统计物理部分课后答案

7.4

解：根据式（6.6.9）,处在能量为邑的量子态s上的平均粒子数为

f=限.

J5(1)

以〃表示系统的粒子数，粒子处在量子态S上的概率为

_ea~^_卡

⑵

显然，4满足归一化条件

Z"i，

s（3）

X

式中S是对粒子的所有可能的量子态求和.粒子的平均能量可以表示为

E=fP1

s（4）

根据式（7.1.13）,定域系统的•靖为

S=NkInZ,-/?—InZ.

I'印U

=N%（lnZ1+瓦）

=InP.

$（5）

最后一步用了式（2）,即

lnR=-lnZ「陶.⑹

式（5）的炳表达式是颇具启发性的•幅是广延量，具有相加性.式（5）意味着一个粒子

-心aIn匕

的墉等于$它取决于粒子处在各个可能状态的概率

6.如果粒子肯定处在某个状态厂，即A"粒子的烦等于零.反之，当粒子可能处

在多个微观状态时，粒子的炳大于零.这与炳是无序度的量度的理解自然是一致的.如果

换一个角度考虑，粒子的状态完全确定意味着我们对它有完全的信息，粒子以一定的概率

处在各个可能的微观状态意味着我们对它缺乏完全的信息.所以，也可以将炳理解为信息

缺乏的量度.第九章补充题5还将证明，在正则系综理论中炳也有类似的表达式.沙农

（Shannon）在更普遍的意义上引进了信息端的概念，成为通信理论的出发点.瓶尼斯

（Jaynes）提出将靖当作统计力学的基本假设，请参看第九章补充题5.

对于满足经典极限条件的非定域系统，式（7.1.13'）给出

/p.\

S=NkInZ,-^—InZ,-ZlnN!,

上式可表为

S=-Nkf-

（7）

其中

So=—klnN!=—Nk（lnN—T）.

因为

f=N匕

将术(7)用工耒出，并注意

Z£=N,

可得

S=-k£fM+Nk.

（8）

这是满足玻耳兹曼分布的非定域系统的炳的一个表达式.请与习题8.2的结果比较.

习题7.8气体以恒定的速度沿Z方向作整体运动。试证明，在平衡状态下分子动量的最概

然分布为

&i晨［/小2十〃,2+（〃_〃O）2]Vdp、dpydpH

h3

证：设能级q这样构成：同一々中，〃z相同，而Px与Py在变化，于是有:

6N=6£a,=X^ai=0(1)

6Z?=62"%=££避囚=0(2)

Sp=5XPz为=£Pzbai=0(3)

(P=2Pz5=Po)

参照教材玻耳兹曼分布证明：有

Sln，2—a8N—^SE-yPz，

其中勺=/<Px2+Py2+Pz>

由(1)知:一aTTPzdpxdpydpz=N

将q代入并配方得：

e-a-次J+£y）T&Pz2+ypz）dpxdpydp2

二亲Je"弩一"电苧dpxdpydpz=N

Px2Py2

其中a=茄，J=嬴

对比page238式（7.2.4）得：

-喏）_N,h2_23

es="（^F）2=，（^hp2

整个体积内，分布在PxTPx+dp%,PyTPy+dp、,PzTPz+dpz内分子数为：

-做£x+£y）$（Pz+才）2dpxdpydpz=J/（Px，Py，Pz）dPxdPydp.

