第14讲勾股定理的逆定理(原卷版+解析)

第14讲勾股定理的逆定理1．掌握勾股定理的逆定理；2．学会区分勾股定理与其逆定理之间的区别和联系；3、掌握常见的勾股数；知识点：勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形．勾股定理与其逆定理的区别与联系：区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个三角形三边的数量关系，即；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得出这个三角形是直角三角形，是识别一个三角形是直角三角形的重要依据。联系：（1）两者都与三角形三边关系有关；（2）两者都与直角三角形有关。2.勾股数满足关系的三个正整数称为勾股数。常见的勾股数有：（1）3，4,5；（2）6,8,10；（3）9，12,15；（4）5,12,13；（5）8,15,17；（6）7,24,25；考点一：判断三边能否构成直角三角形例1．（2023春·黑龙江大庆·七年级统考阶段练习）满足下列条件的，不是直角三角形的为（）A． B．C． D．【变式训练】1．（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定2．（2023春·广东惠州·八年级阶段练习）若a、b、c是的三边长，且满足关系式，则的形状为__________．3．（2023春·河北沧州·八年级校考期中）如图，在四边形中，，，，，，连接．

(1)判定的形状，并说明理由；(2)求四边形的面积．考点二：图形上与已知两点构成直角三角形的点例2．（2023秋·八年级单元测试）在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式训练】1．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在方格中作以为一边的，要求点也在格点上，这样的能做出（

）A．个 B．个 C．个 D．个2．（2023春·广东惠州·八年级惠州市河南岸中学校考阶段练习）已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为________．3．（2022秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．(1)求BC边的长；(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值；(3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值．考点三：利用勾股定理的逆定理求解例3．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，在中，，，，将三角形纸片沿折叠，使点C落在边上的点E处，则的周长为（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【变式训练】1．（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，在中，，，，，则的值为（

）

A． B． C． D．42．（2023春·全国·八年级期末）如图，在中，是内一点，连接、，且．已知，，，．则图中阴影部分的面积为________．

3．（2023春·黑龙江绥化·八年级统考期中）如图，四边形中，，，，，且，求四边形的面积．

考点四：勾股定理的逆定理的实际应用例4．（2023春·福建莆田·八年级统考期中）如图，四边形ABCD是学校的一块空地，经数学兴趣小组的测量可知，米，米，米，米．为了提高校园的绿化面积，现学校决定在空地内铺草坪，若铺设每平方米草坪需要30元，则将这块空地全部铺满一层草坪的费用是（

）

A．1080元 B．1530元 C．1800元 D．2160元【变式训练】1．（2023春·八年级课时练习）一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西某一角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即海里），则另一艘轮船航行的方向是北偏西（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·八年级假期作业）如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，则这块四边形空地的面积为_________．

3．（2023春·广东汕头·八年级校考期中）如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路．测得千米，千米，千米．

(1)问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．(2)求原来的路线的长．考点五：勾股定理逆定理的拓展应用例5．（2023春·福建南平·八年级统考期中）在中，的对边分别记为下列结论中不正确的是（

）A．如果那么是直角三角形B．如果，那么是直角三角形C．如果，那么是直角三角形D．如果，那么是直角三角形【变式训练】1．（2020春·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）在△ABC中，命题：①若∠B＝∠C－∠A,则△ABC是直角三角形．②若a2＝(b＋c)(b－c),则△ABC是直角三角形．③若∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则△ABC是直角三角形．④若a∶b∶c＝5∶4∶3．则△ABC是直角三角形．其中假命题个数为(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2023春·八年级课时练习）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，分别以Rt△ABC三边为直径作半圆，则阴影部分面积为_______.3．（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读下列内容，并解决问题．一道习题引发的思考小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究：【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b=m²-1，c=m²+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗?如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗?【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2=c²，那么a，b，c称为一组勾股数．关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》．【问题解答】（1）根据柏拉图的研究，当m=6时，请直接写出一组勾股数；（2）若m表示大于1的整数，试证明（m²-1，2m，m²+1）是一组勾股数；（3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数．1．（2022·江苏南京·统考中考真题）直三棱柱的表面展开图如图所示，，，，四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点距离最大的是（

