广东省广州市2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试卷

PAGE167 A．x0xC．x0x

B．x1xD．x1x已知甲、乙两人投篮命中的概率分别为0.4和0.8，且事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则甲、乙两人至少有一人命中的概率为（） 已知tanαπ2，则sin2α2sin2α的值为（ 4

13

39

ABCDAE2EB，FACDEBF（

AB

AD

AB

AD

AB

AD

AB

AD 记a，b，c分别为VABCAB，CAπ，3a4bsinC，则V的形状为（锐角三角 B．直角三角 C．钝角三角 D．锐角或直角三角的图象关于点10g19（ 3 48 方程2fx1fx在区间03π内所有根的和为（

C．

D． zm2m2m21i，其中mRi是虚数单位，则（当m1时，z为纯虚 B．当m1时，z当m2z

当m2z

3i下列说法正确的是（

在VABCBD2DCEACDE

AB 在VABC中，若ABACBC0，则VABC AC已知a13bk,1，若a与b的夹角是钝角，则k6ABCDEBCBE2ECF是CD中点，AEBF6设球OA1BCD的外接球，则下列说法正确的是（ABDBCDABCD 球OACBD3ABDC的大小为 EFADBCEF被球O所截长度的取值范围是132 已知向量a1,2,b3,1，则向量b在a方向上的投影的坐标 已知a1，b1，且abab3，则4ab的最小值 已知复数w,w满足ww w 为A.若z1A且z2A，则z1z2的取值范围 xi(i12,L50)4595分之间（100分，学校将5组：[4555，[5565，，[8595，整理得到如图所示的频率分布直．求mx（中位数保留一位小数若采用分层随机抽样的方法，从分数在[65,855人，查看他们的答题情22人中至少有一人分数在[7585)内的概率．设锐角VABCA，B，Ca，b，c，且csinA

3acosC

若b2，求VABCS若VABC的外接圆半径 ，求VABC内切圆半径的最大值如图，在五棱锥SABCDE中，平面SAEAEDAEEDSEADABCD为矩形，且SEAB1AD3–––→SEAED

2NCAE3ESADDN与平面SAD对于一组向量a1、a2、a3、…、an（nN且n3，令Sna1a2a3Lan –→–存在app123,LnapSnap，那么称ap是该向量组的“长向量设annx2nnN且n0，若a3是向量组a1、a2、a3的“长向量”x

nπ若an

,

2nN且n0，向量组a1、a2、a3、…、a7是否存在“长向量 已知a1、a2、a3均是向量组a1、a2、a3的“长向量”，其中a1sinxcosxP2为a3P2k1P2kP1P2k2P2k1（kN且PAGE1019求复数的模；与复数模相关的轨迹（图形）【难度】【难度】PA0.4PB0.8，所以CABABABPAPBPAPBPAP0.40.80.410.810.40.80.88，【难度】【详解】tanαπtanα12，解得tanα1 4

13

4 原式 cos cosα

sin2α

1 cos2α

【难度】【详解】如图，将正三棱台补成正三棱锥SABC作SOABCABCA1B1C1于O、O1A1NABCAON，则O、O1分别为VABC、△A1B1C1的中心因为AB3A1B19，所以AO3A1O1 AA2−ANANAOA1O123AA2−AN 2故V1S Sh1932738132393，故选

3

【难度】

BFAFBF

AE2EBAE3ABFACDEAFCDFE三点共线．DFE三点共线，所以存在实数μDFμDE．DFAFADλABADADλABλ1AD，

2 ，解得λ3 所以AF(ABAD)ABAD

BFAFABAF5AB5AD BFABADABABAD 【难度】【分析】应用正弦定理得出sinBsinC3角的范围判断形状【详解】因为3a4bsinC，由正弦定理得3sinA4sinBsinCAπ，故sinBsinC3 由余弦定理得a2b2c22bccosAb2c2−bc，故sin2Asin2Bsin2CsinBsinC得sin2Bsin2Csin2AsinBsinC9，所以cosBCcosBcosCsinBsinC1 得cosBcosC1所以cosB0cosC0或cosB0cosC0，所以VABC为钝角三角形.【难度】f1g19f1757可得结论.f(x关于(12)f(1xf(1x)4x1xfx2fx4g(x关于(10)g1xg1x0g(x)f(x2)3xx1xg1xfx13x3，用1xxg1xfx133x，f(x1f(x16x1xfx2fx6②，由-②fx2fx210，x2xfx4fxg(19)f(192)319f(1757f(1xf(1x4x0，得2f14f12f17f1310f91010f51020f11030f141042，g(19)425799.【难度】fx)1f(x)1在0

