2026届浙江省杭州市九年级数学中考真题仿真数形结合与分类讨论分层训练卷（含答案解析、评分细则与学生作答区）第108组

2026届浙江省杭州市九年级数学中考真题仿真数形结合与分类讨论分层训练卷（含答案解析、评分细则与学生作答区）第108组第页A4黑白打印版2026届浙江省杭州市九年级数学中考真题仿真数形结合与分类讨论分层训练卷（含答案解析、评分细则与学生作答区）第108组适用对象：浙江省杭州市九年级学生考试时间：100分钟总分：120分答案解析状态：含参考答案、逐题解析、评分细则与学生作答区────────────────────────────────────────────────────姓名：________________班级：________________得分：________________题型选择题填空题解答题总分分值30分24分66分120分得分说明：本卷围绕数形结合与分类讨论设置层级题组，适用于考前仿真自测、课堂限时检测与打印练习。

卷头说明1.本卷共22题，满分120分，考试时间100分钟。请在规定位置作答，保持解题步骤清楚。2.选择题每题3分，共30分；填空题每题4分，共24分；解答题共66分。3.本卷重点考查函数图像、几何图形、方程不等式与实际情境中的数形结合和分类讨论。4.非选择题应写出必要的推理、计算、分类依据和结论，只写答案酌情扣分。5.参考答案与解析另页开始，作答时不得提前查看。────────────────────────────────────────────────────一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）每小题只有一个正确选项。请将答案填入下方选择题答题栏。题号12345678910答案1.（3分）在平面直角坐标系中，A(-2，3)，B(4，3)，C(4，-1)。下列判断正确的是（）。A.△ABC是直角三角形，面积为12B.△ABC是等腰三角形，面积为12C.△ABC是直角三角形，面积为24D.△ABC的斜边长为102.（3分）一次函数y=-2x+4与坐标轴围成的三角形面积是（）。A.2B.3C.4D.83.（3分）点P(a，a²-4a+3)在抛物线y=x²-4x+3上。若P在x轴上，则a的值为（）。A.-1或3B.1或3C.1或-3D.0或44.（3分）⊙O的半径为5，点P在圆内且OP=3。过P作直线AB⊥OP，交⊙O于A，B，则弦AB的长为（）。A.4B.6C.2√7D.85.（3分）不等式|x-2|<3的解集在数轴上表示为开区间(-1，5)，其中正整数解的个数是（）。A.2B.3C.4D.56.（3分）二次函数y=x²-2kx+1的图像与x轴没有公共点，则k的取值范围是（）。A.k≤-1或k≥1B.-1<k<1C.k<1D.k>-17.（3分）用长为20的铁丝围成一个矩形，设一边长为x，面积为y。则y关于x的表达式及最大面积为（）。A.y=x(20-x)，最大100B.y=2x(10-x)，最大50C.y=x(10-x)，最大25D.y=x²，最大258.（3分）同一时刻，身高1.6m的学生影长为2m，一根旗杆影长为15m。若光线方向相同，则旗杆高为（）。A.10mB.12mC.16mD.18.75m9.（3分）已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D为BC中点。则AD的长为（）。A.3B.4C.√34D.510.（3分）直线y=t与抛物线y=x²-4x+3的公共点个数随t变化。下列分类正确的是（）。A.t>-1时无公共点B.t>-1时两个公共点，t=-1时一个公共点，t<-1时无公共点C.t≥-1时两个公共点D.任意t都有两个公共点

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把结果直接写在横线上；含参数的结论要写明取值范围。11.（4分）点A(-3，5)，B(7，-1)的中点坐标为________。12.（4分）一次函数y=kx+2的图像经过点(3，-1)，则k=________。13.（4分）圆x²+y²=25上点P(3，4)处的切线方程可写为________。14.（4分）抛物线y=x²-6x+5位于x轴下方时，x的取值范围是________。15.（4分）代数式|x-1|+|x+2|的最小值为________，此时x的取值范围为________。16.（4分）关于x的方程x²-(m+2)x+2m=0有两个不相等的正整数根，则m应满足________。三、解答题（本大题共6小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。需要分类时，应先写分类依据，再分别求解。17.（8分）已知一次函数y=mx+b的图像经过点A(-1，5)，B(3，-3)。