）

A．点 B．点 C．点 D．点2．（2023·广东阳江·统考二模）三角形的三边长，满足，则此三角形是（

）A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形3．（2021·陕西西安·统考二模）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B都在格点上，则下列结论错误的是（

）A．的面积为10 B．C． D．点A到直线的距离是24．（2022·海南省直辖县级单位·统考二模）如图，是的中线，若，则的长为（

）A．1.5 B．2 C．2.5 D．35．（2022·山东临沂·统考二模）如图，在中，，分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AB于点O，交AC于D，连接，则的长是（

）A． B． C． D．6．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在网格的格点上，CD⊥AB于点D，则CD的长为（

）A．2 B． C． D．7．（2021·广西玉林·统考中考真题）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点，处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿_____方向航行．8．（2021·浙江杭州·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，以点为端点的四条射线，，，分别过点，点，点，点，则______（填“”“”“”中的一个）．9．（2022·江苏宿迁·统考一模）如图，每个小正方形的边长都为1，A、B、C是小正方形的顶点，则______°．10．（2022·甘肃定西·统考模拟预测）若的三边长a，b，c满足，则是____________．11．（2022·河北唐山·统考三模）已知：△ABC的边长，，，且．(1)判断三角形的形状，并说明理由；(2)若，求的三边长．12．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，中，，长为10，点是上的一点，．(1)求证：；(2)求线段的长．13．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第十七中学校校考三模）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段，线段的端点均在小正方形的顶点上．

(1)在图中画以为斜边的等腰直角，顶点E在小正方形的顶点上：(2)在（1）的条件下，在图中以为边画直角，点F在小正方形的顶点上，使，且的面积为6，连接，直接写出的长．1．（2023春·山东济南·七年级校考阶段练习）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（

）A．2，3，4 B．2，3，5 C．2，2，4 D．2，2，52．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）在中，已知，，，则（

）A． B． C． D．3．（2023春·广东珠海·八年级珠海市前山中学校考阶段练习）已知：在中，，则的面积是（

）A．4 B．5 C．6 D．74．（2023春·甘肃平凉·八年级校考期中）在中，，，的对边分别为，，，且，则（

）A．为直角 B．为直角 C．为直角 D．不是直角三角形5．（2023·安徽滁州·校联考二模）在如图所示的正方形网格中，和的顶点都在网格线的交点上，则与的和为（

）A．30° B．40° C．45° D．60°6．（2022秋·七年级单元测试）两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30海里，两个小时后，两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向为（

）A．东偏南 B．北偏西 C．东偏南或西偏北 D．无法确定7．（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）如图已知中，，，边上的中线，则的面积为（

）．A．30 B．130 C．60 D．1208．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图所示，在中，，且周长为36m，点P从点A开始沿边向B点以每秒1m的速度移动；点Q从点B沿边向点C以每秒2m的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，点B到的距离为（

）m．A．m B．6m C．3m D．m9．（2023春·安徽黄山·八年级统考期中）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，A，B，C三点是小正方形的顶点，则的度数为________．

10．（2023春·广东广州·八年级校考期中）在中，，则的面积等于___________．11．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿______方向航行．

12．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则的度数等于___________．

13．（2023春·陕西西安·七年级高新一中校考阶段练习）有四个三角形，分别满足以下条件：①；②三个角之比为3：4：5；③三边长分别为、、；④三边之比为5：12：13．其中是直角三角形有______个．14．（2022春·八年级单元测试）已知：如图，四边形，，，，，且．则四边形的面积为________．

15．（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图所示的一块地，已知，求阴影部分的面积．

16．（2023春·广东云浮·八年级校考期中）如图，在中，，长为5，点D是上的一点，，．(1)求证：为直角三角形；(2)求出线段的长．17．（2022秋·广东茂名·八年级校考期中）如图，已知等腰三角形的底边，D是腰长延长线上一点，连接，且．

(1)判断的形状，并说明理由；(2)求的周长．18．（2022春·八年级单元测试）如图，地到，两地分别有笔直的道路，相连，地与地之间有一条河流通过，，，三地的距离如图所示．

