第15讲二次函数的概念及特殊二次函数的图像(原卷版+解析)

第15讲二次函数的概念与特殊二次函数的图像掌握二次函数的概念需学会判断一个函数是否是二次函数重点是学会在实际问题中用二次函数描述两个变量之间的依赖关系，并确定函数定义域．理解特殊二次函数的图像，会利用描点法画出二次函数的图像，并通过观察和分析，归纳出抛物线的特征，掌握其直观性质，为学习其他形式的二次函数的图像做好准备．模块一：二次函数的概念二次函数一般地，解析式形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数．二次函数的定义域为一切实数．而在具体问题中，函数的定义域根据实际意义来确定．判断下列函数是否是二次函数．（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）．下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项．（1）； （2）；（3）； （4）．xx6xx68厘米（）的纸条，则剩余部分（图中阴影部分）的面积y关于x的函数关系式为____________．某公司4月份的营收为80万元，设每个月营收的增长率相同，且为x()，6月份的营收为y万元，写出y关于x的函数解析．如图，线段AB长为10，点P自点A开始在AB上向点B移动，并分别以AP、PBABCDP为边作等边和等边．设点P移动的距离为x，与的面积之和为y，求y关于x函数解析式及函数定义域．ABCDPHHABCDP模块二：二次函数y=ax2的图像的图像在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像．（1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示：x…-2-1012……41014…123412312341234xyxyOO1212-2-1-2-1图1图2（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示．二次函数的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展．它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线．二次函数的图像就称为抛物线．二次函数的图像抛物线（）的对称轴是y轴，即直线x=0；顶点是原点．当时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当时，抛物线开口向下，顶点为最高点．（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、的图 像；（2）函数、、的图像与函数、、 的图像有何异同？已知点P（，6）在抛物线上，那么a的值为______．抛物线上一点到x轴的距离为8，求该点的坐标．如图，有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米到达警戒线CD，这时水面宽度10米．（1）在如图所示的坐标系中，求抛物线解析式；（2）若洪水到来时，水位以0.2米/时的速度上升，从警戒线开始，再持续多少时间才xyxyABCDO一、单选题（2021秋·上海金山·九年级期末）下列各点在抛物线上的是（

）A． B． C． D．（2022春·上海黄浦·九年级上海民办永昌学校校考期中）下列函数中，满足y的值随x的值增大而减少的是（

）A．y2x B．y（x>0） C．y2x3 D．yx2（2022秋·九年级单元测试）下列函数中，属于二次函数的是（

）A． B． C． D．（2022秋·上海·九年级上海市格致初级中学校考阶段练习）下列y关于x的函数中，是二次函数的是（）A． B．C． D．（2023·上海杨浦·统考一模）下列函数中，二次函数是（）A． B． C． D．（2022秋·上海普陀·九年级统考期中）已知抛物线的开口向上，那么a的取值可以是（

）A． B． C．0 D．2（2023·上海浦东新·上海市建平实验中学校考一模）下列函数中，二次函数是（

）A．y＝﹣3x+5 B．y＝x（4x﹣3）C．y＝2（x+4）2﹣2x2 D．y＝（2022·九年级单元测试）在同一坐标系中，作y＝x2，，的图象，它们的共同特点是(

)A．抛物线的开口方向向上B．都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大C．都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小D．都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点二、填空题（2023·上海·一模）抛物线在对称轴的左侧部分是_________的（填“上升”或“下降”）．（2023·上海崇明·统考一模）如果抛物线有最高点，那么的取值范围是_____________．（2023·上海杨浦·统考一模）已知抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，那么a的取值范围是___________．（2023·上海宝山·一模）如果抛物线的开口方向向下，那么a的取值范围是_____．（2022秋·九年级单元测试）一台机器原价为万元，如果每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，则与之间的函数关系式为_____．（2022秋·上海崇明·九年级统考期末）如果抛物线的开口向上，那么k的取值范围是____________．（2022·上海·九年级专题练习）如果二次函数的图像在y轴的右侧部分是下降的，写出符合条件的一个a的值是________．（2022秋·上海·九年级上海市格致初级中学校考阶段练习）抛物线开口向上，则__________．（2023·上海金山·统考一模）已知，那么_________．（2023·上海杨浦·统考三模）如果抛物线在对称轴左侧呈上升趋势，那么a的取值范围是______．（2022·上海黄浦·统考二模）如果抛物线的最高点是坐标轴的原点，那么的取值范围是__________．函数（常数）的图象经过的象限为（）A．第一、二象限 B．第一、三象限C．第二、四象限 D．第三、四象限下列各关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)(