（1）求m，b的值；

（2）求该直线与两坐标轴围成三角形的面积。学生作答区__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________18.（10分）如图形信息所示，△ABC在平面直角坐标系中，A(0，0)，B(8，0)，C(0，6)。点P在AB上，AP=t(0<t<8)，过P作直线平行于BC，交AC于D。

（1）用含t的式子表示点D的坐标和线段PD的长；

（2）若四边形PBCD的面积为15，求t的值。学生作答区______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

19.（10分）某校九年级开展数学拓展活动，现有甲、乙两种收费方案：甲方案固定费用60元，每参加1次另收12元；乙方案固定费用30元，每参加1次另收18元。设参加次数为x次，总费用分别为y₁元、y₂元。

（1）分别写出y₁，y₂关于x的函数表达式；

（2）在同一坐标系中比较两条直线的位置关系，并说明参加次数分别处于哪些范围时选择哪种方案更省钱。学生作答区________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________20.（12分）在平面直角坐标系中，抛物线C：y=x²-4x+3，直线l：y=kx+3，其中k为实数。

（1）当k=0时，求直线l与抛物线C的公共点坐标；

（2）讨论直线l与抛物线C的公共点个数；

（3）当直线l与抛物线有两个不同公共点A，B，且O，A，B三点围成的三角形面积为9时，求k的值。学生作答区________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

21.（12分）已知圆O：x²+y²=25，直线l：y=x+t，其中t为实数。

（1）用含t的式子表示点O到直线l的距离；

（2）根据t的取值，分类讨论直线l与圆O的公共点个数；

（3）若直线l与圆O相交所得弦长为6，求t的值，并说明对应直线位置的对称关系。学生作答区__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

22.（14分）如图形信息所示，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，顶点为D。点P(t，t²-2t-3)在抛物线位于x轴下方的部分上，且-1<t<3；过P作PQ⊥x轴，垂足为Q(t，0)。

（1）求A，B，C，D的坐标；

（2）求△PAB面积的最大值及此时P点坐标；

（3）若t≠0，分类讨论△CPQ为等腰三角形时t的值；

（4）若△CPQ的面积为2，求t的值，并判断对应点P在抛物线对称轴的哪一侧。学生作答区______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

参考答案与解析客观题不仅给出结论，也列出关键理由；主观题按步骤给分，订正时请对照采分点补全过程。题号12345678910答案ACBDCBCBBB1.A。AB水平，AB=6；BC竖直，BC=4，∠B=90°，面积=1/2×6×4=12。误选C多因把两直角边乘积当面积。2.C。与x轴交于(2，0)，与y轴交于(0，4)，面积=1/2×2×4=4。3.B。点在x轴上即纵坐标为0，a²-4a+3=0，解得a=1或3。4.D。垂径定理：弦心距为OP=3，半弦长=√(5²-3²)=4，所以AB=8。5.C。|x-2|<3化为-1<x<5，正整数为1，2，3，4，共4个。6.B。图像与x轴无公共点等价于Δ<0，Δ=(-2k)²-4=k²·4-4<0，即-1<k<1。7.C。矩形另一边为10-x，y=x(10-x)=-(x-5)²+25，最大面积25。8.B。相似三角形中高度与影长成比例，旗杆高=15×1.6/2=12m。9.B。等腰三角形底边中线也是高，BD=3，AD=√(5²-3²)=4。10.B。y=x²-4x+3=(x-2)²-1，水平线y=t与抛物线比较：t>-1有两个交点，t=-1相切，t<-1无交点。填空题答案与要点11.(2，2)。中点坐标为((-3+7)/2，(5-1)/2)。12.-1。把(3，-1)代入y=kx+2，得3k+2=-1。13.3x+4y=25。半径OP斜率为4/3，切线斜率为-3/4，过(3，4)化简得3x+4y=25。14.1<x<5。因y=(x-1)(x-5)，开口向上，图像在两根之间位于x轴下方。15.最小值为3，-2≤x≤1。可用数轴理解为点x到-2和1距离和的最小值。16.m为不等于2的正整数。原方程可分解为(x-2)(x-m)=0，两个根为2和m，要两个不等正整数根，故m∈正整数且m≠2。