(1)如果地在地的正东方向，那么地在地的什么方向？请说明理由．(2)现计划把河水从河道段的某个点引到地，求，两点间的最短距离．19．（2023春·福建龙岩·八年级校联考阶段练习）如图，在中，边上的垂直平分线与分别交于点E和D，且．

(1)求证：；(2)若，求的长．20．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如：根据以上材料，解答下列问题：(1)仿照材料的方法，分解因式：；(2)求多项式的最小值；(3)已知，，是的三边长，且满足，请判断的形状．

第14讲勾股定理的逆定理1．掌握勾股定理的逆定理；2．学会区分勾股定理与其逆定理之间的区别和联系；3、掌握常见的勾股数；知识点：勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形．勾股定理与其逆定理的区别与联系：区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个三角形三边的数量关系，即；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得出这个三角形是直角三角形，是识别一个三角形是直角三角形的重要依据。联系：（1）两者都与三角形三边关系有关；（2）两者都与直角三角形有关。2.勾股数满足关系的三个正整数称为勾股数。常见的勾股数有：（1）3，4,5；（2）6,8,10；（3）9，12,15；（4）5,12,13；（5）8,15,17；（6）7,24,25；考点一：判断三边能否构成直角三角形例1．（2023春·黑龙江大庆·七年级统考阶段练习）满足下列条件的，不是直角三角形的为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据勾股定理的逆定理以及角的度数对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A、，设，，，，不是直角三角形，符合题意；B、，则设，，，，，，是直角三角形，不符合题意；C、由得，是直角三角形，不符合题意；D、，且，，是直角三角形，不符合题意；故选：A．【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定方法，灵活运用直角三角形的定义及勾股定理的逆定理是解决问题的关键．【变式训练】1．（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定【答案】B【分析】将原式整理为，即可判断.【详解】解：∵，∴，∴，∴这个三角形是直角三角形；故选：B.【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和平方差公式，熟练掌握勾股定理逆定理、得出是解题的关键.2．（2023春·广东惠州·八年级阶段练习）若a、b、c是的三边长，且满足关系式，则的形状为__________．【答案】直角三角形【分析】根据题意及三角形的边长为正数，得出，再移项即可得出答案．【详解】，a、b、c是的三边长，的形状为直角三角形．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．3．（2023春·河北沧州·八年级校考期中）如图，在四边形中，，，，，，连接．

