第15讲反比例函数的图像及性质(原卷版+解析)

第15讲反比例函数的图像及性质掌握反比例函数的图像及性质重点是反比例函数的性质的理解难点是反比例函数表达式的归纳总结模块一：反比例函数的概念反比例函数的概念1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，你们就说这两个变量成反比例．用数学式子表示两个变量、成反比例，就是，或表示为，其中是不等于0的常数． 2、解析式形如（是常数，）的函数叫做反比例函数，其中称也叫做比例系数． 3、反比例函数的定义域是不等于零的一切实数．下列函数（其中是自变量）中，哪些是反比例函数？哪些不是，为什么？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）y=+7．若函数是反比例函数，则m的值为________．如果是反比例函数，那么n的值是________．已知反比例函数，求k的值，并求当x=时的函数值已知：正比例函数与反比例函数的比例系数互为相反数，且正比例函数的图像过点，求反比例函数的解析式．模块二：反比例函数的图像和性质反比例函数的图像 1、反比例函数（是常数，）的图像叫做双曲线，它有两支．反比例函数的性质 1、当时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量的值 逐渐增大时，的值随着逐渐减小． 2、当时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量的值 逐渐增大时，的值随着逐渐增大． 3、图像的两支都无限接近于轴和轴，但不会与轴和轴相交．已知反比例函数，其图象在第一、第三象限内，则k的取值范围是________．函数的图像在一、三象限，那么k的取值范围是________．如果反比例函数（是常数，）的图像在第二、四象限，那么正比例函数（是常数，）的图像经过哪几个象限？反比例函数的图像经过点，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为，求k和m的值．一、单选题（2022秋·上海·八年级校考期中）下列说法不成立的是（

）．A．在中，与x成正比 B．在中，与x成反比C．若，则x，y成正比 D．若，则x，y成反比（2022秋·上海·八年级校考期中）已知反比例函数的图像上有三个点：，，，则、、的大小关系是（

）A． B． C． D．（2022秋·上海·八年级统考期中）下列关系式中的两个量成反比例的是(

)A．圆的面积与它的半径； B．正方形的周长与它的边长；C．路程一定时，速度与时间； D．长方形一条边确定时，周长与另一边．（2022秋·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）在反比例函数的图象上有两点，，则的值是（

）A．负数 B．非正数 C．正数 D．非负数（2022秋·上海嘉定·八年级统考期末）如果点、在反比例函数的图象上，那么与之间的大小关系是（）A． B． C． D．无法判断（2022秋·上海金山·八年级校联考期末）关于反比例函数，下列说法中错误的是（

）A．它的图象是双曲线B．它的图象在第一、三象限C．的值随的值增大而减小D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上（2022秋·上海奉贤·八年级校考期末）反比例函数的图像与正比例函数的图像没有交点，若点，，在这个反比例函数的图像上，则下列结论中正确的是（

）A．； B．； C．； D．．（2022秋·上海宝山·八年级校考期末）已知三角形面积一定，则它的底边a上的高h和底边a之间的函数关系图像大致为（

）A．B．C． D．二、填空题（2022秋·上海·八年级校考期中）已知反比例函数的图像上两点、，当时，有，则的取值范围是______．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）点是反比例函数图像上的一点，轴于点．则的面积为________．（2022秋·上海闵行·八年级校考阶段练习）如图，点在反比例函数（）的图象上，它们的横坐标依次为1、2、3、4，过这四点分别作轴、轴的垂线，图中阴影部分的面积从左到右依次为，则______．三、解答题（2022秋·上海·八年级上海交大附中校考期中）已知反比例函数，当时，.(1)求y关于x的函数表达式；(2)当且时，求自变量x的取值范围.（2022秋·上海松江·八年级校考阶段练习）已知反比例函数的图像在第一象限内经过点A、B，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别P、Q，过点B作垂直于x轴，垂足为点H，若，，求这个反比例函数的解析式和的面积．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）若和是关于的方程的两个不相等实数根，且是非负整数．(1)求的值；(2)反比例函数图象过点（其中），求的值．反比例函数，下列说法不正确的是（

