD如图，在中，AB=AC，BDAC，D为垂足，且，求的值．在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且，求的值．一、单选题（2022秋·上海徐汇·九年级校考期中）在Rt中，，如果，，那么AC的长是（）A． B． C． D．（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）中，，、所对的边分别为、，下列式子中，正确的是（

）A． B． C． D．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）在中，，，，那么边的长为（

）A． B． C． D．（2022秋·上海静安·九年级校考期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于D，连接，若，则BC的长为（

）A． B． C． D．（2023·上海徐汇·统考一模）在中，．下列四个选项，正确的是（）A． B． C． D．（2023·上海·一模）已知在中，，，那么的长为（

）A． B． C． D．（2023·上海·一模）在中，，，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．（2022·上海·九年级专题练习）如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角，它们重叠部分（阴影部分）的面积是1.5，那么的值为（）A． B． C． D．二、填空题（2022秋·上海奉贤·九年级校考期中）在中，，，______．（2022秋·上海·九年级校考期中）如果在平面直角坐标系中，点的坐标为，射线与轴的正半轴所夹的角为，那么的余弦值等于_____．（2022秋·上海·九年级校考期中）在中，，若，那么________．（2023·上海长宁·统考二模）如图，将平行四边形沿着对角线翻折，点的对应点为，交于点，如果，，且，那么平行四边形的周长为______．（参考数据：）（2023·上海崇明·统考二模）如图，已知在两个直角顶点重合的Rt△ABC和Rt△CDE中，，，，，将绕着点C顺时针旋转，当点D恰好落在边上时，连接，那么________．（2022秋·上海·九年级上海市市北初级中学校考期中）如图，△ABC中，，垂足H在BC边上，如果，，，那么___（用含和的式子表示）．（2022秋·上海奉贤·九年级校考期中）如图，中，，，是边上的中线，把绕点D旋转，点A、B、C分别与点对应，与边交于点E，在旋转过程中，若，那么_______．（2022秋·上海长宁·九年级校考期中）我们把三角形一边上的高与这条边的交点叫做高的垂足，一个三角形中两个高的垂足之间的距离叫做“足距”．已知等腰三角形底角的正切值为，“足距”为2，则它的腰长为________．三、解答题（2023·上海青浦·统考二模）如图5，在中，已知，，．

(1)求边的长；(2)已知点D在边上，且，连接，试说明与相等．（2023·上海徐汇·统考一模）如图，在中，已知．点为边上一点，，求的长．（2023·上海·模拟预测）如图，在四边形中，，，点E是的中点，连接．(1)求线段的长；(2)求的正切值．如图，已知菱形的边长为4，E是的中点，平分交于点F，交于点G，若，则的长是（

）A．3 B． C． D．在四边形中，，，，，（如图）．点O是边上一点，如果以O为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（