(1)判定的形状，并说明理由；(2)求四边形的面积．【答案】(1)为等腰直角三角形，理由见解析(2)【分析】（1）根据勾股定理求得，再根据勾股定理的逆定理求解即可；（2）四边形的面积，再计算即可．【详解】（1）解：在中，，则，，∵，即∴为等腰直角三角形，；（2）解：四边形的面积．【点睛】此题考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是灵活勾股定理的逆定理进行证明．考点二：图形上与已知两点构成直角三角形的点例2．（2023秋·八年级单元测试）在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可．【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个，故选D．【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键．【变式训练】1．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在方格中作以为一边的，要求点也在格点上，这样的能做出（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】D【分析】可以分A、B、C分别是直角顶点三种情况进行讨论即可解决．【详解】解：当AB是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D，E，H四个；当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点；当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G．因而共有6个满足条件的顶点．故选D．【点睛】正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键．2．（2023春·广东惠州·八年级惠州市河南岸中学校考阶段练习）已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为________．【答案】（0，0），（，0），（﹣2，0）【分析】因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC两种情况进行分析即可．【详解】解：∵点P、A、B在x轴上，∴P、A、B三点不能构成三角形．设点P的坐标为（m，0）．当△PAC为直角三角形时，①∠APC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；②∠ACP＝90°时，如图，∵∠ACP＝90°∴AC2＋PC2＝AP2，，解得，m＝，∴点P的坐标为（，0）；当△PBC为直角三角形时，①∠BPC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；②∠BCP＝90°时，∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，∴PO＝BO＝2，∴点P的坐标为（﹣2，0）．综上所述点P的坐标为（0，0），（，0），（﹣2，0）．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗漏的进行分类．3．（2022秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．(1)求BC边的长；(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值；(3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值．【答案】(1)3cm(2)t=1或(3)t=或2或【分析】（1）根据题意，在△ABC中，利用勾股定理求解即可；（2）由题意可知，分两种情况：①；②，代值求解即可；（3）由题意可知，分三种情况：①；②；③，分别结算求解即可．【详解】（1）解：∵在△ABC中，，，，∴BC=；（2）解：由题意可知，分两种情况：①；②，设BP=3tcm，∠B≠90°：①当∠APB=90°时，易知点P与点C重合，∴BP=BC，即3t=3，∴；②当∠PAB=90°时，如下图所示：∴CP=BP－BC=（3t－3）cm，∵AC2＋CP2=AP2=BP2－AB2，即42＋（3t－3）2=（3t）2－52，解得：t=，综上所述：当为直角三角形时，t=1或；（3）解：由题意可知，分三种情况：①；②；③，①当时，如图所示：；②当时，如图所示：根据等腰三角形“三线合一”可知，是边上的中线，，；③当时，如图所示：设，则，在中，，，，，则由勾股定理可得，即，解得，，，综上所述：t=或2或．【点睛】本题考查三角形中的动点问题，涉及到勾股定理求线段长、三角形为直角三角形的讨论和三角形为等腰三角形的讨论等知识，熟练掌握相关知识点及分类情况是解决问题的关键．考点三：利用勾股定理的逆定理求解例3．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，在中，，，，将三角形纸片沿折叠，使点C落在边上的点E处，则的周长为（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】利用勾股定理的逆定理判断出，利用翻折不变性可得，推出，即可解决问题．【详解】解：在中，∵，，，∴，∴是直角三角形，且，由翻折的性质可知：，，∴，∴的周长，故选：D．【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式训练】1．（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，在中，，，，，则的值为（

）

A． B． C． D．4【答案】B【分析】先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算，即可解答．【详解】解：，，，，，，是直角三角形，，，，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．2．（2023春·全国·八年级期末）如图，在中，是内一点，连接、，且．已知，，，．则图中阴影部分的面积为________．

【答案】【分析】先根据勾股定理求出，然后根据勾股定理的逆定理，得是直角三角形，根据阴影部分的面积等于，即可．【详解】∵，∴，∵，，∴，∵，，∴，，，∴，∴是直角三角形，设阴影部分的面积，∴，∴，∴设阴影部分的面积为：．故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用和勾股定理的逆定理．3．（2023春·黑龙江绥化·八年级统考期中）如图，四边形中，，，，，且，求四边形的面积．

【答案】【分析】如图所示，连接，先利用勾股定理求出，进而利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即，由此根据四边形的面积进行求解即可．【详解】解：如图所示，连接，

∵，，，∴根据勾股定理得又∵，，∴，，∴∴是直角三角形，即．∴四边形的面积．【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．考点四：勾股定理的逆定理的实际应用例4．（2023春·福建莆田·八年级统考期中）如图，四边形ABCD是学校的一块空地，经数学兴趣小组的测量可知，米，米，米，米．为了提高校园的绿化面积，现学校决定在空地内铺草坪，若铺设每平方米草坪需要30元，则将这块空地全部铺满一层草坪的费用是（

）

A．1080元 B．1530元 C．1800元 D．2160元【答案】A【分析】连接，先证明是直角三角形，根据求出四边形的面积即可解决问题．【详解】解：连接，

∵，∴在中，，在中，，∵，∴，∴，∴，∵（元），∴这块地全部种草的费用是1080元．故选：A．【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是证明是直角三角形，属于中考常考题型．【变式训练】1．（2023春·八年级课时练习）一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西某一角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即海里），则另一艘轮船航行的方向是北偏西（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可得OA=24海里，OB=18海里，然后利用勾股定理的逆定理求出∠AOB=90°，然后进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：OA=16×1.5=24（海里），OB=12×1.5=18（海里），∵OA2+OB2=900，AB2=900，∴OA2+OB2=AB2，∴∠AOB=90°，∴90°-40°=50°，∴另一艘轮船的航行的方向是：北偏西50°，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，方向角，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．2．（2023·全国·八年级假期作业）如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，则这块四边形空地的面积为_________．

