2026届高三数学高考冲刺模拟试卷（含答案详解与评分标准）

2026届高三数学高考冲刺模拟试卷（含答案详解与评分标准）学校：班级：姓名：考号：考试时间：120分钟满分：150分考试类型：高考冲刺模拟答题方式：闭卷注意事项：1．本卷用于2026届高三数学高考冲刺阶段考前检测，试题分为选择题、填空题和解答题三部分。2．答题前请填写学校、班级、姓名和考号；选择题每题只有一个正确选项。3．解答题应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程，仅写结果不能获得相应过程分。4．本卷满分150分，考试时间120分钟。请合理安排时间，保持卷面清楚。一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1．已知集合如下，则A∩B为（）A．{−1，0，1，2，3}B．{−1，0，1，2}C．{0，1，2，3}D．{1，2，3，4}2．设复数z满足下式，则z的实部为（）A．−1B．0C．1D．23．函数f(x)如下，则f′(1)=（）A．1/2B．1C．2D．44．一个袋中有5个红球和4个蓝球，每个球除颜色外完全相同。从中不放回地任取3个球，取到至少2个红球的概率为（）A．5/21B．25/42C．10/21D．13/215．数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+3，则a₅=（）A．29B．45C．61D．936．已知向量a与b满足如下条件，则|a−b|=（）A．1B．√7C．√10D．√137．在区间[0，π/2]上，函数f(x)=sin2x+cos2x取得最大值时的x为（）A．π/8B．π/6C．π/4D．3π/88．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为2，侧棱长为√3，则该三棱柱的体积为（）A．√3B．2√3C．3D．69．抛物线y²=4x在点P(1，2)处的切线方程为（）A．y=−x+3B．y=2xC．y=x−1D．y=x+110．已知函数f(x)=x³−3ax在x=1处取得极小值，则a=（）A．−1B．1C．2D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。请把正确答案填写在题中横线上。11．二项式展开式中x²的系数为________。12．若a>0，b>0，且2a+b=6，则ab的最大值为________。13．若α∈(π/2，π)，且sinα+cosα=√3/2，则sin2α=________。14．圆x²+y²−4x+2y−4=0的圆心到直线3x−4y+1=0的距离为________。15．双曲线x²/a²−y²/b²=1的离心率为2，且焦距为8，则实半轴长a=________。16．若直线y=x+m与圆x²+y²=4相切，则m²=________。三、解答题：本大题共6小题，每小题17分，共102分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17．（17分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知下式成立，且b=2√3。（1）求A与B的关系；（2）若△ABC的面积为3√3，求a与c的可能取值。作答区：18．（17分）已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，a₁=1，并且对任意正整数n都有Sₙ=2aₙ−n。（1）求数列{aₙ}的通项公式；（2）设bₙ=n/(aₙ+1)，Tₙ=b₁+b₂+…+bₙ，求Tₙ，并判断Tₙ与2的大小关系。作答区：19．（17分）某校在高考冲刺阶段组织一次数学限时检测，随机抽取40名高三学生的成绩并按区间统计如下表。成绩区间[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]人数511168（1）用组中值估计这40名学生的平均成绩；（2）用样本频率估计从该校高三学生中随机抽取1人成绩不低于90分的概率p，并求独立抽取3人时恰有1人成绩不低于90分的概率；（3）从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取2人进行答题复盘，求至少有1人成绩不低于90分的概率。