解答题参考答案、评分细则与常见失分提醒17.（8分）一次函数与坐标轴面积解：（1）由A(-1，5)，B(3，-3)代入y=mx+b，得-m+b=5，3m+b=-3。两式相减得4m=-8，所以m=-2；代入得b=3。（2）直线为y=-2x+3。与y轴交点为(0，3)，与x轴交点满足-2x+3=0，得x=3/2。面积S=1/2×3×3/2=9/4。采分点分值正确列出两点代入方程2分解得m=-2，b=32分求出两坐标轴截距2分写出面积公式并得9/42分常见失分提醒：把x轴截距写成3，或面积忘乘1/2，均会导致结果错误。18.（10分）相似图形中的坐标表达解：（1）BC的斜率为(6-0)/(0-8)=-3/4。过P(t，0)作平行线，方程为y=-(3/4)(x-t)。与AC所在直线x=0交于D(0，3t/4)。PD=√[(t-0)²+(0-3t/4)²]=√(t²+9t²/16)=5t/4。（2）S△ABC=1/2×8×6=24，S△APD=1/2×t×3t/4=3t²/8，所以S四边形PBCD=24-3t²/8。由24-3t²/8=15，得t²=24。又0<t<8，所以t=2√6。采分点分值写出平行线斜率或相似比2分求得D(0，3t/4)2分求得PD=5t/42分建立面积方程24-3t²/8=152分解得t=2√6并检验范围2分常见失分提醒：若把D的横坐标误写为t，会破坏图形位置；若求出t=±2√6，应舍去负值。19.（10分）一次函数方案比较解：（1）甲方案：y₁=12x+60；乙方案：y₂=18x+30，其中x为非负整数。（2）比较两式：y₁-y₂=(12x+60)-(18x+30)=30-6x。令y₁=y₂，得x=5。当0≤x<5时，y₁-y₂>0，乙更省钱；当x=5时，两方案费用相同；当x>5时，y₁-y₂<0，甲更省钱。若结合实际次数，x取非负整数。采分点分值写出两个函数表达式并注明变量意义3分求交点横坐标x=52分用差值或图像上下位置分类3分结合实际给出完整选择结论2分常见失分提醒：只比较斜率不能直接判断全部范围；必须先找到交点，再按交点两侧分类。

20.（12分）抛物线与直线的公共点分类解题核心：把图像公共点问题转化为方程根的问题，同时保留几何面积的绝对值意义。（1）当k=0时，直线l为y=3。令x²-4x+3=3，得x²-4x=0，即x(x-4)=0。公共点为(0，3)，(4，3)。（2）一般地，令x²-4x+3=kx+3，整理得x²-(k+4)x=0，即x[x-(k+4)]=0。方程总有根x=0，对应公共点A(0，3)。另一个根为x=k+4。当k=-4时，两根重合，直线与抛物线只有一个公共点；当k≠-4时，两根不同，直线与抛物线有两个不同公共点。（3）当k≠-4时，两个公共点可记为A(0，3)，B(k+4，k(k+4)+3)。三角形OAB以OA为一条竖直边，OA=3，点B到y轴的距离为|k+4|。因此S△OAB=1/2×3×|k+4|=3|k+4|/2。由面积为9，得|k+4|=6，所以k=2或k=-10。两值都不等于-4，符合有两个不同公共点的条件。步骤评分细则分值第（1）问正确代入k=0并解方程；写出两个坐标3分第（2）问建立交点方程并分解为x[x-(k+4)]=02分第（2）问能以k=-4为分界，写出一个公共点与两个公共点两类3分第（3）问写出A，B坐标或说明B到y轴距离为|k+4|2分第（3）问列面积方程并解得k=2或-10，完成检验2分分类讨论提醒：本题不能只看判别式，因为交点方程因常数项抵消而一定含有根x=0；真正的分界点来自两个根是否重合，即k+4是否为0。常见失分提醒：①把B的横坐标写成k而不是k+4；②面积公式中漏写绝对值，导致只得k=2；③求得k=-4后仍当作两个交点参与面积计算。学生二次订正区（Q20）：请重写“交点个数分类依据”与“面积绝对值来源”。______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

