第12讲直角三角形全等的判定(3种题型)(原卷版+解析)

第12讲直角三角形全等的判定（3种题型）【知识梳理】一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了。这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【考点剖析】一、直角三角形全等的判定——“HL” 例1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在和中，于，于，，相交于点，求证：．

【变式1】如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．【变式2】（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）已知：如图，在中，于点D，E为上一点，且，．求证：(1)；(2)．二、选择适当的方法证明直角三角形全等例2.判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一个锐角和斜边对应相等；（）（3）两直角边对应相等；（）（4）一条直角边和斜边对应相等．（）【变式1】下列说法正确的有（）（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等；（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等；（4）有两条边相等的两个直角三角形全等；（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． A.2个 B.3个 C.4个D.5个【变式2】已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.求证：AB∥DC.【变式3】如图AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．

三、全等三角形的性质与“HL”综合例3、已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．求证：（1）AB＝CD：（2）AD∥BC．【变式1】已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC．【变式2】已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：AD＝BC；【变式3】已知，如图，AC、BD相交于O，AC＝BD，∠C＝∠D＝90°.求证：OC＝OD.【变式4】如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：EB=FC．【变式5】已知，如图，是的边的中点，，，垂足分别为，，且，求证：．【变式6】（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，在中，D是边上的中点，，，垂足分别是点E，F且．求证：(1)是等腰三角形；(2)点D在的角平分线上．【变式7】（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在中，，平分交于点D，作于点E．(1)若，求的度数；(2)若，，求的面积．【变式8】（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，在中，分别为上的高线，且，相交于点．(1)求证：．(2)若，求的长．【变式9】（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）已知：如图，中，，，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，，，垂足分别是、．(1)求证：；(2)求和的长．【变式10】（2022秋·八年级校考期中）已知在中，的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，于M，的延长线于N．(1)求证：．(2)当时，求的度数：(3)若，，，求的值．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，已知，补充下列哪一个条件，仍不能判定和全等的是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）根据下列条件，能画出唯一确定的的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，3．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，平分，于C，于D，下列结论错误的是（）A． B． C． D．4．（2020秋·八年级校考阶段练习）如图，若要用“HL”证明，则还需补充条件（

）A． B． C． D．以上都不正确5．（2021秋·浙江温州·八年级统考期末）如图，和分别是的高和角平分线，连接，若，，，则线段的长为（

）A． B．2 C． D．6．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）在中，，，，平分交于点E，则的长是（

）．A．3 B．5 C． D．67．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（

）A．两个锐角对应相等 B．一个锐角和斜边对应相等C．两条直角边对应相等 D．一条直角边和斜边对应相等8．（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，射线为的平分线，点M，N分别是边，上的两个定点，且，点P在上，满足的点P的个数有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个9．（2022秋·浙江杭州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于点F，则下列四个结论：①AD上任意一点到AB，AC两边的距离相等；②AD⊥BC且BD＝CD；③∠BDE＝∠CDF；④AE＝AF．其中正确的有（）A．②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④10．（2023·浙江·八年级假期作业）在和中，．已知，则（

）A． B． C．或 D．或二、填空题11．（2022秋·八年级统考期中）如图，已知，是的两条高线，，，则度．12．（2021秋·浙江温州·八年级校联考期中）如图所示，A，B，D同在一条直线上，∠A＝∠D＝Rt∠，AC＝BD，BC＝BE，则∠BCE＝度．13．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州绿城育华学校校考期中）如图，中，，点D在上，且于点E，，若，则．14．（2020秋·八年级校考阶段练习）如图，在中，，AD是的平分线，若，则CD的长度为．15．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，中，，是上一点，连接，过点作，垂足为，，若，则的值为.

