第15讲整式的乘除法综合(原卷版+解析)

第15讲整式的乘除法综合1、单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按”先乘方、再乘法”的顺序进行．例如：．2、单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项．再把所得的积相加．例如：=．3、多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用公式表示为：．4、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．用式子表示为：（、都是正整数且，）．5、规定；（，是正整数）．6、单项式除以单项式的法则：两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．7、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加．（1）多项式除以单项式，商式与被除式的项数相同，不可丢项．（2）要求学生说出式子每步变形的依据．（3）让学生养成检验的习惯，利用乘除逆运算，检验除的对不对．下列运算中正确的是（ ）． A、 B、 C、 D、计算的结果是（ ）． A、 B、 C、1 D、已知是一个完全平方式，则的值是（ ）． A、8 B、±8 C、16 D、±16如下图（1），边长为a的大正方形中一个边长为b的小正方形，小明将图（1）的阴影部分拼成了一个矩形，如图（2）．这一过程可以验证（ ）．A、 B、；C、 D、已知，（为任意实数），则P、Q的大小关系为（ ） A、 B、 C、 D、不能确定计算的结果是 ．已知与一个整式的积是，则这个整式=_________________．计算：（1）； （2）．计算：（1） ； （2）；（3）； （4）．计算下列各题：（1）；（2）．一个正方形的边长增加3cm，它的面积增加了45cm2．求这个正方形原来的边长．若边长减少3cm，它的面积减少了45cm2，这时原来边长是多少呢？若=2005，=2006，=2007，求的值．已知：，且正整数、满足：，求的值．将多项式除以后得商式，余式为0，则的值为（

）A．3 B．23 C．25 D．29如图，墨迹污染了等式中的运算符号，则污染的是（

）A．＋ B．－ C．× D．÷，，则的值为（

）A． B．8 C． D．2下列运算正确的是（

）A． B． C． D．计算的结果是（）A． B．1 C．﹣ D．﹣2的值等于（

）A． B． C． D．利用图形的分、和、移、补，探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是（）A． B． C． D．已知，则a，b，c的关系为①②③④，其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个设，则代数式中①，②，③，④，⑤，⑥是负数的有________（填序号）．若和互为倒数，那么的值为________．计算：______．已知，则________．若，，则的值为________．请同学运用计算，解决问题：已知x、y、z满足，求的最大值是______．小玲想借助学过的几何图形设计图案，首先她将如图1的小长方形和如图2的小正方形组合成如图3的大正方形图案，已知小长方形的长为，宽为，则图2的小正方形的边长可用关于和的代数式表示为______；小玲随后用3个如图3的完全相同的图案和8个如图1的小长方形，组合成如图4的大长方形图案，则图4中阴影部分面积与整个图形的面积之比为______．已知，则的值为________．计算：(1)(2)(3)(4)化简：(1)(2)(3)．小华和小明同时计算一道整式乘法题．小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把抄成了，得到结果为；小明把第二个多项式中的抄成了，得到结果为．(1)你知道式子中，的值各是多少吗？(2)请你计算出这道题的正确结果．将4张长为a，宽为b（）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为m，阴影部分的面积为n．若，则a、b满足（

）A． B． C． D．我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（

）A．2022 B． C． D．计算：_________．如果，那么代数式的值为___________．王老师家买了一套新房，其结构如图所示（单位：）．他打算将卧室铺上木地板，其他地方铺地砖．(1)木地板和地砖分别需要多少平方米？(2)如果地砖的价格为每平方米x元，木地板的价格为每平方米元，那么王老师需要花多少钱？完成下列各题．(1)已知，求a的值；(2)已知，，求的值为多少．