)A．y=x2 B．y= C．y= D．y=a2x如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，过点的直线与二次函数的图象交于、两点，且，则点的坐标为________．如果函数是二次函数，那么m=____．平面直角坐标系xOy中，若抛物线y=ax2上的两点A、B满足OA=OB，且tan∠OAB=，则称线段AB为该抛物线的通径．那么抛物线y=x2的通径长为______．如图，已知点A是抛物线图像上一点，将点A向下平移2个单位到点B，再把A绕点B顺时针旋转120°得到点C，如果点C也在该抛物线上，那么点A的坐标是______．

第15讲二次函数的概念与特殊二次函数的图像掌握二次函数的概念需学会判断一个函数是否是二次函数重点是学会在实际问题中用二次函数描述两个变量之间的依赖关系，并确定函数定义域．理解特殊二次函数的图像，会利用描点法画出二次函数的图像，并通过观察和分析，归纳出抛物线的特征，掌握其直观性质，为学习其他形式的二次函数的图像做好准备．模块一：二次函数的概念二次函数一般地，解析式形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数．二次函数的定义域为一切实数．而在具体问题中，函数的定义域根据实际意义来确定．判断下列函数是否是二次函数．（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）．【答案】（1）不是；（2）是；（3）不是；（4）是；（5）是；（6）不是【解析】（1）没有二次项；（2）符合；（3）不是整式； （4），符合； （5），符合； （6），没有二次项．【总结】本题考察二次函数的概念，判断一个函数是否是二次函数，关键看是否符合 的形式．下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项．（1）； （2）；（3）； （4）．【答案】（1）是，二次项是、一次项系数是、常数项是； （2）不是；（3）是，二次项是、一次项系数是、常数项是； （4）不是．【解析】形如（）的函数叫做二次函数，其中叫做二次项、叫做一次项系数、是常数项．【总结】本题考察二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念．xx6xx68厘米（）的纸条，则剩余部分（图中阴影部分）的面积y关于x的函数关系式为____________．【答案】．【解析】阴影部分的长方形的的长为，宽为，所以面积．【总结】此题主要利用长方形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．某公司4月份的营收为80万元，设每个月营收的增长率相同，且为x()，6月份的营收为y万元，写出y关于x的函数解析．【答案】．【解析】因为4月份的营收为80万元，5月份起，每月增长率都为，所以5月份的营收为万元，12月份的营收为万元．【总结】本题是平均增长率的问题，可用公式来解题．如图，线段AB长为10，点P自点A开始在AB上向点B移动，并分别以AP、PBABCDP为边作等边和等边．设点P移动的距离为x，与的面积之和为y，求y关于x函数解析式及函数定义域．ABCDP【答案】．【解析】作垂直于，垂足为点．HABCDP∵是等边三角形，，∴HABCDP∴，∵，∴，同理，∴【总结】此题主要利用三角形的面积公式列出函数关系式，其中已知等边三角形的边长会求面积是做题的关键．模块二：二次函数y=ax2的图像的图像在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像．（1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示：x…-2-1012……41014…123412312341234xyxyOO1212-2-1-2-1图1图2（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示．二次函数的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展．它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线．二次函数的图像就称为抛物线．二次函数的图像抛物线（）的对称轴是y轴，即直线x=0；顶点是原点．当时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当时，抛物线开口向下，顶点为最高点．（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、的图 像；（2）函数、、的图像与函数、、 的图像有何异同？【答案】（1）如图：（2）相同点：相同的开口大小一样；顶点都是原点；对称轴都是轴；不同点：开口方向不同．【解析】（1）略；（2）图像顶点坐标为；对称轴为轴；，开口向上，，开口向下；决定开口大小，越大，开口越小．【总结】本题考察特殊二次函数的图像画法及二次函数的性质．已知点P（，6）在抛物线上，那么a的值为______．【答案】．【解析】把P（，6）代入，得：．【总结】本题考察待定系数法确定函数关系式，直接把点的坐标代入解析式即可．抛物线上一点到x轴的距离为8，求该点的坐标．【答案】、．【解析】∵抛物线上一点到轴的距离为8，则点纵坐标为，把代入得、．【总结】本题考察了二次函数图像上点的坐标特征．如图，有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米到达警戒线CD，这时水面宽度10米．（1）在如图所示的坐标系中，求抛物线解析式；（2）若洪水到来时，水位以0.2米/时的速度上升，从警戒线开始，再持续多少时间才xyxyABCDO【答案】（1）；（2）5小时．【解析】（1）设抛物线解析式为（），如图，设，则，把、代入得，解得，∴抛物线的解析式为．（2）由（1）知，∴（小时）【总结】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．一、单选题（2021秋·上海金山·九年级期末）下列各点在抛物线上的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将四个选项中的坐标代入抛物线的解析式中，看两边是否相等，即可判断该点是否在抛物线上．【详解】解：A.2≠2×4，故（2，2）不在抛物线上．B.4≠2×4，故（2，4）不在抛物线上．C.8=2×4，故（2，8）在抛物线上．D.16≠2×4，故（2，16）不在抛物线上．故选：C．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标满足其解析式．（2022春·上海黄浦·九年级上海民办永昌学校校考期中）下列函数中，满足y的值随x的值增大而减少的是（