16．（2022秋·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为27和14，则的面积为．17．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在中，高AE交BC于点E，若，，的面积为20，则的长为．18．（2021秋·浙江温州·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，，，点E是上一点，若，，则的度数为．三、解答题19．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，已知，相交于点，且，．(1)求证：．(2)若，求的度数．20．（2023春·浙江·八年级开学考试）已知在中，，AD是的平分线．(1)如图1，当时，求证：；(2)如图2，当时，线段还存在（1）中的等量关系吗？说明理由．21．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州市十三中教育集团（总校）校考期中）如图，点在上，且，，．(1)求证：．(2)连结，若，，，求的长度22．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图1，在中，于点，于点．(1)若，求证：；(2)如图2，点为边上的中点，连接、、，试判断的形状，并说明理由；(3)在（2）的条件下，若，，求的周长．23．（2022秋·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，为等腰直角三角形，，E是上一点，D是延长线上一点，连结．(1)若．求证：．(2)若，是等腰三角形，求的长．24．（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期中）已知：如图，，于，于，．求证：．25．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，相交于点O，，．(1)求证：；(2)若，求的度数．26．（2020秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在中，是的中点，于点于点，且．(1)求证：平分．(2)若，，求的长．27．（2022秋·浙江绍兴·八年级校考期末）如图，在四边形中，，O为上的一点，且平分平分．求证：(1)．(2)．28．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，中，，平分交于点于点E．

(1)若．①求线段的长；②求的面积(2)若，求的长．

第12讲直角三角形全等的判定（3种题型）【知识梳理】一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了。这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【考点剖析】一、直角三角形全等的判定——“HL” 例1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在和中，于，于，，相交于点，求证：．

【详解】证明：∵，，∴，在和中，，∴．【变式1】如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．【答案】证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°AC=BD，BC=BC，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；（2）△OBC是等腰三角形，∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ACB=∠DCB，∴OB=OC，∴△OBC是等腰三角形.【变式2】（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）已知：如图，在中，于点D，E为上一点，且，．求证：(1)；(2)．【详解】（1）证明：∵，∴，在和中，∴；（2）证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴二、选择适当的方法证明直角三角形全等例2.判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一个锐角和斜边对应相等；（）（3）两直角边对应相等；（）（4）一条直角边和斜边对应相等．（）【答案】（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SAS”；（4）全等，“HL”.【变式1】下列说法正确的有（）（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等；（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等；（4）有两条边相等的两个直角三角形全等；（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． A.2个 B.3个 C.4个D.5个【答案】C．解：（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等，根据AAS可判定两个直角三角形全等；（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，根据AAS或ASA可判定两个直角三角形全等；（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等，缺少“边”这个条件，故不可判定两个直角三角形全等；（4）有两条边相等的两个直角三角形全等，根据SAS或HL可判定两个直角三角形全等；（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，根据HL可判定两个直角三角形全等．所以说法正确的有4个．故选C．【变式2】已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.求证：AB∥DC.【答案与解析】证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴在Rt△ADE与Rt△CBF中∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL）∴AE＝CF，DE＝BF∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE在Rt△CDE与Rt△ABF中，∴Rt△CDE≌Rt△ABF（SAS）∴∠DCE＝∠BAF∴AB∥DC.【变式3】如图AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．

【答案与解析】证明：在Rt△ABD与Rt△ACE中

∴Rt△ABD≌Rt△ACE(AAS)

∴AD＝AE(全等三角形对应边相等)

在Rt△ADF与Rt△AEF中

∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)

∴∠DAF＝∠EAF(全等三角形对应角相等)

∴AF平分∠BAC(角平分线的定义)三、全等三角形的性质与“HL”综合例3、已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．求证：（1）AB＝CD：（2）AD∥BC．【答案与解析】证明：（1）∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°在Rt△ABD和Rt△CDB中，∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）（2）由∠ADB＝∠CBD∴AD∥BC.【变式1】已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC．【答案】证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，∴∠DAE＝∠CBA＝90°在Rt△DAE与Rt△CBA中，∴Rt△DAE≌Rt△CBA（HL）∴∠E＝∠CAB∵∠CAB＋∠EAF＝90°，∴∠E＋∠EAF＝90°，即∠AFE＝90°即ED⊥AC．【变式2】已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：AD＝BC；【答案与解析】证明：连接DC∵AD⊥AC，BC⊥BD∴∠DAC＝∠CBD＝90°在Rt△ADC与Rt△BCD中，∴Rt△ADC与Rt△BCD（HL）∴AD＝BC.（全等三角形对应边相等）【变式3】已知，如图，AC、BD相交于O，AC＝BD，∠C＝∠D＝90°.求证：OC＝OD.【答案】∵∠C＝∠D＝90°

