2026北京十一学校高三三模数学试题及答案

1．如图，已知全集U=R，集合A={x|2x<4}，B={x|log3x≤0}，则图中阴影部分所表示的集合为()2．已知复数z(1-i)在复平面内对应点的坐标为（2，1则z=()3．已知正项数列{an}为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a2=2，则该数列的前5项和为()6．已知a>b>0且ab=10，则下列结论中不一定正确的是()7．2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长50%．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，A，B，C，D为该正方体的顶点，AA1，BB1，CC1为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面α.若平面ABC与平面α平行，且直绳索AA1的长度为2米，则点D到平面α的距离为()10．若数列{bn}、{cn}均为递增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得bm∈[cn，cn+1]，则称数列{A．存在等差数列{an}，使得{an}是{Sn}的“M数列”B．存在等比数列{an}，使得{an}是{Sn}的“M数列”C．存在等差数列{an}，使得{Sn}是{an}的“M数列”D．存在等比数列{an}，使得{Sn}是{an}的“M数列”11．平面直角坐标系中，已知抛物线C的焦点（1）若m=8，则c=；（2）当m=（写出一个可能的值）时，满足条件的VABC有两个.14．对于函数f(x)﹐若集合{xx>0,f(x)=f(-x)}中恰有k个元素，则称函数f(x)具有性质P(k)．若函EQ\*jc3\*hps26\o\al(\s\up13(x),x)EQ\*jc3\*hps26\o\al(\s\up13(a),a)（2）若n=2，则a的取值范围是.15．设函数f(x)的定义域为R，且f(x)不恒为0，函数p(x)为奇函数，函数q(x)为偶函数，下列结论：①若f(x)是奇函数或偶函数，且满足f(x)=p(x)+q(x)，则p(x)=0与q(x)=0中恰有一个成立；②若f(x)既不是奇函数也不是偶函数，则满足f(x)=p(x)+q(x)的p(x)与q(x)不存在；③若f(x)为奇函数，则满足f(x)=p(x)q(x)的p(x)与q(x)存在无数对；④若f(x)为偶函数，则满足f(x)=q(p(x))的p(x)与q(x)存在无数对．其中正确的是（填写序号）.△ABC沿BC翻折至△PBC，使得二面角P-BC-D为直二面角.(Ⅱ)求平面PBD与平面BCD所成角的余弦值.f(x)的最小正周期和单调增区间；若g从下面三个条件中选择一个作为已知条件，使得φ唯一确定，并求g(x)在上的取值范围.条件①：g(x)为偶函数；条件在上单调递减；条件（如果选择条件不符合要求，第(Ⅱ)问得0分，如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.)18本题13分）PPI（工业生产者出厂价格指数）是监测生产端价格与宏观经济的核心指标之一．其核心作用是监测工业生产领域的价格趋势、为宏观政策制定提供依据，同时也能反映工业企业的成本与利益变化、预判产业链价格传导效应．当PPI指数高于100表示环比上涨，低于100表示环比下跌，等于100表示持平.下表为2025年10个月(1月-10月）的分行业A（文教、工美、体育和娱乐用品制造业）、B（汽车制造业）、C（计算机、通信和其他电子设备制造业）的PPI（环比）:2月4月分行业A99.8分行业B99.999.799.599.799.699.599.8分行业C99.799.899.899.699.699.399.899.7(Ⅰ)从这10个月中随机抽取一个月，求该月的分行业B的PPI环比上涨的概率；(Ⅱ)从这10个月中随机抽取三个月，记随机变量X为此三个月中分行业B和C同时环比下跌的月份个数，求X的分布列和期望E(X)；(Ⅲ)从1月至4月这4个月中随机抽取两个月，记随机变量Y为此两个月中一个月环比上涨且另一个月环比下跌的分行业个数，直接写出Y的期望E(Y).19本题15分）已知椭圆的离心率为且过点A(2，0).(Ⅱ)过点（2，1）的直线l与椭圆交于MN两点，M关于x轴对称点为M1，直线AM1，AN和y轴的交点分别为P，Q，求|PQ|.20本题15分）已知函数，且x=e2是f的一个极值点.(Ⅱ)A(t,f(t))为y=f(x)的图像上一点，若y=f(x)的图像上存在异于A的一点B，使得f(x)在点A处的切线与在点B处的切线斜率相等，求t的取值范围；(Ⅲ)已知y轴上一点M(0,m)，满足过点M的任意一条直线与y=f(x)的图像至多一个公共点，求m的最小值.21本题15分）已知无穷实数列{xn}，如果无穷数列{an}满足：②对任意正整数i，ai+1是使得[x1+x2+…+xm]=ai成立的最小正整数m。其中[x]表示的是不超过x的最大整数。