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真题解构与变式预测2025年全国1卷第17题

[题意理解]序号信息读取信息加工1在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,BC∥AD,AB⊥AD证明AP⊥AB,且AB⊥AD,得出AB⊥平面PAD2假设P,B,C,D在同一球面O上,则可得OP=OB=OC=OD,进而得出点O在空间中的坐标,即可证明结论3求直线AC与直线PO所成角的余弦值写出直线AC和PO的方向向量,即可求出余弦值[规范解答]注解②

注解③

注解④

注解⑤

注解⑦

注解⑧

注解⑧

[关键步骤]①(方法一)获取线面垂直条件,证明线面垂直,进而推导面面垂直.②借助二面角定义,确定二面角的棱与面,判断二面角类型.③空间直角坐标系结合球的半径性质,建立坐标系,设球心与列方程,判断位置.④(方法二)利用外接圆圆心与球心关系,求线段垂直平分线方程,确定外接圆圆心,关联球心与平面.⑤(方法三)结合三角形性质与球心定义,利用三角形边长,结合球心性质.⑥(方法一)空间向量夹角公式,获取向量坐标,计算夹角余弦值.⑦(方法二)基底向量法,确定线段关系,用基底表示向量,计算夹角余弦值.⑧(方法三)构造辅助线转化角度,作辅助线,计算三角形边长,求夹角余弦值.[考教衔接]证明点在面上的常用方法有坐标法和几何法,坐标法的关键是平面点的坐标表示,几何法的关键是作图计算.本题需要利用平面几何的相关知识求直线及中垂线方程,在解决过程中需要调用数学作图技能作出球心的位置,若能根据证明结论确定球心位置,就可以很好地降低思维难度,减少运算.利用几何法解决问题时,空间问题平面化.本题源于人教A版选择性必修第一册第33页练习第3题.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=CC1=1,E是CD的中点,F是BC的中点,求证:平面EAD1⊥平面EFD

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