【答案】【分析】连接，勾股定理逆定理得到为直角三角形，利用四边形的面积等于两个直角三角形的面积之和，进行求解即可．【详解】解：连接，

在中，，，，∴，∵，，∴，∴为直角三角形，∴四边形空地的面积；故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理逆定理的应用．解题的关键是利用勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形．3．（2023春·广东汕头·八年级校考期中）如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路．测得千米，千米，千米．

(1)问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．(2)求原来的路线的长．【答案】(1)是，见解析(2)千米【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答；（2）设，则AH=x-3，在中，利用勾股定理求解即可．【详解】（1）∵，∴∴∴是从村庄C到河边的最近路（2），则在中∴解得：∴原来的路线的长为千米【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，点到直线的最短距离，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解题的关键．考点五：勾股定理逆定理的拓展应用例5．（2023春·福建南平·八年级统考期中）在中，的对边分别记为下列结论中不正确的是（

）A．如果那么是直角三角形B．如果，那么是直角三角形C．如果，那么是直角三角形D．如果，那么是直角三角形【答案】C【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．【详解】选项A中如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC是直角三角形，选项正确；选项B中如果a2＝b2+c2，那么△ABC是直角三角形，选项正确；选项C中如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝45°，∠B=60°，∠C=75°，没有直角，不是直角三角形，故选项C错误，选项D中如果a：b：c＝3：4：5，满足a2+b2＝c2，那么△ABC是直角三角形，选项正确；故选：C【点睛】考查直角三角形的判定，学生熟练掌握勾股定理逆定理是本题解题的关键，并结合直角三角形的定义解出此题．【变式训练】1．（2020春·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）在△ABC中，命题：①若∠B＝∠C－∠A,则△ABC是直角三角形．②若a2＝(b＋c)(b－c),则△ABC是直角三角形．③若∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则△ABC是直角三角形．④若a∶b∶c＝5∶4∶3．则△ABC是直角三角形．其中假命题个数为(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】有一个角是直角的三角形是直角三角形，两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形．【详解】解：①由∠B＝∠C－∠A，∴∠B+∠A＝∠C，又因为三角形内角和为180°，∴∠C=90°，所以△ABC是直角三角形，故此为真命题．②若a2=（b+c）（b-c），则可知a2=b2-c2所以a2+c2=b2，所以△ABC是直角三角形，故此为真命题．C、若∠A：∠B：∠C=3：4：5，则设∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°，根据三角形内角和可得3x°+4x°+5x°=180°，解得x=15°，所以最大的∠C为75°，不是直角三角形，故此为假命题．D、若a：b：c=5：4：3，设a=5k，b=4k，c=3k，∵，则△ABC是直角三角形，故此为真命题．∴假命题共1个，故选：A．【点睛】本题考查命题，直角三角形的概念，三角形内角和定理和勾股定理逆定理的应用，难度不大，掌握定理内容正确进行判断是本题的解题关键．2．（2023春·八年级课时练习）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，分别以Rt△ABC三边为直径作半圆，则阴影部分面积为_______.【答案】6【分析】先利用勾股定理列式求出BC，再根据阴影部分面积等于以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上直角三角形ABC的面积减去以AB为直径的半圆的面积，列式计算即可得解．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2，∵AB=5，AC=4，∴，S阴影=直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC－直径为AB的半圆的面积======6.【点睛】本题考查了勾股定理，半圆的面积，熟记定理并观察图形表示出阴影部分的面积是解题的关键．3．（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读下列内容，并解决问题．一道习题引发的思考小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究：【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b=m²-1，c=m²+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗?如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗?【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2=c²，那么a，b，c称为一组勾股数．关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》．【问题解答】（1）根据柏拉图的研究，当m=6时，请直接写出一组勾股数；（2）若m表示大于1的整数，试证明（m²-1，2m，m²+1）是一组勾股数；（3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数．【答案】（1）；（2）见解析；（3）答案不唯一，例如，等【分析】（1）把直接代入，，即可求解；（2）利用勾股定理的逆定理即可证明结论；（3）根据勾股数解答即可．【详解】（1）把代入，，得：，，，这组勾股数为；（2）表示大于1的整数，，，都是正整数，且是最大边，，是一组勾股数；（3），等，它们是勾股数，但柏拉图给出的勾股数公式不能够造出．【点睛】本题考查了勾股数以及勾股定理的逆定理，弄清题意，理解勾股数的意义是解题的关键．1．（2022·江苏南京·统考中考真题）直三棱柱的表面展开图如图所示，，，，四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点距离最大的是（