）A．随的增大而增大 B．图像经过点C．图像位于第二、四象限 D．图像关于直线对称在函数（m为常数）的图象上有三点，则函数值的大小关系是（）A． B．C． D．已知反比例函数()的图像经过点，那么在每一象限内随着的增大而____．（填“增大”或“减小”）．已知点，，都在函数的图象上，则a、b、c的大小关系是_________．（用“”号连接）办公区域的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升，水温到时停止加热，此后水温开始下降．水温（）与开机通电时间成反比例关系．若水温在时接通电源，一段时间内，水温y与通电时间x之间的函数关系如图所示．(1)水温从加热到，需要；(2)求水温下降过程中，y与x的函数关系式，并写出定义域；(3)如果上午8点接通电源，那么8：20之前，不低于的时间有多少？如图，已知正方形的面积为，点为坐标原点，点在轴上，点在轴上，点在函数，图象上，点是函数，图象上异于点的任意一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点、．设矩形和正方形不重合部分的面积为．(1)点的坐标是，；(2)当，求点的坐标；(3)求出关于的函数关系式．

第15讲反比例函数的图像及性质掌握反比例函数的图像及性质重点是反比例函数的性质的理解难点是反比例函数表达式的归纳总结模块一：反比例函数的概念反比例函数的概念1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，你们就说这两个变量成反比例．用数学式子表示两个变量、成反比例，就是，或表示为，其中是不等于0的常数． 2、解析式形如（是常数，）的函数叫做反比例函数，其中称也叫做比例系数． 3、反比例函数的定义域是不等于零的一切实数．下列函数（其中是自变量）中，哪些是反比例函数？哪些不是，为什么？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）y=+7．【答案】（2）（4）是反比例函数，其余都不是．【解析】解析式形如的函数叫做反比例函数．【总结】本题主要考查反比例函数的定义．若函数是反比例函数，则m的值为________．【答案】1．【解析】由题意，可得：，则或，∵，∴．【总结】本题主要考查反比例函数的概念．如果是反比例函数，那么n的值是________．【答案】-1．【解析】且，则．【总结】本题主要考查反比例函数的概念．已知反比例函数，求k的值，并求当x=时的函数值【答案】，．【解析】因为是反比例函数，所以，所以． 则函数解析式为：，当x=时，．【总结】考查反比例函数的定义：形如的函数．已知：正比例函数与反比例函数的比例系数互为相反数，且正比例函数的图像过点，求反比例函数的解析式．【答案】．【解析】正比例函数的图像过点，则正比例函数表达式为， ∵正比例函数与反比例函数的比例系数互为相反数， ∴反比例函数解析式为．【总结】本题主要考查反比例函数的解析式的确定．模块二：反比例函数的图像和性质反比例函数的图像 1、反比例函数（是常数，）的图像叫做双曲线，它有两支．反比例函数的性质 1、当时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量的值 逐渐增大时，的值随着逐渐减小． 2、当时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量的值 逐渐增大时，的值随着逐渐增大． 3、图像的两支都无限接近于轴和轴，但不会与轴和轴相交．已知反比例函数，其图象在第一、第三象限内，则k的取值范围是________．【答案】．【解析】因为图象在第一、第三象限内，所以，即．【总结】考查反比例函数在一、三象限．函数的图像在一、三象限，那么k的取值范围是________．【答案】．【解析】因为图象在第一、第三象限内，所以，即．【总结】考查反比例函数在一、三象限．如果反比例函数（是常数，）的图像在第二、四象限，那么正比例函数（是常数，）的图像经过哪几个象限？【答案】二、四．【解析】因为反比例函数（是常数，）的图像在第二、四象限，所以，所以正比例函数（是常数，）的图像经过二、四象限．【总结】本题主要考查正、反比例函数图像的性质．反比例函数的图像经过点，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为，求k和m的值．【答案】，．【解析】∵，∴；因为反比例函数的图像经过点，则．【总结】本题主要考查图像与面积的关系，注意点坐标与线段长度之间的转换．一、单选题（2022秋·上海·八年级校考期中）下列说法不成立的是（