∴△ABD、△ACB为直角三角形

在Rt△ABD和Rt△BAC中∴Rt△ABD≌Rt△BAC(HL)

∴AD＝BC

在△AOD和△BOC中∴△AOD≌△BOC(AAS)∴OD＝OC．【变式4】如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：EB=FC．【答案与解析】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF；∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．∴在Rt△DBE和Rt△DCF中，∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）；∴EB=FC【变式5】已知，如图，是的边的中点，，，垂足分别为，，且，求证：．【详解】证明：∵，，∴，∵D是的中点，∴，在与中，∴，∴，∴．【变式6】（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，在中，D是边上的中点，，，垂足分别是点E，F且．求证：(1)是等腰三角形；(2)点D在的角平分线上．【详解】（1）证明：是边上的中点，，又，，，在和中，，，是等腰三角形；（2）证明：，，又，，∴点D在的角平分线上．【变式7】（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在中，，平分交于点D，作于点E．(1)若，求的度数；(2)若，，求的面积．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：平分，，，，，，，；（2）解：平分，，，，，，，，，，，，设，，，，解得，，的面积为：．【变式8】（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，在中，分别为上的高线，且，相交于点．(1)求证：．(2)若，求的长．【详解】（1）证明：∵，分别为，上的高，∴，，在和中，，∴（）．（2）解：，∴，∴，∴的长是．【变式9】（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）已知：如图，中，，，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，，，垂足分别是、．(1)求证：；(2)求和的长．【详解】（1）如图连接垂直平分在和中，（2）设在和中，中，，，，【变式10】（2022秋·八年级校考期中）已知在中，的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，于M，的延长线于N．(1)求证：．(2)当时，求的度数：(3)若，，，求的值．【详解】（1）证明：连接，如图所示：∵是的平分线，，∴，∵垂直平分，∴，在和中，，∴，∴；（2）由（1）得：，∵是的平分线，，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵是的垂直平分线，∴，∴，∴，∴．（3）设，，解得即在中．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，已知，补充下列哪一个条件，仍不能判定和全等的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据全等三角形的判定，逐项判断即可求解．【详解】解：，，，添加，，故选项不符合题意；添加，，故选项不符合题意；添加，，故选项不符合题意；添加，不能判定，故选项符合题意，故选：．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．2．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）根据下列条件，能画出唯一确定的的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，【答案】C【分析】根据全等三角形的几种判定定理，根据选项中所给的条件，逐条判断是否满足全等三角形的判定定理即可．【详解】A.，，不能构成三角形，不能画出，故本选项不符合题意；B.，，，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的，故本选项不符合题意；C.，，，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的，故本选项符合题意；D.，，不符合全等直角三角形的判定定理，不能画出唯一的，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，能够熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键．3．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，平分，于C，于D，下列结论错误的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据角平分线的定义即可得选项A正确；根据角平分线的性质即可得选项D正确；根据定理证出，根据全等三角形的性质即可得选项B正确；由此即可得．【详解】解：∵平分，，，∴，，，则选项A和D均正确；在和中，，∴，∴，，无法得出，则选项B正确；选项C错误；故选：C．【点睛】本题考查了角平分线的性质、直角三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．4．（2020秋·八年级校考阶段练习）如图，若要用“HL”证明，则还需补充条件（

）A． B． C． D．以上都不正确【答案】B【分析】根据“HL”证明，因图中的斜边为公共边，只需再补充一条直角边即可．【详解】解：由图可知：为和的斜边，也是公共边，根据“HL”定理，证明，只需再补充一条直角边相等即可，即或，故选：B．【点睛】本题考查的是利用“HL”证明直角三角形全等，解题的关键是熟练掌握“HL”判定定理．5．（2021秋·浙江温州·八年级统考期末）如图，和分别是的高和角平分线，连接，若，，，则线段的长为（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】由勾股定理求出的长，再证明是等边三角形，过作于，过作于，证明，可得，可得，再根据含角的直角三角形的性质得出的长即可求解．【详解】解：在中，，，由勾股定理得，，如图，过作于，∴由等面积法可得：，∴，∴，∴为等边三角形，，∴，E是的中点，过作于，过作于，∵是的角平分线，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理的应用，证明是解题的关键．6．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）在中，，，，平分交于点E，则的长是（