）A．y2x B．y（x>0） C．y2x3 D．yx2【答案】B【分析】直接利用一次函数以及反比例函数和二次函数的图象和性质进而分析得出答案．【详解】A．图象在第一象限满足y的值随x的值增大而增大，故此选项错误，不符合题意；B．，图象在第一象限满足y的值随x的值增大而减小，故此选项正确，符合题意；C．图象在第一象限满足y的值随x的值增大而增大，故此选项错误，不符合题意；D．，图象在第四象限满足y的值随x的值增大而减小，故此选项错误，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键．（2022秋·九年级单元测试）下列函数中，属于二次函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：A、是二次根式的的形式，不是二次函数，故本选项不符合题意；B、，不是二次函数，故本选项不符合题意；C、是二次函数，故本选项符合题意；D、，不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握一般地，形如（其中是常数，）叫做二次函数是解题的关键．（2022秋·上海·九年级上海市格致初级中学校考阶段练习）下列y关于x的函数中，是二次函数的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据二次函数的定义：进行判断即可．【详解】A、不是二次函数，不符合题意；B、是二次函数，符合题意；C、，不是二次函数，不符合题意；D、，不是二次函数，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查二次函数的概念．熟练掌握二次函数的概念是解题的关键．（2023·上海杨浦·统考一模）下列函数中，二次函数是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可．【详解】中，未知数的次数为1次，故A不是二次函数，不符合题意；，满足二次函数的定义，故B是二次函数，符合题意；，未知数的次数为1次，故C不是二次函数，不符合题意；，分母中有未知数，故D不是二次函数，不符合题意．故选B．【点睛】本题考查二次函数的定义．掌握二次函数的定义“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫作二次函数．”是解题关键．（2022秋·上海普陀·九年级统考期中）已知抛物线的开口向上，那么a的取值可以是（

）A． B． C．0 D．2【答案】D【分析】利用二次函数图象与系数的关系得到，然后解不等式即可．【详解】解：抛物线开口向上，，，那么的取值可以是2．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口．（2023·上海浦东新·上海市建平实验中学校考一模）下列函数中，二次函数是（

）A．y＝﹣3x+5 B．y＝x（4x﹣3）C．y＝2（x+4）2﹣2x2 D．y＝【答案】B【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．【详解】解：A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；B．是二次函数，故本选项符合题意；C．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；D．不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握：形如、、为常数，的函数，叫二次函数．（2022·九年级单元测试）在同一坐标系中，作y＝x2，，的图象，它们的共同特点是(