作答区：20．（17分）如图形关系所示，四边形ABCD为边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，M为PB的中点。（1）证明CD⊥平面PAD；（2）求异面直线AM与CD所成角的余弦值；（3）求点M到平面PCD的距离。作答区：21．（17分）已知椭圆C：x²/4+y²=1。过点P(0，1)作直线l：y=kx+1（k≠0），直线l与椭圆C交于P，B两点，O为坐标原点，Q为PB的中点。（1）说明直线l与椭圆C有两个不同交点的条件；（2）求△OPB面积的最大值；（3）求点Q的轨迹方程，并写出取值范围。作答区：22．（17分）已知函数fₐ(x)=eˣ−ax−1，其中a为实数。（1）当a=2时，求fₐ(x)的单调区间和极小值；（2）讨论方程fₐ(x)=0的实根个数；（3）若对任意实数x都有fₐ(x)≥0，求a的值。作答区：

参考答案与解析本答案与试题题号一一对应。选择题、填空题每题3分；解答题每题17分，按给分点累计。一、选择题答案12345678910CBBBCDACDB1．答案C。由x²−3x−4<0得−1<x<4，B中的整数为−1，0，1，2，3，交集取同时满足两条件的元素，所以A∩B={0，1，2，3}。2．答案B。分母实数化：(1+2i)/(2−i)=(1+2i)(2+i)/5=(2+5i−2)/5=i，因此实部为0。3．答案B。f′(x)=1/(x+1)+1/(3−x)，代入x=1得f′(1)=1/2+1/2=1。4．答案B。至少2个红球分为“2红1蓝”和“3红”两类，概率为[C(5,2)C(4,1)+C(5,3)]/C(9,3)=(40+10)/84=25/42。5．答案C。令bₙ=aₙ+3，则bₙ₊₁=2bₙ，b₁=4，故aₙ=4·2ⁿ⁻¹−3，a₅=64−3=61。6．答案D。|a−b|²=|a|²+|b|²−2|a||b|cos150°=4+3−4√3·(−√3/2)=13，故|a−b|=√13。7．答案A。f(x)=√2sin(2x+π/4)。当2x+π/4=π/2时取最大值√2，此时x=π/8，且在给定区间内。8．答案C。底面为边长2的正三角形，面积为√3；侧棱垂直底面且长√3，体积V=√3·√3=3。9．答案D。对y²=4x求导得2yy′=4，点P处y′=1，切线为y−2=x−1，即y=x+1。10．答案B。f′(x)=3x²−3a，x=1为极值点得a=1；此时f″(1)=6>0，确为极小值点。二、填空题答案111213141516569/2−1/411/52811．(x+1/x)^8的通项为C(8,k)x^(8−2k)。令8−2k=2，得k=3，系数为C(8,3)=56。12．由b=6−2a，得ab=6a−2a²=−2(a−3/2)²+9/2，故最大值为9/2。13．两边平方得1+sin2α=3/4，所以sin2α=−1/4；α在第二象限时该符号也相符。14．圆配方为(x−2)²+(y+1)²=9，圆心为(2，−1)。到直线3x−4y+1=0的距离为|6+4+1|/5=11/5。15．焦距2c=8，故c=4；离心率e=c/a=2，所以a=2。16．圆心到直线x−y+m=0的距离为|m|/√2。相切时|m|/√2=2，故m²=8。三、解答题答案、解析与评分标准17．答案与解析由C=π−A−B，得sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB。已知2sinAcosB=sinC，因此sinAcosB=cosAsinB，即sin(A−B)=0。由于A、B为三角形内角，故A=B。因为A=B，所以a=b=2√3。又C=π−2B，利用正弦定理得c/sinC=b/sinB，从而c=2bcosB=4√3cosB。面积S=1/2·a·c·sinB=12sinBcosB=6sin2B。由S=3√3，得sin2B=√3/2。当2B=π/3时，B=π/6，c=4√3·(√3/2)=6；当2B=2π/3时，B=π/3，c=4√3·(1/2)=2√3。