）．A．3 B．5 C． D．6【答案】B【分析】根据题意画图，先利用勾股定理求得，过E作于D，根据角平分线的性质得到，进而证明得到，然后利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，过E作于D，∵在中，，，，∴，∵，，，∴，在和中，∴，∴，在中，∵，，∴，解得：，故选：B．【点睛】本题考查勾股定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形全等的证明以及角平分线的性质，会利用勾股定理建立方程求解是解答的关键．7．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（

）A．两个锐角对应相等 B．一个锐角和斜边对应相等C．两条直角边对应相等 D．一条直角边和斜边对应相等【答案】A【分析】根据三角形全等的判定定理对各选项分析判断，利用排除法求解．【详解】A、两个锐角对应相等，不能说明两三角形能够完全重合，符合题意；B、可以利用判定两三角形全等，不符合题意；C、可以利用判定两三角形全等，不符合题意；D、可以利用判定两三角形全等，不符合题意．故选A．【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定，解决问题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理、和直角三角形全等的判定定理．8．（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，射线为的平分线，点M，N分别是边，上的两个定点，且，点P在上，满足的点P的个数有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个【答案】B【分析】过点P作，，根据角平分线的性质及全等三角形的判定即可得出结果．【详解】解：过点P作，，如图所示：∵射线为的平分线，∴，当DM=EN时，此时∴满足条件的点P只有1个，故选：B．【点睛】题目主要考查角平分线的性质及全等三角形的判定，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．9．（2022秋·浙江杭州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于点F，则下列四个结论：①AD上任意一点到AB，AC两边的距离相等；②AD⊥BC且BD＝CD；③∠BDE＝∠CDF；④AE＝AF．其中正确的有（）A．②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，利用“HL”证明可得对应角,全等三角形对应边相等可得,然后求出可得出答案．【详解】∵平分,∴上任意一点到、的距离相等（角平分线上的点到角两边的距离相等），故①正确．∵,平分，∴，且（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），故②正确．∵，，∴，在和中，∴≌（HL），∴故③正确，，∴，即，故④正确，故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟记各性质是解题的关键．10．（2023·浙江·八年级假期作业）在和中，．已知，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】过A作于点D，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解．【详解】解：过A作于点D，过作于点，∵，∴，当在点D的两侧，在点的两侧时，如图，

∵，，∴，∴；当在点D的两侧，在点的同侧时，如图，

∵，，∴，∴，即；综上，的值为或．故选：C．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．二、填空题11．（2022秋·八年级统考期中）如图，已知，是的两条高线，，，则度．【答案】40【分析】由，是的两条高线，得，证明，得，则，．【详解】解：∵，是的两条高线，∴，，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，故答案为：40．【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键．12．（2021秋·浙江温州·八年级校联考期中）如图所示，A，B，D同在一条直线上，∠A＝∠D＝Rt∠，AC＝BD，BC＝BE，则∠BCE＝度．【答案】45【分析】证明可得，进而，根据等腰三角形的性质即可求解．【详解】解：∵，在与中，，∴（HL），∴，∵，∴∴是等腰直角三角形，∴．故答案为：45．【点睛】本题考查了证明三角形全等，以及全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，证明是解题的关键．13．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州绿城育华学校校考期中）如图，中，，点D在上，且于点E，，若，则．【答案】【分析】证明，得到，进而求出即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．通过已知条件证明三角形全等是解题的关键．14．（2020秋·八年级校考阶段练习）如图，在中，，AD是的平分线，若，则CD的长度为．【答案】3【分析】过点D作于点E，根据角平分线的性质定理可得，可证得，可得到，再由勾股定理可得，然后设，则，再由勾股定理，即可求解．【详解】解：如图，过点D作于点E，∵，AD是的平分线，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，设，则，∵，∴，解得：，即．故答案为：3【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键．15．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，中，，是上一点，连接，过点作，垂足为，，若，则的值为.

