北京市东城区2025-2026学年第二学期期末样卷初二数学（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市东城区2025-2026学年第二学期期末样卷初二数学一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.以下四个函数中，图象不过坐标原点的函数是（）A. B. C. D.2.下列每组数分别表示三根木棍的长度，能将这三根木棍首尾连接摆成直角三角形的是（）A.1，2，3 B.3，4，6 C.3，3，5 D.5，12，133.在平面直角坐标系中，点都在直线上，则的值是（

）A. B. C.1 D.24.将函数的图象向下平移3个单位长度，得到的函数的图象对应的解析式是（

）A. B. C. D.5.下列各式中运算结果正确的是（）A. B.

C. D.6.某年5个城市的人均生活用电量如下表所示：城市ABCDE人均生活用电量／（）根据人均生活用电量的组内离差平方和最小的原则，把这5个城市分为两组．现有四种分组方法，并分别算出四种分法的组内离差平方和，如下表所示．正确的分组方法是（

）分组组内离差平方和第一种：和第二种：和第三种：和第四种：和A.第一种 B.第二种 C.第三种 D.第四种7.在平面直角坐标系xOy中，已知点是一个平行四边形的三个顶点，第四个顶点的坐标不可能是（

）A. B. C. D.8.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与轴交于点，与函数的图象交于B，C两点．有以下三个结论：①关于的方程的解是；②关于的不等式的解集是；③是直角三角形．所有正确结论的序号是（

）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。9.如图，某公园有一个人工湖，湖的两端各有一棵大树，兴趣小组的同学们欲测量两棵大树之间的距离．他们先将两棵大树所在地分别标记为点A，B，在湖畔空地选定适当的点，分别连接，，然后取的中点，取的中点，量得28米．则这两棵大树之间的距离为

米，依据是

．

10.如图，校园中有一扇中式古典花窗，其内部有一个菱形图案．若该菱形的周长为40分米，一条对角线长12分米，则另一条对角线的长为

分米．

11.已知四个不同的点均在正比例函数的图象上．若，则

（填“>”“<”或“=”）．12.如图，在菱形中，是的中点．点是线段上的动点，记线段的长为．有以下三个结论：①若是线段的中点，则；②的取值范围是；③若在菱形的内部存在点，使得，且，则的取值范围是．其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共11小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。13.(本小题9分)某校八年级甲、乙两班各随机抽取20名学生进行一分钟跳绳测试，根据他们的成绩绘制箱线图如下：依据以上信息，回答下列问题：(1)甲班20位学生跳绳成绩的中位数是

，甲班20位学生约有

的学生跳绳成绩低于次／分（填写百分数）；(2)乙班20位学生跳绳成绩的第三四分位数是

，乙班20位学生跳绳成绩的四分位距为

；(3)请结合箱线图，比较这两个班学生跳绳成绩的差异．14.(本小题9分)已知线段及其夹角如图所示．(1)尺规作图：求作（保留作图痕迹，不写作法）；

(2)根据你的作法，写出判定四边形是平行四边形的依据：

；(3)若，则的面积是

．15.(本小题5分)如图，在中，为边的中点，连接．

(1)求证：是等腰三角形；(2)若，的中点分别为点，连接，，求证：四边形是矩形．16.(本小题5分)如图，在四边形中，对角线相交于点．

(1)求证：四边形是平行四边形；(2)过点且与分别相交于点E，F，连接和．判断与的数量关系，并说明理由．17.(本小题6分)

已知一次函数的图象经过点．(1)求这个一次函数的解析式；(2)设为轴上动点，过点作轴的垂线分别交正比例函数和一次函数的图象于M，N两点（点M，N不重合）．若线段的长小于2，求的取值范围．18.(本小题6分)某大型快递转运中心为了提升包裹分拣的效率和准确性，计划采购一批智能分拣机器人．已知有两种不同型号的机器人，其工作性能和采购价格如下表所示：机器人型号每台机器人分拣包裹数量（件小时）采购价格（万元台）A150008B120006该转运中心计划购买这两种型号的机器人共20台，并且要求这20台机器人每小时分拣包裹量的总和不少于276000件．(1)设购买A型机器人台，购买这20台机器人的总采购费用为万元，求关于的函数解析式；(2)在购买的20台机器人中，购买几台A型机器人能使总采购费用最少？最少费用是多少？19.(本小题6分)在中，是的中点，且，连接，．

(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求线段和的长．20.(本小题9分)某校为了解七年级1班和2班两个班学生的立定跳远成绩（单位：cm），从两个班各随机抽取20名学生进行测试，收集部分数据如下．a．2班的立定跳远成绩如下：186180189183176173178167180175178182180179185180184182180183b．1班立定跳远成绩的频数分布直方图如下（数据分为6组：，）：其中，这组的数据分别是：．c．对1班和2班立定跳远成绩分析数据如下：班级平均数众数中位数方差1班18018543.12班18018022.6根据以上信息回答下列问题：(1)计算表中