第15讲整式的乘除法综合1、单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按”先乘方、再乘法”的顺序进行．例如：．2、单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项．再把所得的积相加．例如：=．3、多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用公式表示为：．4、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．用式子表示为：（、都是正整数且，）．5、规定；（，是正整数）．6、单项式除以单项式的法则：两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．7、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加．（1）多项式除以单项式，商式与被除式的项数相同，不可丢项．（2）要求学生说出式子每步变形的依据．（3）让学生养成检验的习惯，利用乘除逆运算，检验除的对不对．下列运算中正确的是（ ）． A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】A正确答案为； C正确答案为； D正确答案为．【总结】本题主要考查对整式的除法则的理解和运用．计算的结果是（ ）． A、 B、 C、1 D、【答案】C【解析】原式=．【总结】本题属于混合运算，计算时注意对相关运算法则的准确运用．已知是一个完全平方式，则的值是（ ）． A、8 B、±8 C、16 D、±16【答案】D【解析】．【总结】本题主要考查对完全平方公式的理解和运用．如下图（1），边长为a的大正方形中一个边长为b的小正方形，小明将图（1）的阴影部分拼成了一个矩形，如图（2）．这一过程可以验证（ ）．A、 B、；C、 D、【答案】D【解析】图1中，阴影部分的面积为，图2中，阴影部分为长方形，长为，宽为， 面积为．【总结】本题通过图形面积的转化加强对平方差公式的理解．已知，（为任意实数），则P、Q的大小关系为（ ） A、 B、 C、 D、不能确定【答案】C【解析】．【总结】本题主要考查通过作差法来比较两个数的大小．计算的结果是 ．【答案】【解析】．【总结】本题主要考查对单项式乘以单项式法则的理解和运用．已知与一个整式的积是，则这个整式=_________________．【答案】．【解析】．【总结】本题主要考查对整式的除法的法则的理解和运用．计算：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）-1．【解析】（1）原式=；原式=．【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用．计算：（1） ； （2）；（3）； （4）．【答案】（1）；（2）； （3）；（4）．【解析】（1）原式=；原式=；原式=；原式=．【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用．计算下列各题：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）原式=； （2）原式=．【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用．一个正方形的边长增加3cm，它的面积增加了45cm2．求这个正方形原来的边长．若边长减少3cm，它的面积减少了45cm2，这时原来边长是多少呢？【答案】6cm；9cm．【解析】设原来正方形的边长为cm．则，解得：． ∴正方形原来的边长为6cm． 设原来正方形的边长为cm，则，解得：． ∴正方形原来的边长为9cm．【总结】本题主要考查整式的乘法在实际问题中的运用．若=2005，=2006，=2007，求的值．【答案】3【解析】原式=．【总结】本题主要是对完全平方公式的综合运用．已知：，且正整数、满足：，求的值．【答案】．【解析】∵， ∴． ∴． ∵正整数、满足：， ∴，． ∴，，∴．【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用．将多项式除以后得商式，余式为0，则的值为（

）A．3 B．23 C．25 D．29【答案】D【分析】先把整式化简，然后由整式的乘法、除法运算进行运算，求出a、b、c的值，即可得到答案．【详解】解：=；∵，∴，，，∴，，，∴；故选：D．【点睛】本题考查了整式的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．如图，墨迹污染了等式中的运算符号，则污染的是（

）A．＋ B．－ C．× D．÷【答案】D【分析】根据整式的加减乘除计算法则逐一判断可求解．【详解】解：∵与不是同类项，不能进行加减计算，∴A、B选项不符合题意；∵，∴C选项不符合题意；∵，∴D选项符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查整式的四则运算，掌握相关计算法则是解题的关键．，，则的值为（

