2025-2026学年甘肃省兰州市亚西亚中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年甘肃省兰州市亚西亚中学高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是（）

①+2+2+；②2+2+3+3+；③++；④-+-.A.①② B.②③ C.②④ D.①④2.已知空间向量=（1，-2，1），=（-1，0，-1），则向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.3.曲线在点（-3，2）处的切线方程为（）A.x-y+5=0 B.x+y+1=0 C.3x-y+11=0 D.3x+y+7=04.已知函数f（x）=lnx-x2，则=（）A.ln2-4 B.-3 C.-7 D.2ln2-85.直线a,b的方向向量为，平面α，β的法向量分别为，则下列选项正确的是（）A.若a∥b,则 B.若b∥β，则

C.若a⊥α，则 D.若α∥β，则6.下列求导运算正确的是（）A.y=ln2，则y′=

B.若f（x）=2xlnx,则f'（x）=

C.若f（x）=cos（2x+3），则f′（x）=2sin（2x+3）

D.若f（x）=，则f'（x）=7.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，AB=1，AD=AA1=2，求直线BD1与A1D所成角的余弦值（）A.0 B. C. D.8.已知函数f（x）在R上的导函数为f'（x），且f'（x）-1＜0，则f（x）+2x-8＞f（3x-8）的解集为（）A.（-∞，4） B.（0，+∞） C.（-∞，0） D.（4，+∞）二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.若函数f（x）=alnx++（a≠0）既有极大值也有极小值，则（）A.bc＞0 B.ab＞0 C.b2+8ac＞0 D.ac＜010.下列结论正确的是（）A.

B.设函数f（x）=xlnx,且f′（x0）=2，则x0=e

C.若，则

D.设函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）=x2+3xf′（2）+lnx,则11.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（）A.

B.AC1⊥BD

C.四边形BDD1B1的面积为

D.平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知空间中有三点A（3，2，0），B（3，2，2），C（3，0，1），则A到直线BC的距离为

.13.已知曲线y=ex+1在x=0处的切线也是曲线y=ln（x+1）+a的切线，则a=

.14.已知函数f（x）=x3+mx2，若∀x1，x2∈R，且x1＞x2，都有，则实数m的取值范围为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，E是CC1的中点，设=，=，=.

（1）求AE的长；

（2）求AE和CD夹角的余弦值.

16.(本小题15分)

已知函数f（x）=x2（a-lnx）在（1，f（1））处的切线与直线y=x+2平行.

（1）求a的值；

（2）求f（x）的极值.17.(本小题15分)

棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，F为BD中点，G为AA1的中点.

（1）证明：EF∥平面ABC1D1；

（2）证明：平面BDC1⊥平面BDG.

​​​​​​​18.(本小题17分)

在三棱锥P-ABC中，AB=BC=1，，平面ABC⊥平面PBM.

（1）证明：PA=PC；

（2）求三棱锥P-ABC的体积；

（3）求平面APC与平面PCB夹角的余弦值.19.(本小题17分)

将一个边长为1米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒.

（1）试把这个正六棱柱铁皮盒的容积V表示为盒底边长x的函数；

（2）x多大时，盒子的容积V最大？

1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】BCD

10.【答案】BD

11.【答案】BD

12.【答案】

13.【答案】2

14.【答案】

15.【答案】解：（1）=+=++，

=||||cos90°=0，

=||||cos60°=5×4×=10，

=||||cos60°=3×=6，

所以=+++2++

=25+9+×16+0+10+6=54，

所以||==，

即AE=；

（2）=

=

=-25+0-=-30，

||=5，

所以cos===．

所以AE和CD夹角的余弦值为|cos|=．

16.【答案】a=1；

极大值为，无极小值．

17.【答案】解：（1）证明：以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

则D（0，0，0），E（0，0，1），F（1，1，0），B（2，2，0），D1（0，0，2），

则，，

所以，故，

又EF⊄平面ABC1D1，BD1⊂平面ABC1D1，

所以EF∥平面ABC1D1；

（2）证明：D（0，0，0），B（2，2，0），C1（0，2，2），G（2，0，1），

所以，=（2，0，1），，

设平面BDC1的一个法向量为，

由，则，令x=1，得，

设平面BDG的一个法向量为，

由，则，令x′=1，得，

由，

得，

故平面BDC1⊥平面BDG．

18.【答案】证明：因为AB=BC=1，点M为AC中点，因此BM⊥AC，

又平面ABC⊥平面PBM，且平面ABC∩平面PBM=BM，AC⊂平面ABC，

因此AC⊥平面PBM，又PM⊂平面PBM，因此AC⊥PM，

又点M为AC中点，因此PM是线段AC的垂直平分线，因此PA=PC

19.【答案】解：（1）正六棱柱铁皮盒的底面边长为x（0＜x＜1），

则正六棱柱铁皮盒的高为（1−x），

∴正六棱柱铁皮盒的容积为V（x）=6×x••（1-x）=（-x3+x2）（0＜x＜1），

（2）由（1）知，V（x