，

；(2)从集中趋势和离散程度分析1班和2班的立定跳远成绩；(3)若要从一个班中选拔两名立定跳远运动员，优先从哪个班选？请说明理由．21.(本小题6分)某现代化农场采用了新型的灌溉设备，其中A设备为智能恒流灌溉机，B设备为根据土壤湿度自动调节流量的智能灌溉机．为了深入研究这两种设备的工作性能，工作人员进行了详细的记录与观测．他们记录了两种设备的灌溉时间（单位：小时）以及A设备灌溉水量和B设备灌溉水量（单位：立方米）的相关数据，如下表所示：012345601.53.04.56.07.59.003.05.06.06.56.87.0(1)在同一平面直角坐标系xOy中，通过描点画出了关于的函数图象．请补全表格中数据的对应点，并画出关于的函数图象；

(2)利用以上信息，解决下列问题：①A，B两设备同时开始灌溉，当灌溉时间相同时，B设备与A设备灌溉水量的差的最大值是

立方米，当两种设备的灌溉水量相同时，

小时（结果保留一位小数）；②农场有一块特定区域需要灌溉，该区域需灌溉水量10立方米，且需达到一定的湿度．为了在更短时间内完成灌溉任务且保证灌溉效果，先使用B设备快速提升土壤湿度，再使用A设备进行精准定量灌溉．有以下两种方案：方案一：先用B设备灌溉1小时后，再用A设备灌溉；方案二：先用B设备灌溉2小时后，再用A设备灌溉．在方案一和方案二中，灌溉时长最短的方案为

，最短灌溉时长为

小时（结果保留一位小数）．22.(本小题6分)在正方形中，为射线上一点，连接，点为线段的中点，连接，在直线右侧作且，连接．

(1)如图1，若点与点重合，连接，求的大小；(2)如图2，点在延长线上，①依题意补全图2；②用等式表示，，的数量关系，并证明．23.(本小题9分)在平面直角坐标系中，对于点和长为的线段作如下定义：过点作于点，若点在线段上，且点到线段的距离满足（其中），则称点是线段的“倍垂点”．已知点．

(1)点，在点中，线段的“倍垂点”是

；(2)点，若点是线段的“倍垂点”，则点的横坐标的取值范围是

；(3)点，若直线上存在线段的“倍垂点”，直接写出的取值范围．

1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】

三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半

10.【答案】

11.【答案】

12.【答案】①②/②①

13.【答案】【小题1】180次​​​​​​​【小题2】183次5【小题3】解：两个班跳绳成绩的中位数相同；甲班成绩的极差、四分位距更大，说明甲班学生跳绳成绩波动更大、分布更分散，乙班学生成绩更集中整齐，整体发挥更稳定．

14.【答案】【小题1】如图，即为所求；【小题2】两组对边分别相等的四边形为平行四边形【小题3】30

15.【答案】【小题1】证明：在中，，为边的中点，∴，，∴，∴是等腰三角形．【小题2】证明：连接，，如图，∵，分别是，的中点，为边的中点，∴，分别是的中位线，∴，，即，，∴四边形是平行四边形，又∵，∴四边形是矩形．

16.【答案】【小题1】证明：∵，∴，又∵，∴四边形是平行四边形；【小题2】解：，理由如下：由（1）得四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，∴．

17.【答案】【小题1】解：将代入得，解得，∴一次函数的解析式为；【小题2】解：由题意得，过作轴的垂线为，∴将代入得；将代入得，∴线段的长为，∵线段的长小于2，且、不重合，∴，由得解得，由得解得，∴的取值范围为且．

18.【答案】【小题1】解：由题意可知，购买A型机器人台，则购买B型机器人台，∴总采购费用，即，∵每小时分拣包裹总量不少于276000件，∴解得，又∵机器人台数是整数，且，∴且为整数，∴关于的函数解析式为（且x为整数）；【小题2】解：由可知，一次项系数，随的增大而增大，当取最小值时，取得最小值，的最小值为12，∴将代入函数解析式得：（万元），答：购买12台A型机器人能使总采购费用最少，最少费用是144万元．

19.【答案】【小题1】证明：是的中点，．，．四边形是平行四边形，四边形是菱形．【小题2】解：如图，连接，

​​​​​​​四边形是菱形，，，为等腰三角形．，为等边三角形．是的中点，，，，，．，，，．

20.【答案】【小题1】180180【小题2】解：集中趋势：1班和2班的平均数、中位数都相等，说明两个班立定跳远的整体平均水平相当；1班的众数大于2班，说明1班的成绩更多集中在较高水平；离散程度：2班的方差小于1班，说明2班的立定跳远成绩更整齐，波动更小，成绩比1班更稳定；【小题3】解：优先从1班选理由：选拔运动员需要选出高成绩的选手，1班众数更高，且高分段人数更多，更容易选出成绩优异的运动员，因此优先从1班选.

21.【答案】【小题1】关于的函数图象如下：【小题2】2​​​​​​​方案二5.3

22.【答案】【小题1】解：∵四边形为正方形，∴，，∵点为线段的中点，点与点重合，∴，∴，∴，则，设，则，∵，∴，∵，∴，则，∴；【小题2】①，②，理由如下：过点作于点，过点作直线交延长线于点，交的延长线于点，连接，如图，∵，点为线段的中点，∴，∴，，则，∵四边形为正方形，∴，，∴，，∴，∴，则，设，由（1）得，则，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴四边形为矩形，∴，，则，在中，则，∴，则．

23.【答案】【小题1】，【小题2】或【小题3】解：分类讨论：①当向的右方向移动时，基本模型以为旋转中心顺时针旋转，并且不断变大．当开始与相交时如图绿色模型，延长，作交延长线于点，，，，又，，，的坐标为，，，的坐标为，