）．A．在中，与x成正比 B．在中，与x成反比C．若，则x，y成正比 D．若，则x，y成反比【答案】D【分析】根据成正比和成反比的意义进行判断即可．【详解】解：A．由得到，则与x成正比，故选项不符合题意；B．由得到，即与x成反比，故选项不符合题意；C．由由得到，即x，y成正比，故选项不符合题意；D．若，则x，y不成反比，故选项错误，符合题意．故选：D．【点睛】此题考查了正比和反比，熟练掌握正比和反比的意义是解题关键．（2022秋·上海·八年级校考期中）已知反比例函数的图像上有三个点：，，，则、、的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据反比例函数图形的性质，对称性即可求解．【详解】解：∵反比例函数中，，∴图像经过第二、四象限，当时，，随的增大而增大；当时，，随的增大而增大，∵，，在反比例函数的图象上，∴，，∴，故选：．【点睛】本题主要考查反比例函数图像的性质，掌握反比例函数图形的性质是解题的关键．（2022秋·上海·八年级统考期中）下列关系式中的两个量成反比例的是(

)A．圆的面积与它的半径； B．正方形的周长与它的边长；C．路程一定时，速度与时间； D．长方形一条边确定时，周长与另一边．【答案】C【分析】根据反比例的定义判断即可．【详解】解：A、设圆的半径为r，则圆的面积为，不是反比例关系，故本选项错误；B、正方形的周长边长，不是反比例关系，故本选项错误；C、路程s一定时，则，即速度v与时间t成反比例，故本选项正确；D、设长方形的一条边为a，另一条边为b，周长为c，则，不是反比例关系，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查反比例的定义，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．（2022秋·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）在反比例函数的图象上有两点，，则的值是（

）A．负数 B．非正数 C．正数 D．非负数【答案】C【分析】先根据判断出函数图象所在的象限，进而判断出，的符号，据此可得出结论．【详解】解：∵，∴反比例函数图象的两个分支分别位于第二、四象限．∵，，∴点在第二象限，点，在第四象限，∴，，∴．故选：C．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．（2022秋·上海嘉定·八年级统考期末）如果点、在反比例函数的图象上，那么与之间的大小关系是（）A． B． C． D．无法判断【答案】D【分析】根据反比例函数的性质判断即可．【详解】解：当时，函数图象位于一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小，∴、在第三象限，，，当时，函数图象位于二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大，点，位于第二象限，，故选：D．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象和性质是解题的关键．（2022秋·上海金山·八年级校联考期末）关于反比例函数，下列说法中错误的是（

）A．它的图象是双曲线B．它的图象在第一、三象限C．的值随的值增大而减小D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上【答案】C【分析】根据反比例函数的图象上点的坐标特征，以及该函数的图象的性质进行分析．【详解】A．反比例函数的图象是双曲线，正确，不符合题意；B．，图象位于一、三象限，正确，不符合题意；C．在每一象限内，y的值随x的增大而减小，错误，符合题意；D．，若点在它的图象上，则点也在它的图象上，故正确，不符合题意．故选C．【点睛】本题主要考查反比例函数的性质．注意：描述反比例函数的增减性时要指明在每一象限内．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期末）反比例函数的图像与正比例函数的图像没有交点，若点，，在这个反比例函数的图像上，则下列结论中正确的是（

