广东省惠州市2025-2026学年高二下学期期末数学试卷（含解析）

广东惠州市2025-2026学年高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知向量，，且，则的值为（

）A． B． C． D．2．已知集合，，则（

）A． B．C． D．3．已知复数满足：，则（

）A． B． C． D．4．记为等差数列的前项和，已知，，则（

）A．13 B．14 C．15 D．165．某中学高二年级学生有1200人，某次数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩高于100分的人数约为（

）A．240 B．360 C．480 D．6006．函数的图象大致是（

）A． B．C． D．7．设抛物线：，不经过焦点的直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，且与的面积之比是，则为（

）A．2 B．3 C．4 D．58．已知三棱锥的所有顶点都在半径为的球面上，且它的三组对棱分别相等，则三棱锥体积的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．B．函数的图象关于点中心对称C．若，则为奇函数D．若，则10．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，其渐近线方程为，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点（点在第一象限），则下列说法正确的是（

）A．离心率B．若的斜率为1时，C．为定值D．当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时，11．设直线与函数的图象有三个不同的交点，其坐标分别为，，，且，则（

）A．的图象的对称中心为B．C．D．三、填空题12．的展开式中的系数为____________．（用数字作答）．13．如图为函数的图象，为最高点，，为最低点．若，则________．14．电影《给阿嬷的情书》中那封途中浸水损毁的手写信，令无数观众动容．影片热映后掀起怀旧风潮，某网络平台文创商店持续向影迷推送复古书信礼盒．已知某影迷第一次收到推送时，下单购买的概率为，从第二次推送开始，若上一次未购买，则本次购买的概率为；若上一次已购买，则本次复购的概率为，则第二次不购买的概率为________，记第次推送时该影迷不购买礼盒的概率为，则为________．四、解答题15．记的内角，，的对边分别为，，，已知．(1)若，，求；(2)若，，求的面积．16．在人工智能赋能新媒体产业的大环境下，短视频行业迅速扩容．为调研某市短视频创作者单日内容创作耗时情况，从全市随机抽取了500名短视频创作者开展调查，得到这500名创作者的日平均创作时长（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)求图中的值，并估计这500名创作者日平均创作时长的第75百分位数；(2)为进一步了解这500名创作者文案策划与素材拍摄的时间分配情况，从日平均创作时长在，，三组内的创作者中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均创作时长在内的创作者人数为，求的分布列和数学期望．17．如图，在三棱锥中，，底面．

(1)求证：；(2)若，且点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正切值的取值范围．18．已知点在椭圆：上，，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为．(1)求椭圆的标准方程；(2)设过点的两直线和分别与椭圆相交于，和，两点，且，点，分别是弦，的中点，若直线和直线均不与轴重合，求证：直线过定点．19．已知函数．(1)若，求函数在处的切线方程；(2)若时，恒成立，求实数的最大值；(3)设数列满足，为数列的前项积，求证：．参考答案1．C【详解】由题设向量，，且，则.2．D【详解】由可得，解得；则集合故．3．B【详解】，.4．A【详解】设等差数列的公差为，则，解得，故.5．B【详解】由正态分布的对称性知，且，所以，所以本次考试数学成绩高于100分的人数约为人.6．D【详解】令，即，因为恒成立，所以或，即函数的图象与轴有两个交点，分别为和，A选项：图象在时恒小于0，无正零点，排除；A错误C选项：图象在处有一个零点，与题意不符，排除；C错误对于B、D选项，当时，且，所以，B、D均符合。考虑时，，故D选项符合题意。故选：D.7．C【详解】由题知点在抛物线上，故，即.所以抛物线的方程为，焦点为，准线方程为，如图，，，所以，又由点知，故，所以.8．A【详解】将其补形为长方体，设其长宽高分别为，因为其外接球半径为，所以，则，故，得，当且仅当时等号成立，则，故三棱锥体积的最大值为9．AB【详解】A，，正确；B，令，取可得，正确；C，，，错误；D，，所以，错误.10．ABC【详解】对于A选项，因为双曲线：的渐近线方程为，即，所以，此时双曲线的方程为，则，，所以，所以，所以，故A正确；对于B选项，因为，所以，又过的直线的斜率为1，所以直线的方程为，因为直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，与双曲线联立，化简得，设，，则，，所以，故B正确；对于C选项，根据双曲线定义，，，所以，，所以，故C正确；对于D选项，设，，线段的中点，则，，所以，，，又，在双曲线上，所以，，所以，，所以，故D错误.综上所述，选项ABC正确.11．ACD【详解】因为，所以的图象的对称中心为，故A正确；因为是方程的三个根，所以，即，则，则，得，故B错误；当或时，则在，上单调递增；当时，在上单调递减；则，即，则，故C正确；因为，，所以，因为，则，则，故D正确.12．40【详解】展开式的通项，令，得.所以的系数为.故答案为：4013．【详解】设函数最小正周期为，由图象可知，为相邻最低点，故，最高点与最低点的横坐标差为，纵坐标差为，，已知，则，解得，故．14．【详解】设事件为“第一次推送时购买”，为“第一次推送时不购买”，为“第二次推送时不购买”.由题意得，故；条件概率，.根据全概率公式：求的通项：当时，第次不购买包含两种互斥情形：①第次购买，第次不购买，对应概率为；②第次不购买，第次不购买，对应概率为.因此递推关系为：,构造等比数列，令，展开对比递推式得，解得,因此是公比为的等比数列，首项，故,等比数列通项为，整理得：15．(1)(2)【详解】（1）由题知，，则，即，因为，所以，所以，，由正弦定理得，，即，所以，又，所以.（2）由（1）知，，，，又，，所以，即，由正弦定理得，，又，即，所以，又，所以，所以，所以的面积为.16．(1)，第百分位数为；(2)的分布列为0123．【详解】（1）由概率和为1得：，解得：；前5组的频率之和为，前6组的频率之和为，所以第75百分位数位于第6组内．设第75百分位数为x，则，解得．所以估计这500名创作者日平均创作时长的第75百分位数为11.5．（2）这500名创作者中日平均创作时长在，，三组内的人数分别为：人，人，人，由分层抽样性质知，从日平均创作时长在中抽取5人，从日平均创作时长在中抽取4人，从日平均创作时长在中抽取1人，从该10人中抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，，，，，则的分布列为0123所以.17．(1)底面，且底面，故，又，故，平面，且，则平面，又平面，故．(2)【详解】（1）略（2）以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，

则，点在上，设，故，则，故，设平面的法向量为，则，令，则，设直线与平面所成角为，则，，令，，故，故，当时取最小值，当时取最大值．18．(1)(2)证明：设过点的直线，，，联立方程组得，得，，，，则，，所以，同理可得，即，当时，，直线的方程为，整理可得，所以直线恒过定点，当时，直线的方程为，也过点，所以直线恒过定点.【详解】（1）点在椭圆：上，所以，椭圆的离心率为，，，，得，，，，椭圆的标准方程为.（2）略19．(1)(2)(