）A． B．C． D．已知在中，，是上的中线，，，则______．在中，，，，点是斜边的中点，把绕点旋转，使得其中一个锐角的顶点落在射线上，如果旋转后点落在点，点B落在点，那么的长是______．如图，已知正方形，、分别为边、的中点，与交于点，，垂足为点．(1)求证：；(2)连接，求正弦值．如图，分别是边上的高和中线，已知，，．(1)求的长；(2)求的值．第12讲解直角三角形解直角三角形内容分析解直角三角形内容分析掌握直角三角形中，除直角外其余五个元素之间的关系熟练运用锐角三角比的意义解直角三角形难点在于，若一个三角形不是直角三角形，要有意识把它化归为解直角三角形的问题．知识精讲知识精讲解直角三角形模块一：解直角三角形的基本类型在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．在中，如果，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系：（1）三边之间的关系： （2）锐角之间的关系： （3）边角之间的关系： ， ，例题解析例题解析在中，，，b=9，解这个直角三角形．（，，，）．【答案】，，．【解析】解：； 在中，，则，解得：； 在中，，则，解得：．【总结】已知直角边和一锐角度数时，求直角边时用锐角的正切或余切，求斜边时用锐角的正弦或余弦．在中，已知，a=7，b=9，解这个直角三角形（利用计算器计算）．【答案】，，．【解析】解：， 在中，，则，利用计算器可得：， ∴．【总结】已知直角三角形的两条边，利用勾股定理求另一条边，利用锐角三角比确定锐角的度数．在直角三角形中，，，a–b=2，a、b、c是、、所对的边，解这个直角三角形．【答案】，，，，．【解析】∵在中，， ∴； 又∵， ∴，； 在中，，则，即； ∵a–b=2， ∴，∴．∴，．【总结】当直角三角形中含有30°的锐角时，则三边比为．如图，中，，BC=3，AC=4，以B为圆心，4为半径作圆弧交AC边于点F，交AB于点E，连接CE，求的正切值．【答案】．【解析】解：过点E作EG⊥AC，交AC于点G． ∵，∴， ∴， ∴，， ∴． 在中，．模块二：解直角三角形的运用例题解析例题解析在中，，a、b、c分别是、、的对边，解下列直角三角形：（1），；（2），；【答案】（1），，，；（2），，，．【解析】解：（1）． 在中，，设，则； ∵，∴，∴． ∴，，． （2）∵，∴， ∴，解得：； 在中，，则． ∴，．【总结】利用特殊角30°以及60°的特殊角的锐角三角比的值解直角三角形．如图，在菱形ABCD中，AEBC于点E，EC=1，cosB=，则这个菱形的面ABCABCDE【答案】．【解析】解：在中，cosB=，设，则． ∴， ∴． ∵EC=1，∴，解得：． ∴．【总结】本题主要考查锐角三角比的直接运用．ABCD中，，，角平分线，解这个直角三角形．ABCD【答案】，，，．【解析】解：在中，， ∴，∵平分， ∴． ∴，． 在中，，则， ∴．【总结】通过直角三角形中边之间的关系得到角度．如图，在中，AB=AC，BDAC，D为垂足，且，求的值．【答案】．【解析】解：过点作，交BC边于点E． ∵，， ∴．∴， 在中，，∴． ∵，， ∴．∴．【总结】善于发现题目中的条件得到相等的角，然后运用角度相等的锐角三角比值也相等的思路去解题．在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且，求的值．【答案】．【解析】解：延长交于点，过作． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 设正方形的边长为1，，则． ∵， ∴． ∵N是DC的中点， ∴． ∵，，， ∴． ∴，， ∴． 在中， ∵， ∴，解得． ∴在中，．【总结】本题主要是根据题目条件，构造等腰三角形和直角三角形．一、单选题（2022秋·上海徐汇·九年级校考期中）在Rt中，，如果，，那么AC的长是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可．【详解】如图：在Rt中，AC．故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角之间的关系．（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）中，，、所对的边分别为、，下列式子中，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据锐角三角函数的定义即可求解．【详解】解：如图所示，A．∵，、所对的边分别为、，∴，∴，故选项正确；B．∵，、所对的边分别为、，∴，∴，故选项错误；C．∵，、所对的边分别为、，∴，，∴，故选项错误；D．∵，、所对的边分别为、，∴，，∴，故选项错误；故选：A【点睛】此题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）在中，，，，那么边的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据余弦函数定义可以求得，将代入即可求得．【详解】解：如图，，，，则，．故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数定义，本题中明确三角函数的定义求得是解题的关键．（2022秋·上海静安·九年级校考期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于D，连接，若，则BC的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，再由，可设，从而得到，，再由，即可求解．【详解】解：∵垂直平分，∴，∵，，∴，∴可设，∴，，∵，∴，即，∴．故选：B【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握线段垂直平分线的性质，勾股定理，锐角三角函数是解题的关键．（2023·上海徐汇·统考一模）在中，．下列四个选项，正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用勾股定理求出，再根据三角函数的定义求解即可．【详解】解：∵在中，，∴，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了勾股定理和解直角三角形，熟知对应的三角函数的定义是解题的关键．（2023·上海·一模）已知在中，，，那么的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据进行求解即可．