则数列{an}称为{xn}的“取整生成数列”，若xn=，n∈N*，直接写出{xn}的“取整生成数列”的前五项；(Ⅲ)对于无穷实数列{xn}，对任意正整数n，均有0<xn<1。若无穷数列{an}为{xn}的“取整生成数列”，（i）{xn}能否为公比不为1的等比数列？若能，求公比的取值范围；若不能，说明理由.集合集合-韦恩图，解指对不等式复数复数-几何意义，运算，共轭，模2.已知复数z(1-i)在复平面内对应点的坐标为（2，1则z=()A.2B.C.D.4故选：B数列数列-等差等比数列3.已知正项数列{an}为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a2=2，则该数列的前5项和为()A.10B.15C.30D.31【详解】因为数列{an}为正项等比数列，设公比为q(q>0)，解得q=2或q=-5（舍去故选：D双曲线双曲线-渐近线、离心率224.双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(1,)，则该双曲线的离心率为() 22aa22aa22a22a.故选：A直线和圆直线和圆2，l1、l2与圆的四个交点构成矩形， 55 55故选：C.不等式不等式-对数运算、均值、函数单调性、不等式性质6.已知a>b>0且ab=10，则下列结论中不一定正确的是()故选：B.应用题应用题——指对运算7.2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长50%．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？A.2026年B.2027年C.2028年D.2029年【详解】由题意可知，截止至2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PetaFLOPS，到2026年，其算力提升至2250×1.5PetaFLOPS，到2027年，其算力提升至2250×1.52PetaFLOPS，L，以此类推可知，从2025年起，到第n(n∈N*)年，DeepSeek的算力提升至2250×1.5nPetaFLOPS，,n所以，所以，DeepSeek的算力预计在2028年首次突破7500PetaFLOPS，故选：C.充要条件——与向量结合A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up6(-),e)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up6(-),e)=(cosα,sinα)，e4=(cosβ,sinβ)，=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(βα)222=cos(βα)=0，综上可得：e3与e4=0，则cos(βα)=0，所以βα22当k为偶数时，cosβ=cos(α+22所以e4所以e4当k为奇数时，cosβ=cos(α+22所以e4所以e4综上可得，必要性不成立，=立几立几——实际应用，点到平面距离9．某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，A，B，C，D为该正方体的顶点，AA1，BB1，CC1为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面α.若平面ABC与平面α平行，且直绳索AA1的长度为2米，则点D到平面α的距离为() 【解答】解： 【解答】解：由正方体的性质知，点B到平面ACD的距离为2，AB=BC=AC=22+22=22， 设点D到平面ABC的距离为d，所以S△ABC.d=S△ACD.2，所以23即点D到平面233（或者可知点D到平面ABC的距离为体对角线长的，即为米 又因为平面ABC与平面α平行，且直绳索AA1的长度为23米，所以点D到平面α的距离为故选：D.10.若数列{bn}、{cn}均为递增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得bm∈[cn，cn+1]，则称数列{bn}A．存在等差数列{an}，使得{an}是{Sn}的“M数列”B．存在等比数列{an}，使得{an}是{Sn}的“M数列”C．存在等差数列{an}，使得{Sn}是{an}的“M数列”D．存在等比数列{an}，使得{Sn}是{an}的“M数列”【解答】解：对于A，例如an=n>0，则{an}是等差数列，{an}，{Sn}都是严格增数列，可得，所以{an}是{Sn}的“M数列”，所以A为真命题，所以A正确；nn1)nn所以{an}是{Sn}的“M数列”，所以B为真命题，所以B正确；对于C，存在等差数列{an}，使得{Sn}是{an}的“M数列”，设等差数列{an}的公差为d，因为{an}，{Sn}都是严格增数列，对任意正整数m÷n0，则有Sm≤Sn≤ak+1；故不存在正整数m使得ak÷Sm÷ak+1，所以C为假命题；n]成立，所以{Sn}是{an}的“M数列”，所以D为真命题，所以D正确；故选：C.