2025-2026学年天津市西青区高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年天津市西青区高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共10小题，共40分。1.复数（i为虚数单位）的虚部为（）A.1 B.-1 C.-i D.i2.天津轨道交通地铁3号线从南站到天塔站共10个车站，某时刻各站上车的人数统计如如下：10，20，30，40，40，50，50，60，60，70.则这组数据的第70百分位数为（）A.45 B.50 C.55 D.603.设m,n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题正确的为（）A.如果m∥α，n∥α，那么m∥n B.如果α⊥γ，β⊥γ，那么α∥β

C.如果m∥α，m∥β，那么α∥β D.如果m⊥α，n⊥α，那么m∥n4.用斜二测画法画水平放置△OAB，其直观图△O'A'B'如图所示，高其中△O'A'B'是等腰直角三角形，且O'A'=A'B'，斜边O'B'=，则原图形△OAB的面积为（）A.

B.

C.

D.5.关于平面向量，，，有下列五种说法：

①；

②若，，则；

③若，，则；

④对任意向量，，，有；

⑤若∥，∥，则∥.

其中结论正确的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.36.在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，且AA1=2AB=2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A. B. C. D.7.端午节吃粽子是我国的一个民俗，记事件A=“甲端午节吃甜粽子”，记事件B=“乙端午节吃咸粽子”，且，事件A与事件B相互独立，则P（A∪B）=（）A. B. C. D.8.平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，下列各单峰的频率分布直方图中，哪个图的平均数明显小于中位数（）A. B.

C. D.9.已知非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.10.在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为G，两臂拉力分别为F1，F2，若|F1|=|F2|，F1与F2的夹角为θ，则以下五个结论中：

①|F1|的最小值为|G|；

②当θ=时，|F1|=|G|；

③当θ=时，|F1|=|G|；

④|G|=|F1|•cos；

⑤在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力.

以上结论中，结论正确的个数为（）

A.4 B.3 C.2 D.1二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。11.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a,b,c.且AB=1，AC=5，BC=3，那么角B=

.12.已知一组数据x1，x2，⋯，xn的方差为2，则数据3x1-1，3x2-1，⋯，3xn-1的方差为

.13.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______.14.甲，乙两人独立地破译一份密码，已知甲，乙两人单独破解密码的概率分别为0.4，0.3.则两人都成功破译的概率为

；密码被成功破译的概率为

.15.甲，乙两班参加了同一学科考试，甲班50人，平均成绩为72分，方差为81分2；乙班40人，平均成绩为90分，方差为54分2.那么甲，乙两班全部90名学生方差是

分2.16.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且BC=3AD，M，N分别为线段AD和BC的中点，若，，用，表示=

；若，则∠ABC余弦值的最小值为

.三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题11分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.且a=7，b=8，.

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）求边长c的长.18.(本小题11分)

已知向量，.

（Ⅰ）求及；

（Ⅱ）若，求k的值；

（Ⅲ）求与的夹角θ的余弦值.19.(本小题12分)

DeepSeek可以被看作是“款人工智能学习辅助工具，某高校为了解学生的使用情况，统计了该校学生在某日使用DeepSeek的时间（单位：小时），整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求a的值，并估计该校学生当日使用DeepSeek的时间的平均值（同一组中的数据用邻该组区间的中点值为代表）；

（Ⅱ）为便于统计，学校规定：若使用时间不小于2小时的用户称为“DeepSeek资深用户”，其中使用时间在[2，2.5）内的用户称为“青铜用户”，使用时间在[2.5，3）内的用户称为“铂金用户”.为了进一步了解DeepSeek对学习的辅助效果，该校新闻中心采用分层抽样的方法在“DeepSeek资深用户”中抽取了6名学生进行问卷调查.

（i）求应从“青铜用户”和“铂金用户”中分别抽取的人数；

（ii）从这6名学生中随机选择2名学生进行访谈，写出这个试验的样本空间Ω（用恰当的符号表示）；

（iii）从这6名学生中随机选择2名学生进行访谈，求这2名学生中恰好有一名是“青长铜用户”的概率.20.(本小题16分)

已知如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，AB⊥BC，点D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，AB=BC=8，PA=6，DF=5.

（Ⅰ）求证：BC∥平面DEF；

（Ⅱ）求证：平面DEF⊥平面ABC；

（Ⅲ）求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值.

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】C

10.【答案】B

11.【答案】．

12.【答案】18

13.【答案】36π

14.【答案】0.120.58

15.【答案】149

16.【答案】

17.【答案】

c=3

18.【答案】，

-1

19.【答案】a=0.72；估计平均值为1.73；（Ⅱ）（i）分别抽取的人数为4，2；（ii）{（a，b），（a，c），（a，d），（a，A），（a，B），（b，c），（b，d），（b，A），（b，B），（c，d），（c，A），（c，B），（d，A），（d，B），（A，B）}；（iii）

20.【答案】证明：因为E，F分别为棱AC，AB的中点，

所以BC∥EF，

又EF⊂平面DEF，BC⊄平面DEF，

所以BC∥平面DEF

因为D，E分别为PC，AC中点，所以DE为△PAC的中位线，

所以