【详解】解：∵在中，，，∴，∴，故选D．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟知余弦的定义是解题的关键．（2023·上海·一模）在中，，，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先利用勾股定理求得的长，然后利用三角函数的定义求解，即可作出判断．【详解】解：在直角中，．则，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误．故选：B．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．（2022·上海·九年级专题练习）如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角，它们重叠部分（阴影部分）的面积是1.5，那么的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】重叠部分为菱形，运用三角函数定义先求边长AE，再根据面积求出．【详解】解：如图示：作交CD于C点，交CD于D点，由阴影部分是两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起可知，阴影部分是一个菱形，则有，，∴∴解之得：，故选：C【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，三角函数的应用，判断出阴影部分是一个菱形是解题的关键．二、填空题（2022秋·上海奉贤·九年级校考期中）在中，，，______．【答案】【分析】由已知，得出和的关系，再根据勾股定理得出，计算即可得出结论．【详解】解：中，，，设，则，，根据勾股定理，，故答案为：【点睛】本题考查解直角三角形，找出各个边之间的关系是解题的关键．（2022秋·上海·九年级校考期中）如果在平面直角坐标系中，点的坐标为，射线与轴的正半轴所夹的角为，那么的余弦值等于_____．【答案】【分析】如图，过点作轴于点，证明，可得结论．【详解】解：如图，过点作轴于点，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是记住特殊角的三角函数值．（2022秋·上海·九年级校考期中）在中，，若，那么________．【答案】/度【分析】根据题意画出图形，得出，可得，即可求解．【详解】解：如图，∵中，，，，∴,∴，∴故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题意画出图形是解题的关键．（2023·上海长宁·统考二模）如图，将平行四边形沿着对角线翻折，点的对应点为，交于点，如果，，且，那么平行四边形的周长为______．（参考数据：）【答案】【分析】由，四边形为平行四边形，折叠的性质可得是等腰三角形，，设，则，由三角形的内角和定理解得，由外角性质可证明为等腰三角形，继而得到，解得，分别过点作，利用余弦定理分别解得的长，最后求得平行四边形的周长．【详解】解：，四边形为平行四边形，翻折是等腰三角形设，则在中，由三角形内角和定理可得分别过点作在中，在中，平行四边形的周长为故答案为：．【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形内角和定理、图形的翻折变换等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．（2023·上海崇明·统考二模）如图，已知在两个直角顶点重合的Rt△ABC和Rt△CDE中，，，，，将绕着点C顺时针旋转，当点D恰好落在边上时，连接，那么________．【答案】【分析】利用含30度角的直角三角形的性质，分别求出的长，证明，得到，推出，在中，利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：∵，，，，∴，，，，∴，∴，，∴，设，则：，∴，在中，，即：，解得：或（不合题意，舍去）；∴．故答案为：．【点睛】本题考查含30度的直角三角形，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程．熟练掌握相关知识点，证明三角形相似，是解题的关键．（2022秋·上海·九年级上海市市北初级中学校考期中）如图，△ABC中，，垂足H在BC边上，如果，，，那么___（用含和的式子表示）．【答案】【分析】先在中由求出，再在中由求出．【详解】∵，∴，在中，，，，∴，在中，，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形，准确的选择合适的三角函数是解题的关键．（2022秋·上海奉贤·九年级校考期中）如图，中，，，是边上的中线，把绕点D旋转，点A、B、C分别与点对应，与边交于点E，在旋转过程中，若，那么_______．【答案】/0.5【分析】根据题意可求出，则．从而可求出，即得出，进而可确定只有当时，满足，即得出．【详解】∵，∴．设，则，∵，∴，解得：（舍去负值），∴，则．∵是边上的中线，∴，∴，∴只有当时，满足，如图，∴．故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，三角形中线的定义，三角形相似的判定和性质，理解当时，满足是解题关键．（2022秋·上海长宁·九年级校考期中）我们把三角形一边上的高与这条边的交点叫做高的垂足，一个三角形中两个高的垂足之间的距离叫做“足距”．已知等腰三角形底角的正切值为，“足距”为2，则它的腰长为________．【答案】或【分析】分两种情况讨论，结合锐角三角形函数以及相似三角形的判定和性质，即可求解．【详解】解：如图，在中，，，且，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；如图，在中，，，且，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，过点A作于点F，交于点G，则，∴，∵，∴，∴，即，∴，可设，则，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴；综上所述，腰长为或．故答案为：或【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，锐角三角形函数以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，锐角三角形函数以及相似三角形的判定和性质是解题的关键．三、解答题（2023·上海青浦·统考二模）如图5，在中，已知，，．