抛物线抛物线——焦点、标准方程11.平面直角坐标系中，已知抛物线C的焦点为F(0,-2)，则该抛物线的标准方程是.【答案】x2=-8y二项式定理二项式定理——某项，符号452345故答案：2.三角三角（1）若m=8，则c=；（2）当m=（写出一个可能的值）时，满足条件的VABC有两个.2-16×c，解得c=4.（2）因为A=,a=4,所以当bsin<a<b时，方程有两解，即4<m<8，取m=6即可满足条件函数函数-新定义、分段函数、指数运算14.对于函数f(x)﹐若集合{xx>0,f(x)=f(-x)}中恰有k个元素，则称函数f(x)具有性质P(k).若函数（2）若n=2，则a的取值范围是.[(1)x2【详解】解：根据题意，函数f(x)={|(2,|[(1)x2则集合{xx>0,f(x)=f(-x)}中恰有2个元素.故集合{xx>0,f(x)=f(-x)}中不止有两个元素，矛盾，当a>0时，根据“2阶准偶函数”的定义得f(x)的可能取值为x2或(|(,)|x，为-x=2x，故当xx，该方程无解，当x2=2x，解得x=2或x=4，故要使得集合{xx>0,f(x)=f(-x)}中恰有2个恰有两个元素，故a=0满足条件.综上，实数a的取值范围是[0,2).15．设函数f(x)的定义域为R，且f(x)不恒为0，函数p(x)为奇函数，函数q(x)为偶函数，下列结论：①若f(x)是奇函数或偶函数，且满足f(x)=p(x)+q(x)，则p(x)=0与q(x)=0中恰有一个成立；②若f(x)既不是奇函数也不是偶函数，则满足f(x)=p(x)+q(x)的p(x)与q(x)不存在；③若f(x)为奇函数，则满足f(x)=p(x)q(x)的p(x)与q(x)存在无数对；④若f(x)为偶函数，则满足f(x)=q(p(x))的p(x)与q(x)存在无数对．其中正确的是①③④（填写序号）.【解答】解：对于①,由f(x)=p(x)+q(x)，则f(-x)=p(-x)+q(-x)=-p(x)+q(x)，当f(x)为奇函数时，则f(x)+f(-x)=2q(x)=0，即q(x)=0；当f(x)为偶函数时，则f(x)-f(-x)=2p(x)=0，即p(x)=0，即满足f(x)=p(x)+q(x)的奇函数p(x)与偶函数q(x)中恰有一个为常函数，其函数值0，命题①正确；对于②,当f(x)=x2+x，p(x)=x，q(x)=x2时，f(x)不具有奇偶性，满足f(x)=p(x)+q(x)的奇函数p(x)与偶函数q(x)存在，命题②错误；对于③,f(x)为奇函数时，令奇函数，x∈N；偶函数q(x)=n+1，x∈N，则p(x)q(x)=f(x)，因为n∈N，所以这样的奇函数p(x)与偶函数q(x)存在无数对，命题③正确；对于④,f(x)为偶函数，令奇函数，x∈N，偶函数q(x)=f(x2n+1)，n∈N；因为n∈N，故这样的奇函数p(x)与偶函数q(x)存在无数对，命题④正确.故答案为：①③④.△ABC沿BC翻折至△PBC，使得二面角P—BC—D为直二面角.(Ⅱ)求平面PBD与平面BCD所成角的余弦值.解1）证明：因为面PBC丄面BCD，又CD丄BC，CD面BCD，面PBC∩面BCD=BC，则CD丄面PBC，-------------------2分又PB面PBC，则PB丄CD．---------------------1分则PB丄面PCD；-------------------2分（2）取BC中点O，BD中点M，连接OP，OM，如图所示：PB=PC，O为BC中点，则OP建立空间直角坐标系，易知平面BCD的一个法向量为n1=(0,0,1)，-----------1设平面PBD的法向量为n2=(x,y,z)，设所以平面PBD与平面BCD所成角为θ17本题13分）已知函数f(x)=sinxcosx+cos2x.f(x)的最小正周期和单调增区间；(Ⅱ)若g(x)=f(x+φ)(0<φ<EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(兀),2))，从下面三个条件中选择一个作为已知条件，使得φ唯一确定，并求g(x)在条件①：g(x)为偶函数；条件②：g(x)在[0,EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up8(兀),2)]上单调递减；条件③：g(EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up8(兀),6))=；（如果选择条件不符合要求，第(Ⅱ)问得0分，如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.)