）A．； B．； C．； D．．【答案】B【分析】先判断k的正负，然后根据反比例函数的增减性解答即可．【详解】∵反比例函数的图像与正比例函数的图像没有交点，∴，∴在二四象限内反比例函数y随x的增大而增大，∵，∴．故选B．【点睛】本题考查了反比例函数和正比例函数的图形与性质，判断出是解答本题的关键．（2022秋·上海宝山·八年级校考期末）已知三角形面积一定，则它的底边a上的高h和底边a之间的函数关系图像大致为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先写出三角形底边a上的高h与底边a之间的函数关系，再根据反比例函数的图象特点得出．【详解】解：已知三角形的面积s一定，则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系为，即；该函数是反比例函数，且，；故其图象只在第一象限．故选：D．【点睛】本题考查反比例函数的图象特点：反比例函数的图象是双曲线，与坐标轴无交点，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限．二、填空题（2022秋·上海·八年级校考期中）已知反比例函数的图像上两点、，当时，有，则的取值范围是______．【答案】【分析】当时，有，可知随的增大而增大，由此可知图像经过第二、四象限，由此即可求解．【详解】解：∵当时，，∴随的增大而增大，反比例函数图像经过第二、四象限，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查根据函数值的大小判断反比例函数图形的位置，掌握根据反比例系数判断反比函数图形的位置是解题的关键．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）点是反比例函数图像上的一点，轴于点．则的面积为________．【答案】1【分析】根据反比例函数k的几何意义即可得到答案．【详解】解：由题意可得，，故答案为1．【点睛】反比例函数k的几何意义：反比例函数图像上任意一点作坐标轴的垂线围成三角形面积为．（2022秋·上海闵行·八年级校考阶段练习）如图，点在反比例函数（）的图象上，它们的横坐标依次为1、2、3、4，过这四点分别作轴、轴的垂线，图中阴影部分的面积从左到右依次为，则______．【答案】【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征确定，再利用平移把阴影部分转化为一个矩形的面积，然后利用两矩形的面积差求解．【详解】解：根据题意得：当时，，则，当时，，则，，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这个一点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围城的矩形的面积是定值，也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．三、解答题（2022秋·上海·八年级上海交大附中校考期中）已知反比例函数，当时，.(1)求y关于x的函数表达式；(2)当且时，求自变量x的取值范围.【答案】(1)(2)或【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）先求得当时，，根据反比例函数的性质即可求解．【详解】（1）解：∵反比例函数，当时，.∴∴,（2）当时，，∵的图象在第二、四象限，∴当且时，或．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，判断反比例函数的增减性，掌握反比例数的图象的性质是解题的关键．（2022秋·上海松江·八年级校考阶段练习）已知反比例函数的图像在第一象限内经过点A、B，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别P、Q，过点B作垂直于x轴，垂足为点H，若，，求这个反比例函数的解析式和的面积．【答案】反比例函数为：，．【分析】先根据题意画好简易图像，确定A的坐标，再利用待定系数法求解反比例函数解析式，再利用k的几何意义求解的面积即可．【详解】解：如图，∵过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别P、Q，，，∴，设反比例函数为，∴，∴反比例函数为：，∵过点B作垂直于x轴，∴．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数解析式，反比例函数的比例系数k的几何意义，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）若和是关于的方程的两个不相等实数根，且是非负整数．(1)求的值；(2)反比例函数图象过点（其中），求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据和是关于的方程的两个不相等实数根，可得，求出k的取值范围，再根据是非负整数即可确定的值；（2）根据根与系数的关系可得，进一步可得的值．【详解】（1）解：∵和是关于的方程的两个不相等实数根，∴，解得，∵，∴，∵是非负整数，∴；（2）原方程化为：，∴和是关于的方程的两个不相等实数根，∴，∵反比例函数图象过点（其中），∴．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．反比例函数，下列说法不正确的是（

）A．随的增大而增大 B．图像经过点C．图像位于第二、四象限 D．图像关于直线对称【答案】A【分析】通过反比例图象上的点的坐标特征，可对B选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案．【详解】解：由反比例函数的性质，，在每个象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故A是不正确的，由点的坐标满足反比例函数，故B是正确的；由，双曲线位于二、四象限，故C也是正确的；由反比例函数图象的对称性，可知反比例函数的图象关于对称是正确的，故D也是正确的，故选：A【点睛】本题考查反比例函数的性质，当时，在每个象限内y随x的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象，和是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的基础；多方面、多角度考查反比例函数的图象和性质．在函数（m为常数）的图象上有三点，则函数值的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出的大小关系即可．【详解】解：∵，∴反比例函数（m为常数）的图象在二、四象限，并且在每一象限内y随x的增大而增大，∵，∴点在第二象限，∴，∵，∴点在第四象限，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．已知反比例函数()的图像经过点，那么在每一象限内随着的增大而____．（填“增大”或“减小”）．【答案】减小【分析】将点代入求出k的值，根据反比例函数性质即可得到答案．【详解】解：把点代入解析式可得，，∵，∴在每一象限内随着的增大而减小；故答案案为减小．【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式及反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质．已知点，，都在函数的图象上，则a、b、c的大小关系是_________．（用“”号连接）【答案】【分析】把点，，代入函数，求出、、的值，再进行比较即可．【详解】解：点，，都在函数的图象上，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式．办公区域的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升，