）

A．点 B．点 C．点 D．点【答案】B【分析】根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，折叠成直三棱柱后，运用勾股定理计算比较大小即可．【详解】∵，，，∴，∴是直角三角形，∵四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱，∴直棱柱的高，∴，，，，∵，∴选B．【点睛】本题考查了几何体的展开与折叠，勾股定理及其逆定理，熟练掌握展开图与折叠的意义是解题的关键．2．（2023·广东阳江·统考二模）三角形的三边长，满足，则此三角形是（

）A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形【答案】C【分析】先对等式进行整理，再根据勾股定理逆定理，即可求解．【详解】∵，∴，∴，∴此三角形是直角三角形，故选：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，熟练掌握若三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形是解题的关键．3．（2021·陕西西安·统考二模）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B都在格点上，则下列结论错误的是（

）A．的面积为10 B．C． D．点A到直线的距离是2【答案】A【分析】求出AC，AB，根据三角形的面积公式可判断A；根据勾股定理的逆定理可判断B；根据勾股定理可判断C；根据三角形的面积结合点到直线距离的意义可判断D．【详解】解：B、∵，，，∴，∴∠BAC＝90°，本选项结论正确，不符合题意；A、∵∠BAC＝90°，，，∴，本选项结论错误，符合题意；C、由勾股定理得：，本选项结论正确，不符合题意；D、设点A到直线BC的距离为h，∵，∴，∴h＝2，即点A到直线BC的距离是2，本选项结论正确，不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查的是勾股定理及其逆定理，勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．4．（2022·海南省直辖县级单位·统考二模）如图，是的中线，若，则的长为（