内的所有根之和，最后根据正弦函数的性质即可求解【详解】已知πfxsinωxπ(ω0)sinωππ0 3 3即ωππkπk

，解得ω2k2kZxπ3πf(x0，代入ω2k248 k0时，ω2，ωx

ππ

fx0 36,12 k1时，ω8，ωxππ2πfx0 3 3k2时，ωxπ的取值区间内函数值不恒为负，不符合条件因此ω2fxsin2xπ f(x02fx1fxnfx1f(x02fx1fxnfxfx)1f(x)1在0

内的所有根之和 33 fx1，即sinθ1在π5π内仅θ3π是解，对应：2xπ3πnx11π33

fx1即sinθ1在π5π内有两个解θ,θ，由正弦函数对称性得θθπ 33 1 θ2xπ,θ2xπθθ2xx2ππnxx5π 3

3

【难度】

x1

11π10π11π21π A：当m1z0RA错误；B：当m1z2RB正确；C：当m2z03i3iz3iCD：当m2z43i16243279243

10D正确【难度】A，因为在VABCBD2DCEAC

则DEDCCEBCCA(ACAB)ACAB

AC AAB对于B，因为AB,AC是非零向量，所以––

AB

ACBC

AB

AC AC

AC 所以VABCBC，因为a与b的夹角是钝角，所以ab0，且a与b不共线，由ab0得k30，所以k3，又a与bk1，所以k1 所以当a与bk3且k1CDAA(00)B(60E(64F(36)，AE(64BF(36，AEBF18246D正确.【难度】AM和CNBDA1MCN

取OBD的中点，且O为外接球的球心，求得球OB正确；取CQMNCQMNA1Q，在VA1MQ中，利用余弦定理，求得A1MQ120C正确；EFEF的距离的取值范围，结合圆的D正确AAMBD于点MCNBDNA1MCN2ABDBCDABCD的体积V11BDCNAM1

B，设OBD的中点，根据直角三角形的性质，可得OBODOCOA1即O为外接球的球心，可得球O的半径为r1BD1BC1所示，取CQMN1，且CQMN因为tanACQ3AQ3 在VAMQ中，AMMQ 3，且AQ3 AM2MQ2AQ2 由余弦定理得cosA1MQ ， 又因为0A1MQ180，所以A1MQ120C正确．DBD的中点O，连接OEOFOA1OC，2EFEGBDFHBD垂足分别为G 在直角VDEGEGEDsin30

3,DGEDcos30∘3 同理可得FH 3,BH3，所以GH1

EFEGGHHFEF

EGGHHF

2EGGH2GHHF2EG3

1

3

54

2

4

002

因为θ(0π)，可得cosθ1,11211EF又由球心OEF的距离为d

rr2(EF

1(EF1(EF

3)r2dr2d

(13,2)11dEF被球O所截得的长度的取值范围为

132)D正确5512．1,55 【难度】【分析】→ 【详解】由题得ab13211,a5,b10→ a aa→

a,b 55a(

,2与向量a的同向单位向量为

→

12所以向量b在向量ab

a,

10

,551255

5 55【难度】【分析】由题可得ab3b1，令tb10，所以4abt165b 求解即可【详解】由题可得ab3b1b所以4ab4b3bb令tb1，即bt1t04t1所以4ab t1t 5