N(

由条件(3)知JPzf（Px，Py，Pz）dPxdPydpz=Npo

计算得

（就JJ嗟限dpJe■网dpyf［（p2+y）-y］e-和Up%

二一（就/Je-做…y）dpxdpy皆）f，嘘（P，+詈产dpz

my「fdpxdpydpzmy

"J一N=Po=>y=-Po

代入得出分布

一。}}-{{P}ever(2m))left|prSub{size6{x}rSup(size6{2}})+prSub{size6{y}rSup{size6{2}}}+\(prSub{size6{z}}-prSub{size6(0))\)rSup{siz«

其中竽詈=-P。

习题7.13试证明，单位时间内碰到单位面积上，速率介于u与u+dv之间的分子数为：

m，mv2

dr=7TJl(——)3/2e-2kTV3dv

v2nkT7

证：在斜圆柱体内，分速度为外的U方向的分子数为：

dn=nf(yx,vy,七)%柱;，=dsvzdt

3/2+v+v

dn=nfvzdsdt=n(^^)e~^^y^vzdvxdvydvzdsdt

对于以，为从-8T+%对％从07+8积分得：

dt时间碰撞到ds面积上的分子数(u-»“+dv)

71="蒜尸亡，鲁「8e一景应+*%zdvmvydvzdsdt

=n(^j；)3J^/2e-2kf“3cos6dvd0c/0dsdt

得到：若只计算介于u-»u+dv分子数则为：(只对6,0积分)

m,m2

n=几(^^)3/22兀(1/2)?一而"v3dv

e.mv2

=^n(——)3/2e-2kTv3dv

习题7.15已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为：

=(Px+Py+Pz)+ax2+bx其中a,b是常数，求粒子的平均能量。

解：£二宗+。(/+挤+为一累

=小感+P：+P为+北+3一与(四个平方项，据均分律)=

?=4*(l/2)Tk-£=2kT-

习题8.1试证明：对于玻邑系统或费米系统，玻耳兹曼关系成立，即S=AlnO

解：对于理想费米系统，与分布｛“J相应的系统的微观状态数为

o=n———

。飞!(用一q)!

InQ=Z[例Ing-Inq-/一q)ln(口/一q)]

取对数，并应用斯特令近似公式，得/

另一方面，根据理想费米系统的炳为

Idaoft)x

=klnE+Z(a+网”/

,i_

巾三=_2例111(1+短”-网)

其中费米巨配分函数的对数为,

由费米分布Li』

Q.例一4

l+e-a-网=一^一a+g=In———

口「火和

得

InE=-Vco.In———

所以/g-%

S=&ZeIn———+a{In———=々2[例瓜g-al\naJ-(co,-at)In(6y,-)]

ikco{-al①i)i

两式比较可知：S=&lnQ。

习题8-2试证明，理想玻色和费米系统的靖可表示为：

S腌=-5"1n『。+4)皿1+£)]

」,

^=-^Z[Zln/v-(l-X)ln(l-/.)]

/

f

其中Js为量子态S上的平均粒子数，zS对粒子的所有量子态求和。

解：我们先讨论理想费米系统的情形。根据上题有，理想费米系统的精可表示为

SRD=[例m①厂ajn4-(助一q)In(例-q)]

〃,)In与+和na

助助

=_二/

iLv①JI可)刃g

Zf'=&~

式中s表示对粒子各能级求和。以'例表示在能量为6的量子态s上的平均粒子

数，并将对能级,求和改为对量子态S求和，注意到/S,上式可改写

为

品.L-AZ"ln，-(l-£)ln(l—£)]

i

由于计及前面的负号，上式的两项都是非负的。

nA-(l+/>(")]

对于理想玻色系统，通过类似的步骤可以证明/

由于玻色系统£20,计及前面的负号，式中的第一项可以取负值，第二项是非负的，由

于在绝对值上第二项大于第一项，靖不会取负值。

在的情形，上面两式中的土（1孑/）卜（1，工）*士（1，工）仁工）“一工

所以在工-1的情形下，有

S

工卜N

注意到S,上式也可表示为

S—…Z加/出

习题8.3求弱简并理想费米（玻色）气体的压强和嫌。

U=»NkT]+11h2、

2-2^gVIZ/unkT)