）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3【答案】C【分析】首先证明∠BAC＝90°，利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．【详解】解：∵，∴BC2＝25＝AC2+AB2，∴△ABC是直角三角形，BC为斜边，∴∠BAC＝90°，∵是的中线，∴AD＝BC＝2.5，故选：C【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，直角三角形斜边的中线的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．5．（2022·山东临沂·统考二模）如图，在中，，分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AB于点O，交AC于D，连接，则的长是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可知，设，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解．【详解】解：根据作图可知是的垂直平分线，则，设，，，，，是，，在中，，，解得，即．故选A．【点睛】本题考查了作垂直平分线，勾股定理以及勾股定理的逆定理，理解题意并掌握勾股定理是解题的关键．6．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在网格的格点上，CD⊥AB于点D，则CD的长为（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】利用勾股定理求出AB、AC、BC的长的平方，再根据勾股定理逆定理判断△ABC是直角三角形，求出三角形面积，根据同一个三角形面积相等求出CD即可．【详解】解：∵AB2=32+42=9+16=25；AC2=22+42=4+16=20；BC2=12+22=1+4=5；∴AB2=BC2+AC2，∴∠BCA=90°，∵S△BAC=BC×AC=，∴，解的CD=2．故选：A．【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是判断△ABC是直角三角形．7．（2021·广西玉林·统考中考真题）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点，处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿_____方向航行．【答案】北偏东50°（或东偏北40°）【分析】由题意易得海里，PB=16海里，，则有，所以∠APB=90°，进而可得，然后问题可求解．【详解】解：由题意得：海里，PB=1×16=16海里，，海里，∴，∴∠APB=90°，∴，∴乙船沿北偏东50°（或东偏北40°）方向航行；故答案为北偏东50°（或东偏北40°）．【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键．8．（2021·浙江杭州·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，以点为端点的四条射线，，，分别过点，点，点，点，则______（填“”“”“”中的一个）．【答案】=【分析】连接DE，判断△ABC和△ADE是等腰直角三角形，即可得到．【详解】解：连接DE，如图∵点，点，点，点，点，由勾股定理与网格问题，则，，∴△ABC是等腰直角三角形；∵，，∴，∴，∴△ADE是等腰直角三角形；∴；故答案为：=．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握掌握所学的知识，正确判断△ABC和△ADE是等腰直角三角形．9．（2022·江苏宿迁·统考一模）如图，每个小正方形的边长都为1，A、B、C是小正方形的顶点，则______°．【答案】【分析】根据勾股定理得到，，的长度，再判断是等腰直角三角形，进而得出结论．【详解】解：如图，连接，由题意，，，，∴，，∴是等腰直角三角形，且，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，判断出是等腰直角三角形是解决本题的关键．10．（2022·甘肃定西·统考模拟预测）若的三边长a，b，c满足，则是____________．【答案】等腰直角三角形【分析】根据平方的结果是非负数、绝对值的结果为非负数，再根据勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定进行判定即可．【详解】解：∵又∵、∴、∴、∴是等腰直角三角形故答案为：等腰直角三角形．【点睛】本题考查了非负数的性质、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定等知识点，解答此题的关键是得出、．11．（2022·河北唐山·统考三模）已知：△ABC的边长，，，且．(1)判断三角形的形状，并说明理由；(2)若，求的三边长．【答案】(1)是直角三角形(2)，，【分析】（1）利用勾股定理逆定理，即可求解；（2）根据，可得∠A=30°，从而得到，继而得到，即可求解．【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下∶∵，，，，∴即是直角三角形；（2）解∶∵，，∴∠A=30°，∴，即，∴，解得∶或（不合题意，舍去）当时，，，．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，直角三角形的性质是解题的关键．12．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，中，，长为10，点是上的一点，．(1)求证：；(2)求线段的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证得△BCD为直角三角形即可；（2）设，则，在Rt△ABD中，根据勾股定理建立方程，解出方程即可．（1）证明：∵，，，∴，∴△BCD为直角三角形，且∠BDC=90°，∴；（2）设，则，∵，∴，∵，∴，解得：，∴．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．13．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第十七中学校校考三模）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段，线段的端点均在小正方形的顶点上．

(1)在图中画以为斜边的等腰直角，顶点E在小正方形的顶点上：(2)在（1）的条件下，在图中以为边画直角，点F在小正方形的顶点上，使，且的面积为6，连接，直接写出的长．【答案】(1)见解析(2)的长为或．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可画出；（2）作，且边，才能满足条件；利用勾股定理求的长．【详解】（1）解：等腰直角或如图所示，；（2）解：如图所示：，，，∴，，∴，且，的面积为，∴符合题意，∴，，∴的长为或．【点睛】本题是三角形的作图题，考查了等腰直角三角形的性质和判定及勾股定理及其逆定理的运用，并按条件作出三角形；本题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理．1．（2023春·山东济南·七年级校考阶段练习）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（

）A．2，3，4 B．2，3，5 C．2，2，4 D．2，2，5【答案】A【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得A中，，能够组成三角形；符合题意B中，，不能组成三角形；不符合题意C中，，不能组成三角形；不符合题意D中，，不能组成三角形．不符合题意故选：A．【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．2．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）在中，已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而解答即可．【详解】解：在中，已知，，，∵，∴是直角三角形，其中，故选：A【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形进行解答．3．（2023春·广东珠海·八年级珠海市前山中学校考阶段练习）已知：在中，，则的面积是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】先判断是直角三角形，再根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：∵，∴，∴是直角三角形，∴的面积是：．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果，那么这个三角形是直角三角形．4．（2023春·甘肃平凉·八年级校考期中）在中，，，的对边分别为，，，且，则（

）A．为直角 B．为直角 C．为直角 D．不是直角三角形【答案】A【分析】根据平方差公式，将括号展开得到，则，根据勾股定理可得a为斜边，则为直角．【详解】解：∵，∴，整理得：，∴a为斜边，则为直角，故选：A．【点睛】本题主要考查了平方差公式和勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理：若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形．5．（2023·安徽滁州·校联考二模）在如图所示的正方形网格中，和的顶点都在网格线的交点上，则与的和为（