所以f(x)的最小正周期为2EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(兀),2)=兀，--------------------------------------------------3令2x+63EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(兀),2)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(兀),2)3EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(兀),6)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(兀),3)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(兀),6) 5 6选择条件①：因为g(x)为偶函数，62EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(兀),2)所以φ=EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(兀),6)-----------------------------------------------8选择条件②：T=因为g(x)在[0,]上单调递增，区间长度为半周期2因为0<φ<EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(兀),2)，所以φ=EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(兀),6)．----------------------------------------------------8选择条件③：因为g(EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(兀),6))=，所以cos2x∈,--------------------------------------------------------11即在上的取值范围为．------------------------------------------------13【点评】本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握三角恒等变换公式，正弦函数的周期性与单调性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.18.（本题13分）PPI（工业生产者出厂价格指数）是监测生产端价格与宏观经济的核心指标之一．其核心作用是监测工业生产领域的价格趋势、为宏观政策制定提供依据，同时也能反映工业企业的成本与利益变化、预判产业链价格传导效应．当PPI指数高于100表示环比上涨，低于100表示环比下跌，等于100表示持平.下表为2025年10个月(1月10月）的分行业A（文教、工美、体育和娱乐用品制造业）、B（汽车制造业）、C（计算机、通信和其他电子设备制造业）的PPI（环比）:2月4月分行业A99.8分行业B99.999.799.599.799.699.599.8分行业C99.799.899.899.699.699.399.899.7(Ⅰ)从这10个月中随机抽取一个月，求该月的分行业B的PPI环比上涨的概率；(Ⅱ)从这10个月中随机抽取三个月，记随机变量X为此三个月中分行业B和C同时环比下跌的月份个数，求X的分布列和期望E(X)；(Ⅲ)从1月至4月这4个月中随机抽取两个月，记随机变量Y为此两个月中一个月环比上涨且另一个月环比下跌的分行业个数，直接写出Y的期望E(Y).解析：(Ⅰ)由题意，10个月中只有1月和6月两个月的分行业B的PPI环比上涨因此设“该月的分行业B的PPI环比上涨”为事件A，(Ⅱ)由题意，10个月中有3、4、7、8、9、10六个月分行业B和C同时环比下跌因此X的取值集合为{0,1,2,3}故分布列为X0123P 30 12 16因此期望为(Ⅲ)设YA为分行业A是否一个月环比上涨，另一个月环比下降，即YA=1时是，YA=0时否这样由可知 (Ⅱ)过点（2，1）的直线l与椭圆交于MN两点，M关于x轴对称点为M1，直线AM1，AN和y轴的交点分解析：(Ⅰ)由题意因此椭圆方程为(Ⅱ)由题意，斜率不存在时直线和椭圆无两个公共点，设l:y=k(x-2)+1与椭圆联立{22，化简得(4k2+1)x2+8k(1-2k)x+4(1-2k)2-4=0判别式Δ=(-8k(1-2k))2-4(4k2+1)(4(1-2k)2-4)>0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，M1(x1,-y1)[8k(1-2k)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up13(4k),2k)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up13(1),4)2-16k2直线AM1:y=(x-2)，过点P(0,)2y1-2y2y1y2x1-2x2-22y1-2y2y1y2x2x216k2-16k-2(16k2-8k)+4(4k2+1)=2|2k(16k2-16k)+(1-4k)(1616k2-16k-2(16k2-8k)+4(4k2+1)