(1)求边的长；(2)已知点D在边上，且，连接，试说明与相等．【答案】(1)(2)理由见解析【分析】（1）作，垂足为点H．先证明，即，由．可得．设，那么，．即可得，即，在中，；（2）作，垂足为点G．先证明，即．由得．即有，即．可得，即是线段的垂直平分线．则有，问题得解．【详解】（1）作，垂足为点H．

在中，．∴，即．在中，．∴．设，那么，．∵，∴，即，∴，．在中，；（2）作，垂足为点G．

∵，∴．∴，即．由得．∵，∴，即．∴，即是线段的垂直平分线．∴，∴．【点睛】本题考查了解直角三角形、平行线分线段成比例、等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握平行线分线段成比例是解答本题的关键．（2023·上海徐汇·统考一模）如图，在中，已知．点为边上一点，，求的长．【答案】5【分析】解直角三角形，表示出的长，再根据是等腰直角三角形，求得即可．【详解】解：在中，，设，∴，在中，，∴，∴．∴，∵，∴，∴，∴【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练进行解直角三角形是解题的关键．（2023·上海·模拟预测）如图，在四边形中，，，点E是的中点，连接．(1)求线段的长；(2)求的正切值．【答案】(1)(2)【分析】（1）过点D作于F，根据矩形的性质得到，根据正切的定义求出，计算即可；（2）过点E作于G，根据相似三角形的判定和性质求出，进而求出，根据正切的定义计算，得到答案．【详解】（1）解：过点D作于F，则，∵，∴四边形为矩形，∴在中，，则，∴；（2）解：过点E作于G，则，∴，∴，∵点E是的中点，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质，掌握正切的定义是解题的关键．如图，已知菱形的边长为4，E是的中点，平分交于点F，交于点G，若，则的长是（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，由题干所给条件可知，AG=FG，EG=GP，利用∠AGP=∠B可得到cos∠AGP=，即可得到FG的长；【详解】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，由题意可知，AB=BC=4，E是BC的中点，∴BE=2，又∵，∴BH=1，即H是BE的中点，∴AB=AE=4，又∵AF是∠DAE的角平分线，，∴∠FAG=∠AFG，即AG=FG，又∵，，∴PF=AD=4，设FG=x，则AG=x，EG=PG=4-x，∵，∴∠AGP=∠AEB=∠B，∴cos∠AGP===，解得x=；故选B．【点睛】本题考查菱形的性质、角平分线的性质、平行线的性质和解直角三角形，熟练掌握角平分线的性质和解直角三角形的方法是解决本题的关键．在四边形中，，，，，（如图）．点O是边上一点，如果以O为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分别画出半径最小和最大时的图形，根据直角三角形的边角关系以及切线的性质列方程求解即可．【详解】解：如图1，过点D作于H，则，，，在中，，当与相切时，此时与线段有一个公共点，此时半径最小，设，则，在中，，∴，由得，，解得；如图2，当以为半径的过点B时，半径最大，过点O作于F，设，则，在中，，∴，，∴，在中，由勾股定理得，即，解得，即的最大半径为，所以当以O为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围为，故选：C．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，直角梯形以及直角三角形的边角关系，画出半径最小和最大时的图形是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．已知在中，，是上的中线，，，则______．【答案】3【分析