【答案】【分析】先证明，然后得到求解即可．【详解】解：∵，，∴，又∵，，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．16．（2022秋·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为27和14，则的面积为．【答案】【分析】过点D作于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“HL”证明和全等，和全等，然后根据全等三角形的面积相等列等式求解即可．【详解】解：如下图，过点D作于H，∵AD是的角平分线，，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵和的面积分别为27和14，∴，即，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．17．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在中，高AE交BC于点E，若，，的面积为20，则的长为．【答案】【分析】以为边，点C为顶点作，延长与交于点D，先通过角度等量代换证明，再依据角平分线的性质证明，进而证明，得出，最后利用三角形面积公式即可求解．【详解】解：如图，以为边，点C为顶点作，延长与交于点D，则，，，，，平分，，在和中，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积公式等，通过作辅助线构造是解题的关键．18．（2021秋·浙江温州·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，，，点E是上一点，若，，则的度数为．【答案】【分析】先根据平行线的性质和角平分线的定义，可以得到，，再根据可以判定，从而可以得到，然后即可得到的度数．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．三、解答题19．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，已知，相交于点，且，．(1)求证：．(2)若，求的度数．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用斜边直角边分别对应相等证明即可；（2）利用全等三角形的性质可得，再利用三角形的外角的性质可得答案．【详解】（1）证明：在与中，，；（2），，又，．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，掌握“利用证明两个直角三角形全等”是解本题的关键．20．（2023春·浙江·八年级开学考试）已知在中，，AD是的平分线．(1)如图1，当时，求证：；(2)如图2，当时，线段还存在（1）中的等量关系吗？说明理由．【答案】(1)过程见解析(2)存在，过程见解析【分析】（1）过D作，交AB于点E，易证，则可得，又由，所以，易证，则可证得；（2）存在．在AB上截取，可证明，得到再根据及外角的性质得到即可求证．【详解】（1）证明：过D作，交AB于点E，如图1所示，∵AD为的平分线，，，在和中，，，则；（2）存在，理由为：在AB上截取，如图2所示，∵AD为的平分线，，在和中，，，，又，则．【点睛】此题考查了角平分线性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线性质是解本题的关键．21．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州市十三中教育集团（总校）校考期中）如图，点在上，且，，．(1)求证：．(2)连结，若，，，求的长度【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据已知条件先证明，然后根据，证明；（2）勾股定理求得，进而求得，在中，勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，在与中，，，∴（），（2）如图，在中，，，∴，∵，∴，在中，，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．22．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图1，在中，于点，于点．(1)若，求证：；(2)如图2，点为边上的中点，连接、、，试判断的形状，并说明理由；(3)在（2）的条件下，若，，求的周长．【答案】(1)见解析(2)是等腰三角形，理由见解析，(3)【分析】（1）直接根据证明两三角形全等即可得证；（2）根据直角三角形斜边上的中线即可得证；（3）根据三角形的外角性质得出，即可证明是等边三角形，即可求解．【详解】（1）证明：∵，，∴,在与中∴（2）是等腰三角形，理由如下，∵点为边上的中点，∴在与中，∴，∴是等腰三角形；（3）解：如图，∵，∴，∵，即，∴，∵，在中，，∴，即，∵，∴是等边三角形，∵，∴的周长是，【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．23．（2022秋·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，为等腰直角三角形，，E是上一点，D是延长线上一点，连结．(1)若．求证：．(2)若，是等腰三角形，求的长．【答案】(1)见解析(2)2或【分析】（1）根据证明，可得结论；（2）分两种情形：①，②，分别求解即可．【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，∴，，在和中，，∴，∴．（2）解：①当时，∵，∴．②当时，设，∵为等腰直角三角形，，∴，，∴，∴，∴，综上所述，的长为2或．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会用分类讨论的