解：弱简并费米（玻色）气体的内能为

的符号适用于费米气体，下面的符号适用于玻色气体。利用理想气体压强与内能的关

2U

p=

系3V,可直接求出弱简并气体的压强为

fh2}

p=nkT1±——n

Vg、2兀mkT/

N

n=—

式中V是粒子数密度。

eu、二|出11h2

132；g(2^mkT

定容热容量为

参照热力学中场的积分表达式可将场表示为

s=件〃+s°M

311/r

S=±NklnT土Nk——n+s°M

227

于是可得g127nnkT

Nh2

i

式中的函数S。可通过下述条件确定：在V27rmkT,

、/的极限下，弱简并

气体趋于理想气体。

习题8.4试证明，在热力学极限下均匀的二维理想玻色气体不会发生玻色-爱因斯坦凝聚。

证明：令玻色气体降温到某有限温度及，气体的化学势将趋于一°。在及时，将有宏

现量级的粒子凝聚在£二°的基态，称为玻色-爱因斯坦凝聚。临界温度及由条件

°*T确定。

D⑹d£=)冗［md£

将二维自由粒子的状态密度h~代入得:

ds

丁2/可r。方

X=

二维理想玻色气体的凝聚温度及由上式确定。令kTc,上式可改写为

将被积函数展开有:

1_1=«7(1+/*+«2+...)

ex(l-e-x)

r-dx,1161

I=1+-+-+=)/一

则0ex23〃=|〃是发散的，这意味着在有限温度下二维理想玻色气

体的化学势不可能趋于零。换句话说，在有限温度下二维理想玻色气体不会发生玻色-爱因

斯坦凝聚。

习题8.7计算温度为了时，在体积丫内光子气体的平均总光子数，并据此估算：

(1)温度为1°0°K时的平衡辐射和；

(2)温度为3K的宇宙背景辐射中光子的数密度。

(、V

D(a)}dcD=^—rCO~dco

解：在体积丫内，在。到①+的圆顺率范围内光子数为九~c、

温度为7时平均光子数为

N(co,T)dco=D^dC°

eiT-1

因此温度为7时，在体积V内光子气体的平均光子数为

()一百J。浮7

■hco

X-

引入变量kT,上式可表示为

kT•oox^dx

"7"^-=2.404-\VT

。/一1"2c3力3

〃⑺=2.404

V731

或//力3

在1OOOK下，有〃a2x1()m〃/3

在3K下，有〃=5.5x1()86-3。

_87chedZ

习题8.8试据普朗克公式求平衡辐射内能密度按波长的分布：”G%一1,并据此

证明，使辐射内能密度取极大的波长-满足方程15"'+工=5

这个方程的数值解为工=4.9651。因此

,丁he

AT=

4.9651k

乙温度增加向短波方向移动。

〃(aT)d0='d①

证：平衡辐射内能按圆频率的分布为71c-1

27rc

co-

根据圆频率与波长的关系4,有

1网=等眼1

8兀hedA.

u^T}dX=

于是内能按波长的分布可得：笳e智一1

工-〃C

令丸"使取极大的波长心由下式确定:

dx5

=0

于是有：5—51=x

利用图解法可以解出x,精确的数值解给出x=4.9651。

hr

fT\2%7=———=2.898x10-3”长

所以使I为极大的人”满足4.965次右方是常量，说

明4随温度的增加向短波方向移动，称为维恩位移定律。

dU

S=C47GdT

习题8.10试根据热力学公式J7及光子气体的热容量力求光子气体的

靖。

7r2k4

u=f/尸

解：光子气体的内能为15c力

由此易得其定容热容量为0）「舒疗

s=（”+图严卜

根据热力学关于均匀系统场的积分表达式有:

积分沿任意一条积分路径进行，如果取积分路线为由（°'"）到（7"）的直线，即有:

S二竺T2dT=空占■厅

15d力3J。45c3在3

习题9.1证明在正则分布中嫡可表为S=-kXsPs】nps其中Ps=是系统处在s态的概

率。/

证：S=k（\nZ一口需）多粒子配分函数Z=工€-应=z=

OlnZ_-£kEk「BEk

两一Eke-BEk

Es

由（1）知e~^=Zpsn—pEs=InZ+lnp5;—Es=[InZ+lnps]

