计量经济学第4章随机解释变量问题

计量经济学

—理论·方法·EViews应用

郭存芝杜延军李春吉编著电子教案

第四章随机解释变量问题◆学习目的了解随机解释变量问题的概念、产生的原因及造成的后果、克服的方法。◆基本要求1)认识到随机解释变量问题是计量经济学建模经常会遇到的问题;2)了解随机解释变量问题的概念、产生的原因及造成的后果;3)掌握存在随机解释变量问题时的计量经济学建模方法及应用。◆随机解释变量问题及其产生原因◆随机解释变量的影响◆随机解释变量问题的修正第四章随机解释变量问题第一节随机解释变量问题及其产生原因—、随机解释变量问题在很多情况下，我们不能假定解释变量全部是确定性变量，而实际上它们有的是随机变量，我们把违背这一基本假设的问题称为随机解释变量问题。对于模型（4-1）其基本假设之一是解释变量X1，X2，…，Xk都是确定性变量。如果存在一个或多个解释变量为随机变量，则称原模型存在随机解释变量问题。例:为讨论方便，假设(4-1)式中X1为随机解释变量。对于随机解释变量X1，由于它和随机扰动项μi的关系不同，会使模型参数估计量的特性发生不同变化，所以又可分三种不同情况：析:1．随机解释变量与随机干扰项独立2．随机解释变量与随机干扰项同期无关,但异期相关3．随机解释变量与随机干扰项同期相关(4-3)(4-4)即

(4-5)即即(4-2)二、随机解释变量问题产生的原因随机解释变量问题主要表现但是，并不是所有包含滞后被解释变量的模型都带来“随机解释变量问题”——于用滞后被解释变量作为模型的解释变量的情况。耐用品存量调整模型。著名的“耐用品存量调整模型”可表示为(4-6)例4-1:该模型表示，耐用品的存量由前一个时期的存量和当期收入共同决定。这是一个滞后被解释变量作为解释变量的模型。但是，如果模型不只与相关，与不相关，属于随机解释变量与随机干扰项同期无关，但异期相关的情况。存在随机干扰项的序列相关性，那么随机解释变量例4-2:合理预期的消费函数模型。合理预期理论认为消费是由对收入的预期所决定的：

(4-7)在预期收入与实际收入之间存在假设：(4-8)的情况下，容易推出合理预期消费函数模型：

（4-9）在该模型中，作为解释变量的不仅是一个随机解释变量，而且与模型的高度相关(因为与高度相关)，属于随机解释变量随机干扰项与随机干扰项同期相关的情况。第二节随机解释变量的影响

计量经济学模型一旦出现随机解释变量，且与随机干扰项相关的话，如果仍采用普通最小二乘法估计模型参数，则不同性质的随机解释变量问题会产生不同的后果。以一元线性回归模型为例进行说明。

随机解释变量与随机误差项相关图

（a）正相关

（b）负相关

如果随机解释变量与随机干扰项正相关，则在抽取样本时，容易出现X值较小的点总在总体回归线下方，而X值较大的点在总体回归线上方的情况。因此，拟合的样本回归线可能低估截距项，而高估斜率项。

如果负相关，则往往导致拟合的样本回归线高估截距项，而低估斜率项。总体回归线样本回归线对一元线性回归模型(4-10)在第二章曾得到如下最小二乘估计量：(4-11)随机解释变量X与随机干扰项的关系不同，参数OLS估计量的统计性质也会不同。分三种不同情况：

1．如果X与相互独立，得到的参数OLS估计量仍然是无偏一致估计量。(4-12)而,所以

(4-13)同理，（4-14）所以参数OLS估计量,仍然是无偏一致估计量分三种不同情况：（4-15）2．如果X与同期不相关而异期相关，得到的参数OLS估计量有偏，但却尽管与同期无关，但对任一，的与相关，

因此，于是即参数OLS估计量是有偏的。但是由（4-14）可看出是的一致估计。是一致的。由(4-12)式易知，

分母中一定包含不同期的X

,由异期相关性知

3．如果与同期相关，得到的参数估计量有偏且非一致。这时Cov(Xt,μt)=E(xtμt)≠0,由（4-12）、（4-14）容易看出参数OLS估计量有偏且非一致。第三节随机解释变量问题的修正工具变量的选取工具变量的应用工具变量法估计量的性质模型中出现随机解释变量并且与随机干扰项相关时，普通最小二乘估计量是有偏的。如果随机解释变量与随机干扰项异期相关，则可以通过增大样本容量的办法来得到一致的估计量；但如果是同期相关，即使增大样本容量也无济于事。这时，最常用的方法是工具变量(instrumentvariables)法。一、工具变量的选取

——在模型估计过程中被作为工具使用的变量，

用以替代与随机干扰项相关的随机解释变量。被选择为工具变量的变量必须满足以下条件：1.工具变量Z与所替代的随机解释变量X高度相关，即（4-16）2.工具变量Z与随机干扰项不相关，即（4-17）3.工具变量Z与模型中其他解释变量不相关，以避免出现多重共线性。

工具变量二、工具变量的应用（以一元回归模型为例说明）

记一元线性回归模型如下：(4-18)用普通最小二乘法估计模型(4-18)式得正规方程组：(4-19)按照工具变量的选择条件选择z为X的工具变量得正规方程组：（4-20）（4-21）于是于是采用工具变量法得到的正规方程组为二、工具变量的应用（以多元线性回归模型为例说明）

其矩阵形式为采用参数估计量得到的正规方程组为（4-22）其中

通常，对于没有选择另外的变量作为工具变量的解释变量，可以认为用自身作为工具变量。于是Z称为工具变量矩阵。三、工具变量法估计量的性质1．工具变量法估计量是有偏估计量2．工具变量法估计量是一致估计量1．工具变量法估计量是有偏估计量用工具变量法所求的参数估计量与总体参数真值之间的关系为（4-23）于是（4-24）因Z和X都是随机变量，在一般情况下，故 （4-25）

上式说明工具变量法估计量一般不具有无偏性。这说明工具变量法估计量具一致性。2．工具变量法估计量是一致估计量如果工具变量Z选取恰当，则由（4-16）、（4-17）有

因此，对式（4-23），两边取概率极限得（4-26）特别指出：第一，工具变量法并没有改变原模型，只是在原模型的参数估计过程中用

工具变量“替代”随机解释变量。第一步，用OLS法进行X关于工具变量Z的回归（4-27）第二步，以第一步得到的为解释变量，进行如下OLS回归；（4-28）或者说可等价地分解成下面的两步OLS回归：特别指出：如果一个随机解释变量可以找到多个相互独立的工具变量，人们希望充分利用这些工具变量的信息，这就形成了广义矩方法(GMM)。

在GMM中，如何求解成为它的核心问题。

GMM是近20年计量经济学理论方