21.（12分）直线与圆的位置关系分类解题核心：直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离d与半径r比较决定；弦长由垂径定理计算。（1）直线l：y=x+t可化为x-y+t=0。圆心O(0，0)到直线l的距离为d=|t|/√(1²+(-1)²)=|t|/√2。（2）圆O的半径r=5。比较d与5：当|t|/√2<5，即|t|<5√2时，直线与圆相交，有两个公共点；当|t|/√2=5，即t=±5√2时，直线与圆相切，有一个公共点；当|t|/√2>5，即|t|>5√2时，直线与圆相离，没有公共点。（3）设弦AB长为6，则半弦长为3。连接圆心到弦的垂线，形成直角三角形：d²+3²=5²，故d=4。由|t|/√2=4，得|t|=4√2，所以t=4√2或t=-4√2。两条直线y=x+4√2与y=x-4√2关于原点中心对称，且到圆心距离相同，截得弦长相等。步骤评分细则分值第（1）问化为一般式x-y+t=0并写出点到直线距离公式3分第（2）问明确半径r=5，并用d与r比较2分第（2）问完整写出相交、相切、相离三类及对应t范围4分第（3）问利用半弦长3和半径5求d=42分第（3）问求得t=±4√2并说明对称关系1分分类讨论提醒：分界值应写成±5√2，不要只写t=5√2；因为直线在圆心两侧对称，正负截距都可能出现。常见失分提醒：①距离公式分母误写为2而不是√2；②把“相切”归入相交两点；③弦长为6时半弦长应为3。学生二次订正区（Q21）：请画出“圆心到直线距离—弦长”关系简图，并写出三类范围。____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

22.（14分）压轴探究：抛物线、面积与等腰分类解题核心：先用图像确定点的位置，再把长度关系转化为代数方程。分类讨论时，应分别比较三组边长。（1）令y=0，得x²-2x-3=0，即(x+1)(x-3)=0，所以A(-1，0)，B(3，0)。令x=0，得C(0，-3)。抛物线y=(x-1)²-4，所以顶点D(1，-4)。（2）P(t，t²-2t-3)，且-1<t<3时，P在x轴下方。AB=4，P到x轴距离为-(t²-2t-3)=-t²+2t+3。S△PAB=1/2×4×(-t²+2t+3)=-2t²+4t+6=8-2(t-1)²。故最大值为8，此时t=1，P(1，-4)。（3）Q(t，0)，PQ=-t²+2t+3，CQ=√(t²+9)，CP=√[t²+(t²-2t)²]。因t≠0且-1<t<3，△CPQ不退化。分类一：PQ=CQ。平方得(-t²+2t+3)²=t²+9，化简为t(t-4)(t²-3)=0。结合范围和t≠0，得t=√3。分类二：PQ=CP。平方得(-t²+2t+3)²=t²+(t²-2t)²，化简为7t²-12t-9=0，解得t=(6±3√11)/7，均在(-1，3)内。分类三：CQ=CP。平方得t²+9=t²+(t²-2t)²，即(t²-2t)²=9，等价于(t-3)(t+1)(t²-2t+3)=0。所得t=-1或3为端点，会使P落在x轴且三角形退化，故本类无符合条件的解。综上，t=√3或t=(6±3√11)/7。（4）S△CPQ=1/2×|t|×PQ=2。由于-1<t<0时，1/2×(-t)(-t²+2t+3)的最大值小于2，不产生满足条件的解；当0<t<3时，方程为1/2·t(-t²+2t+3)=2。整理得-t³+2t²+3t-4=0，即(t-1)(t²-t-4)=0。结合0<t<3，得t=1或t=(1+√17)/2。抛物线对称轴为x=1。t=1时，P在对称轴上；t=(1+√17)/2>1，P在对称轴右侧。步骤评分细则分值第（1）问正确求A，B，C，D四点坐标3分第（2）问写出AB=4及P到x轴距离1分第（2）问建立面积表达式8-2(t-1)²并求最大值、点P坐标3分第（3）问列出PQ，CQ，CP三条边长或平方表达式2分第（3）问按PQ=CQ、PQ=CP、CQ=CP三类讨论并筛选非退化解3分第（4）问正确列面积方程并解得t=1或(1+√17)/2，判断位置2分常见失分提醒：①把点P到x轴的距离写成t²-2t-3而未取相反数；②等腰三角形只讨论一种相等关系；③未排除t=0、t=-1、t=3等退化情形；④面积中漏写|t|，导致负面积。学生二次订正区（Q22）：请按“边长表达—三类等腰—范围筛选—退化排除”的顺序重写第（3）问。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Q20—Q22解题规范自查表自查项目Q20Q21Q22是否写出分类分界点是否说明图形意义或距离意义是否检验参数范围是否排除重合、相切、退化等特殊情况是否把最终答案