）A． B．8 C． D．2【答案】A【分析】先逆用同底数幂除法法则将变形为，再用幂的乘方法则及其逆用，变形为，然后代入已知计算即可．【详解】解：∵，，∴==，故选：A．【点睛】本题考查同底数幂除法，幂的乘方法，熟练掌握同底数幂除法法则的逆用和幂的乘方法则及其逆用是解题的关键．下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．【详解】A．，故本选项不符合题意；B．，故本选项不符合题意；C．，故本选项不符合题意；D．，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解题的关键．计算的结果是（）A． B．1 C．﹣ D．﹣2【答案】A【分析】根据有理数的乘方法则以及积的乘方法则进行计算即可．【详解】解：＝＝＝＝故选：A．【点睛】本题考查的是有理数的乘方以及积的乘方运算，熟知有理数乘方的法则是解题的关键．的值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先逆用同底数幂的乘法运算将化为，再逆用积的乘方运算得到，根据乘方运算性质计算即可得到答案．【详解】解：，故选：A．【点睛】本题考查乘方运算，涉及同底数幂的乘法运算、积的乘方运算和等知识，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．利用图形的分、和、移、补，探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】设小正方形的边长为x，利用a、b、x表示矩形的面积，再利用a、b、x表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于a、b、x的关系式，解出x，即可求出矩形面积．【详解】解：设小正方形的边长为x，∴矩形的长为，宽为，由图1可得：，整理得：，∵，，∴，∴，∴矩形面积为．故选：C.【点睛】本题主要考查列代数式、多项式乘多项式与几何图形面积的应用，运用了整体代入的思想，求出小正方形的边长是解题的关键．已知，则a，b，c的关系为①②③④，其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据根据同底数幂的乘法，利用等式的性质将进行适当的变形可得答案．【详解】解：，，，，故①正确；，则，故②正确；，则，故③正确；，，故④正确．故选：D．【点睛】本题考查同底数幂的乘法，利用等式的性质等知识，根据同底数幂的乘法和等式的性质将原式进行适当的变形是得出答案的前提．设，则代数式中①，②，③，④，⑤，⑥是负数的有________（填序号）．【答案】③⑥【分析】先根据乘方、绝对值、相反数的概念对各数进行化简，结合正负数的概念进行判断即可．【详解】解：，，故①不合题意；，故②不合题意；，故③符合题意；，故⑤不合题意；，故⑥符合题意．是负数的有③⑥．故答案为：③⑥．【点睛】本题考查了相反数，绝对值，非负数的性质等知识，关键是理解负数的概念，而且要把这些数化为最后结果才能得出正确答案．这就又要理解平方、立方、绝对值，正负号的变化等知识点．若和互为倒数，那么的值为________．【答案】3【分析】根据互为倒数的两数之积为1，以及积的乘方的逆用，进行求值即可．【详解】解：∵和互为倒数，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查倒数，以及逆用积的乘方运算．熟练掌握互为倒数的两数之积为1，是解题的关键．计算：______．【答案】【分析】根据积的乘方及单项式乘以单项式运算法则，进行运算，即可求得结果【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了积的乘方及单项式乘以单项式运算法则，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．已知，则________．【答案】4【分析】根据积的乘方运算的逆用，可得，可得，解方程即可求解．【详解】解：，，即，，解得：．故答案为：4．【点睛】本题考查了积的乘方运算的逆用，熟练掌握和运用积的乘方运算的逆用是解决本题的关键．若，，则的值为________．【答案】16【分析】直接利用同底数幂的乘法逆运算、幂的乘方的运算法则计算得出答案．【详解】解：，，，则，故答案为：16．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法逆运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．请同学运用计算，解决问题：已知x、y、z满足，求的最大值是______．【答案】12【分析】根据已知条件化简，根据完全平方公式的非负性求得的最大值，进而即可求解．【详解】，；∵，∴原式==,∴原式．故原式的最大值是12.故答案为：12【点睛】本题考查运用已知公式，及平方的非负性，掌握灵活运用题中给的公式是解题的关键．小玲想借助学过的几何图形设计图案，首先她将如图1的小长方形和如图2的小正方形组合成如图3的大正方形图案，已知小长方形的长为，宽为，则图2的小正方形的边长可用关于和的代数式表示为______；小玲随后用3个如图3的完全相同的图案和8个如图1的小长方形，组合成如图4的大长方形图案，则图4中阴影部分面积与整个图形的面积之比为______．【答案】a−b【分析】根据图形所表示的长度，列代数式即可；根据图形列出阴影部分与整个矩形的面积，然后求比值即可．【详解】解：根据题意小正方形的边长为：a−b；∵图3中阴影部分的面积为：，小长方形的长为，宽为，∴图4中阴影部分的面积为：，整个图形的面积为：4a（a＋3b），∴图4中阴影部分面积与整个图形的面积之比为：，又由图4得：3a＋3b＝4a，∴a＝3b，∴，故答案为：a−b；．【点睛】本题考查了列代数式，整式的混合运算，分式的化简，关键是用代数式正确表示阴影部分的面积、大矩形的面积．已知，则的值为________．【答案】9【分析】先变形，再根据同底数幂的除法进行计算，最后代入求出即可．【详解】解：∵，∴，∴=9，故答案为9．【点睛】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方等知识点，能正确根据法则进行变形是解此题的关键．计算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)；(2)；(3)(4)【分析】（1）去括号再根据有理数加减乘法法则计算即可得到答案；（2）先算乘方及绝对值，再根据有理数加减乘法法则计算即可得到答案；（3）根据整式加减法则合并同类项即可得到答案；（4）先去括号，再合并同类项即可得到答案．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．【点睛】本题考查含乘方的有理数混合运算及整式的四则运算，解题的关键是去括号时注意符号的选择．化简：(1)(2)(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先计算积的乘方运算，再计算单项式的除法运算，最后计算单项式的乘法运算即可；（2）把多项式中的每一项分别除以单项式即可；（3）先按照完全平方公式与平方差公式进行整式的乘法运算，再合并同类项即可．【详解】（1）解：；（2）；（3）．【点睛】本题考查的是积的乘方运算，单项式除以单项式，多项式除以单项式，单项式的乘法，完全平方公式与平方差公式的应用，掌握以上基础运算的运算法则是解本题的关键．小华和小明同时计算一道整式乘法题．小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把抄成了，得到结果为；小明把第二个多项式中的抄成了，得到结果为．(1)你知道式子中，的值各是多少吗？(2)请你计算出这道题的正确结果．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据题意可得；，从而得出，解二元一次方程组即可；（2）将的值代入，然后根据多项式乘以多项式运算法则进行计算即可．【详解】（1）解：根据题意得：；，∴，解得：，；（2）正确的算式为．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的运算法则以及解二元一次方程组，读懂题意，根据题意列出二元一次方程组求出的值是解本题的关键．将4张长为a，宽为b（）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为m，阴影部分的面积为n．若，则a、b满足（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先用a、b的代数式分别表示m和n，再根据m=3n，建立等式即可求解．【详解】解：m=b（a+b）×2+ab×2+（ab）2=a2+2b2，n=（a+b）2m=（a+b）2（a2+2b2）=2abb2，∵m3n=0，∴a2+2b2=3（2abb2），整理，得a26ab+5b2=0，∴（ab）（a5b）=0，∴a=b或a=5b，∵a＞b，∴a=5b．故选：C．【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键．我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（

）A．2022 B． C． D．【答案】C【分析】根据新的运算定义，将化成个的积，再代值进行计算便可．【详解】解：，，，，故选：C．【点睛