)A．抛物线的开口方向向上B．都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大C．都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小D．都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点【答案】D【分析】本题的三个抛物线解析式都符合y=ax2形式，可以从顶点坐标和对称轴找相同点．【详解】解：因为y=ax2形式的二次函数对称轴都是y轴，且顶点都在原点，所以它们的共同特点是：关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点．故选D．【点睛】要掌握y=ax2形式的二次函数对称轴都是y轴，且顶点都在原点．二、填空题（2023·上海·一模）抛物线在对称轴的左侧部分是_________的（填“上升”或“下降”）．【答案】下降【分析】根据二次函数的性质解答．【详解】解：∵，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，∴在对称轴左侧部分随着的增大而减小．故答案为：下降．【点睛】本题主要考查抛物线的性质，熟记抛物线的性质是解题的关键．（2023·上海崇明·统考一模）如果抛物线有最高点，那么的取值范围是_____________．【答案】【分析】根据二次函数有最高点，得出抛物线开口向下，即，即可得出答案．【详解】解：∵抛物线有最高点，∴抛物线开口向下，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数的最值与开口方向的特点．（2023·上海杨浦·统考一模）已知抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，那么a的取值范围是___________．【答案】/【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，则可得．【详解】解：∵抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，∴抛物线开口向上，∴，故答案为：．【点睛】本本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下．（2023·上海宝山·一模）如果抛物线的开口方向向下，那么a的取值范围是_____．【答案】【分析】根据二次函数的图象可进行求解．【详解】解：由抛物线的开口方向向下，则有；故答案为．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．（2022秋·九年级单元测试）一台机器原价为万元，如果每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，则与之间的函数关系式为_____．【答案】【分析】根据题意列出函数解析式即可．【详解】解：∵一台机器原价为万元，每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，∴与之间的函数关系式为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格原价．（2022秋·上海崇明·九年级统考期末）如果抛物线的开口向上，那么k的取值范围是____________．【答案】【分析】由题意根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数进而可得答案．【详解】解：因为抛物线的开口向上，所以，即，故k的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答此题要掌握二次函数图象的特点．（2022·上海·九年级专题练习）如果二次函数的图像在y轴的右侧部分是下降的，写出符合条件的一个a的值是________．【答案】0（答案不唯一）【分析】由图像在轴的右侧部分是下降的可得，进而求解．【详解】解：图像在轴右侧部分下降，抛物线开口向下，，解得，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系．（2022秋·上海·九年级上海市格致初级中学校考阶段练习）抛物线开口向上，则__________．【答案】3【分析】根据二次函数的图象和性质，即可求解．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴且，解得：．故答案为：3【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．（2023·上海金山·统考一模）已知，那么_________．【答案】3【分析】根据把自变量的值代入函数解析式，可得相应的函数值．【详解】解：．故答案为：3【点睛】本题考查了函数值，把自变量的值代入函数解析式是解题关键．（2023·上海杨浦·统考三模）如果抛物线在对称轴左侧呈上升趋势，那么a的取值范围是______．【答案】【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，则可得a的取值范围．【详解】解：∵抛物线在对称轴左侧呈上升趋势，∴抛物线开口向下，∴，故答案为：．【点睛】本本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下．（2022·上海黄浦·统考二模）如果抛物线的最高点是坐标轴的原点，那么的取值范围是__________．【答案】【分析】根据函数图像有最高点可得出开口向下，即可得出答案；【详解】∵抛物线的最高点是坐标轴的原点，∴抛物线开口向下，∴m+1＜0，∴．故答案是．【点睛】本题主要考查了根据二次函数的开口方向求参数，准确分析判断是解题的关键．函数（常数）的图象经过的象限为（）A．第一、二象限 B．第一、三象限C．第二、四象限 D．第三、四象限【答案】A【分析】根据已知函数解析式得出y=，即函数图象开口向上，顶点坐标在原点的抛物线，即可得出答案．【详解】解：∵

函数y=（常数k<0），∴

y=，即函数图象开口向上，顶点坐标在原点的抛物线，∴

函数y=（常数k<0）的图象经过的象限为：第一、二象限．故选A．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是：y=ax2中，a>0时，函数图象是开口向上、顶点坐标在原点的抛物线，图象经过第一、二象限；a<0时，函数图象是开口向下、顶点坐标在原点的抛物线，图象经过第三、四象限．下列各关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)(

)A．y=x2 B．y= C．y= D．y=a2x【答案】A【分析】根据二次函数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、是二次函数，正确；B、被开方数含自变量，不是二次函数，错误；C、分母中含自变量，不是二次函数，错误；D、a＝0时,＝0，不是二次函数，错误．故选A．【点睛】本题考查二次函数的定义．一般地，把形如y＝ax2＋bx＋c(其中a、b、c是常数，a≠0，b，c可以为0)的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.x为自变量，y为因变量，等号右边自变量的最高次数是2.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，过点的直线与二次函数的图象交于、两点，且，则点的坐标为_____