5当且仅当t16，即t4bt15ab324ab 0,42 【难度】

b【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）【分析】先对已知条件w1

z

Az1Az2Az1z2的取值范围【详解】Qw1w2

设wwm，则m4，即mm4，m24，mww2 zwi[13zwiz所对应的点Z到复数wi所对应的点Wi的距离，Az对应的点Z的轨迹是以W1,W2为圆心，半径分别在题干要求对i12都满足1∣zi3A是两个圆环的交集：两个圆环分别以W1,W2为圆心，内半径1，外半径3，Az1z2都在C处时，z1z2最小距离可取到0A中最远的两点距离是两个外圆的交点距离，因为两个外圆半径都是3，圆心距2，32由勾股定理可得两交点距离为：32∣z12∣的取值范围是[0415．(1)AC1A1C于O点，连接OM，则OAC1又MAB的中点，所以OMC1B因为OMA1CMC1BA1CM，所以C1BA1CM(2)【难度】（1）只需证明OMC1B（1）（2）由（1）知OMBC1，所以A1MOA1MBC1AM10OM1BC13,AO1AC13 2 AM2OM2AO2在△A1MO中由余弦定理，得cosA1MO 16．(1)m0.02475分，中位数约为76.7(2)【难度】（1）由频率分布直方图，得(0.0060.014m0.0360.020)101所以m0.024.x10(500.006600.014700.024800.036900.020)75测试分数在[45750.006100.014100.024100.440.5测试分数在[45,850.006100.014100.024100.036100.80.5，则测试分数中位数为a(75,850.44a750.0360.5，解得a76.7，所以此次数学测试分数的中位数约为76.7（2）记分数在[6575x500.0241012（人分数在[7585y500.0361018（人，x:y1218235分数在[65752人，编号分别为a1a2，分数在[75853人，编号为b1b2b3，52人的样本空间则n(10A“至少有一人分数在[7585”，则nA9P(A92人中至少有一人分数在[7585917．(1)(2)3,23 (3)【难度】【分析（1）由正弦定理边化角及两角和的正弦公式化简后可求得tanA 进而可求A由三角形的面积S

3c，利用正弦䆙理求得c

tan

，可求VABCS利用正余弦定理求得a，利用基本不等式可求得bc6r2(bc

，再结合bc的关系可求得r的最大值（1）在VABC中，由csinA

3acosC

sinCsinA

3sinAcosC

3sinBQB=π-(A+C)sinCsinA

3sinAcosC

3sin(AC)

3sinCcosA

3cosCsinAsinCsinA3sinCcosA又sinC0,sinA3cosAtanA3QA(0,π),AπAπb2，得S1bcsinA

3c

sin

sin2sin2πB3cosBsin3cosBsin

c sin

sin

sin

tan又VABC0Bπ

Bππ 6 0 B 则tanB

，即 (0,3)3

tan c(14)，于是S

3c3,23 即VABCS的取值范围为323 设VABCR由（1）a2RsinA23

33由余弦定理得a2b2c22bccosA，即9b2c2bcbc)23bc3bc(bc)29(bc3)(bc3)bc(bc3)(bc3)bcQ9(bc)23bc(bc)2

1(bc)22 bc6（当且仅当bc3时，等号成立．·Q r(abc)1bcsinA 3bc△r

3(bc 3(bc333 3（当且仅当bc时，等号成立 显然此时VABC故VABC内切圆半径的最大值为318．(1)(2)(3)【难度】（1）DESE，结合SEAD作出辅助线，找到ETGESADN到平面SAD的距离为hDN与平面SAD所成角大小为θsinθh

DN与平面SAD所成角的正弦值的最小，则hhAEm

m2m2 92 小值，得到正弦的最小值（1）平面SAEAEDAEAEEDDEAED，DE⊥平面SAE，又SE平面SAEDESE因为SEADADDEDADDEAED，故SE⊥AED；（2）AE3，AEED，AD3AD2由勾股定理得EDAD2SE2SEAEDAEAED，所以SESE2因为SE1AE

3，由勾股定理得SA

2过点E作ET⊥SA于点T，则ETSEAE13 3AT

AE2AE2ET

33过点T作TGSAAD于点GEG，故ETGESAD的平面角， tanπ

，故SADπ由勾股定理得SDSE由勾股定理得SDSE2ED2167AD3SA2AD2由余弦定理得cosSAD4972SA22 3在Rt△ATG中，tanTAG ，

3

，解得TG AT2故AGAT2在RtVAED中，cosEADAE 3 EG2AE2AG22AEAGcosEAD392

3

36EG=6

327在VETG中，由余弦定理得cosETGETTGEG 1，ESA

1

2ET

233 （3）AN，因为––––––BC3，所以CN1CN2DC又CD1，DC⊥CB，由勾股定理得CN2DCN到平面SAD的距离为hDN与平面SAD所成角大小为则sinθhhDN与平面SAD所成角的正弦值的最小，则hSV

1AD13 由（1）得SEAED，故

199

V

SE131113 1AD2AEAD2

，SA SE2SE2

19101910在VSAD中，由余弦定理得cosASD 2SA

1m210m221m221m2101m2101cos2m41cos2m49m21m210则

1SASDsinASD m4m49m2因为 1，所以1

h1m49m29h1S N m49mm49m2

3 m2 92 当m29h取得最小值，最小值为h

2132DN与平面SAD所成角的正弦值的最小值为sinθ13

2619．(1)4x0存在“长向量”，且“长向量”为a2、a6an

sin2nπcos2sin2nπcos2

若