）A．30° B．40° C．45° D．60°【答案】C【分析】连，可得是等腰直角三角形，过点C作，则有，即，，解题即可．【详解】连，过点C作，则，∴，，由网格可知：，，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．6．（2022秋·七年级单元测试）两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30海里，两个小时后，两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向为（

）A．东偏南 B．北偏西 C．东偏南或西偏北 D．无法确定【答案】C【分析】根据题意画出图形，然后在直角三角形中利用勾股定理逆定理解答．【详解】解：根据题意，海里，海里，又因为海里，，所以，根据勾股定理逆定理，为直角三角形．同理，为直角三角形．所以，又因为，所以，，根据对顶角相等，，则乙船的航向为东偏南或西偏北．故选：C．【点睛】此题在作图时要注意有两种情况，不要漏解，同时考查了勾股定理的逆定理的应用，方位角的含义．7．（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）如图已知中，，，边上的中线，则的面积为（

）．A．30 B．130 C．60 D．120【答案】C【分析】根据中线，得到，再根据勾股定理的逆定理，得到是直角三角形，进而得到，再根据三角形中线得到，即可求出的面积．【详解】解：是边上的中线，为中点，，，，，，，，，，为中点，，，故选C．【点睛】本题考查了三角形的中线，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．8．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图所示，在中，，且周长为36m，点P从点A开始沿边向B点以每秒1m的速度移动；点Q从点B沿边向点C以每秒2m的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，点B到的距离为（

）m．A．m B．6m C．3m D．m【答案】A【分析】先求出的长，利用勾股定理逆定理得到，根据题意，求出的长，勾股定理求出的长，利用等积法进行求解即可．【详解】解：∵，设：，则：，∴，∴，∴，∴，∵点P从点A开始沿边向B点以每秒1m的速度移动；点Q从点B沿边向点C以每秒2m的速度移动，则：运动秒后，，∴，∴，设点B到的距离为，∵，即：∴，∴；故选A．【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，以及等积法求线段的长．通过勾股定理逆定理得到是直角三角形，是解题的关键．9．（2023春·安徽黄山·八年级统考期中）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，A，B，C三点是小正方形的顶点，则的度数为________．

【答案】/45度【分析】连接，利用勾股定理计算边长，利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形即可得到的度数．【详解】解：连接，

由勾股定理得：，，∵，∴为等腰直角三角形，又∵∴．故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是根据勾股定理求出边长，从而利用勾股定理逆定理推导直角三角形，再结合等边对等角推导角度．10．（2023春·广东广州·八年级校考期中）在中，，则的面积等于___________．【答案】30【分析】根据勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再利用面积公式求解．【详解】解：，，，即，为直角三角形，直角边为，，根据三角形的面积公式有：故答案为：30．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的知识，需要学生利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形的和直角三角形的面积公式结合求解．隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．11．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿______方向航行．

【答案】北偏东【分析】由题意易得海里，海里，，则有，所以，进而可得，然后问题可求解．【详解】解：由题意得：海里，海里，，海里，∴，∴，∴，∴乙船沿北偏东方向航行；故答案为北偏东．【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键．12．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则的度数等于___________．

【答案】/度【分析】如图所示，延长，过点作延长线于点，作的平行线，过点作的平行线，交于点，设小正方形网格的边长为，可得，，由此即可求证．【详解】解：如图所示，延长，过点作延长线于点，作的平行线，过点作的平行线，交于点，设小正方形网格的边长为，

在中，，，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查网格中三角形角的关系，掌握等腰直角三角形的性质，平行线的性质是解题的关键．13．（2023春·陕西西安·七年级高新一中校考阶段练习）有四个三角形，分别满足以下条件：①；②三个角之比为3：4：5；③三边长分别为、、；④三边之比为5：12：13．其中是直角三角形有______个．【答案】2【分析】根据三角形内角和定理判断①，②，根据勾股定理的逆定理判断③，④．【详解】解：①，则，，∴，解得