代至（2）得*=Es/nZ+lnps]ps=1lnZ+|XsPslnps;

于是S=k（\nZ-B需）=-k工ps\nps

习题9.2试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程，内能和炳

证：Z=工0-84;生=££*（p4+pij+p3

符号dp=n.dp>xdpiydpiz

符号dq=flidXidyidZi

Z=总[e一射匕保+Pf+P»dpdq=:[e一心洛保+P3+PZdp

/V.flJ/V.fl,J—8

VNrf.4标+标+的」fVN/2mn^N/2

=棺『期"、…对=Z=种（丁）

利用式（9.5.3）nP=.需平类似求U,S。

习题9.6被吸附在液体表面的分子形成一种二维气体，考虑分子间的相互作用，试用

正则分布证明，二维气体的物态方程为pS=NTk[l+8/S],其中：

B=J（e-<p/kT-l）2nrdr;S为液体的面积，9为两分子的互作用势。

解：二维气体

=

Z/?一6（£焉3加第+为<心，）口dpixdpiy口dxfdyf

112mn

==—（）NQ

N!九2Nje"Ey叫）dq/e-以+喷dpdqN'°

其中Q=/?—££，</火定义为=e-6SF）-1

=Q=J口（1+^j）drldr2drn=（只保留前部分）J（l+Wtj）drid%

i<；i<J

N2

=S'+JZ/ijdrMrn；其中J^dridrn=V-

i<j

N

Q=S+?5"2f/12drid=2变量代换R=+r2）/2厅=芮一行

N2f

=Q=S'+^SNTJ危dr

InQ=N\nS+ln[l+^J/i2dr]aNlnS+引/^dr据式（9.5.3）

1dlnZ1dlnQB

=P=々dr=kNT1+-

pdppdS<3.

习题9.9利用德拜频谱求固体在高温和低温下配分函数对数InZ,从而求内能和场。

解：式（3.9.4）

[ifun

e2~

In-1-一--e--一的3

Zi

德拜频谱coB=y

/-跑\

】nZ=Ine-阵。+Jin（匕司D（a））da）

对于振动/-堂\

=一隧o+JBln（；e"八3）32d3（代换口力「=%）

=-P<Po+JBi（华i）do）-Bfln（l-e~x）x2dx

(他尸

=T5=®o+?（言y

3（“幻】，5\pa（jLQ/

s计算略

高温近似,TT8,pho）T0

a）?do）=-P（po_JB

InZ=-P（po-In

?ln（£九3）眇-132d司

=-P（Po-B

33

=_3(Po—九co)+崇8

=-p(p0-3/Vln(/?hco)+N(计算略)

习题9.7仿照三维固体的地拜理论，计算长度为L的线形原子链在高温和低温下的内能和

热容量。

解：一维线形原子链to=ck,k=2m/L,n=0,±1,

dn=Ldk/27r;0(e)d3=Ldo)/2czr共有N个振动，存在最大频率30

“3。

O（3）dto=N=do）=N=30=2?rNC/L

fo

U=U°+JD3嗤s=u°+M-^-d（o令力co/kT=x=>hdo）=kTdx

ek】

L/xT2dxLT2k2fxdx

x=U+x

U=U0+2cnJh（e-1）02nhc'e-l

高温近似x<Vl;U=Uo+dx=Uo+kNT

ur2k2

低温近似U、%+fp—dx=U。+7r2kNT260-M-+/c0o=九%

20c9

习题9.8仿照三维固体的德拜理论，计算长度为L的线形原子链（一维晶体）在高温和低

温下的内能和热容量。

解：二维：

:dkdky_skdkd。

面积S内，dkxdky波矢范围内辐射场振动自由度为x

47r247r2

Skdk,S3」

横波按频率e分布为—rd©±=^ao)