两种情形均满足三角形条件。因此a=2√3，c=6或2√3。给分点分值写出sinC=sin(A+B)并化简出sin(A−B)=04分得出A=B，进而a=b=2√33分利用正弦定理或等腰三角形关系得c=4√3cosB3分建立面积方程6sin2B=3√33分分类求出c=6或c=2√3并说明均成立4分18．答案与解析当n≥2时，aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁=(2aₙ−n)−[2aₙ₋₁−(n−1)]，整理得aₙ=2aₙ₋₁+1。又a₁=1，令cₙ=aₙ+1，则cₙ=2cₙ₋₁，c₁=2，故cₙ=2ⁿ，aₙ=2ⁿ−1。由aₙ+1=2ⁿ，得bₙ=n/2ⁿ。于是Tₙ=Σ(k/2ᵏ)。用错位相减：Tₙ=1/2+2/2²+…+n/2ⁿ，(1/2)Tₙ=1/2²+2/2³+…+n/2ⁿ⁺¹，两式相减得(1/2)Tₙ=1/2+1/2²+…+1/2ⁿ−n/2ⁿ⁺¹。因此Tₙ=2−(n+2)/2ⁿ。由于(n+2)/2ⁿ>0，所以Tₙ<2。给分点分值由Sₙ−Sₙ₋₁建立递推关系aₙ=2aₙ₋₁+14分构造cₙ=aₙ+1并求出aₙ=2ⁿ−14分写出bₙ=n/2ⁿ与Tₙ求和式3分用错位相减或等价方法求Tₙ=2−(n+2)/2ⁿ4分判断Tₙ<2并说明理由2分19．答案与解析（1）取各组组中值65，75，85，95，估计平均成绩为(65×5+75×11+85×16+95×8)/40=3270/40=81.75分。（2）样本中不低于90分的有8人，所以p=8/40=1/5。独立抽取3人时恰有1人不低于90分的概率为C(3,1)(1/5)(4/5)²=48/125。（3）样本中不低于80分的共有16+8=24人，其中不低于90分的有8人。抽2人至少有1人不低于90分的概率为1−C(16,2)/C(24,2)=1−120/276=13/23。给分点分值正确选取组中值并列出平均数计算式4分求出估计平均成绩81.75分2分用频率估计p=1/53分列出并求得二项分布概率48/1254分用对立事件求出至少1人的概率13/234分20．答案与解析（1）因为ABCD为正方形，所以CD⊥AD，且CD∥AB。又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD。直线AD与PA在平面PAD内相交，CD同时垂直于这两条相交直线，故CD⊥平面PAD。（2）以A为原点，AB、AD、AP所在方向分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，M(1,0,1)。因为CD∥AB，异面直线AM与CD所成角等于AM与AB所成角。向量AM=(1,0,1)，AB=(2,0,0)，所以余弦值为2/(2√2)=√2/2。（3）平面PCD经过P(0,0,2)，C(2,2,0)，D(0,2,0)。可得其法向量为(0,1,1)，平面方程为y+z−2=0。点M(1,0,1)到该平面的距离为|0+1−2|/√2=√2/2。给分点分值证明CD⊥AD与CD⊥PA5分推出CD⊥平面PAD2分建立坐标系并写出关键点坐标3分求得异面直线所成角余弦值√2/23分求出平面PCD方程和点面距离√2/24分21．答案与解析将y=kx+1代入椭圆方程，得x²/4+(kx+1)²=1，即(k²+1/4)x²+2kx=0。该方程有根x=0，对应点P；另一个根为x=−2k/(k²+1/4)。当k≠0时两根不同，所以直线与椭圆有两个不同交点。点B的横坐标x_B=−2k/(k²+1/4)。由于P(0,1)，△OPB的面积为1/2|x_B|=|k|/(k²+1/4)。令t=|k|>0，则面积为t/(t²+1/4)。由基本不等式或配方可知，当t=1/2时面积最大，最大值为1。设Q(x,y)为PB中点，则x=−k/(k²+1/4)，y=1/(4k²+1)。消去k得x²=4y(1−y)，即x²+4(y−1/2)²=1。由于k≠0，所以0<y<1，且y≠1；由表达式可知实际范围为0<y<1。给分点分值联立直线与椭圆并得到交点方程4分说明k≠0时有两个不同交点2分写出B点横坐标和三角形面积表达式4分求得面积最大值1及条件|k|=1/23分求出Q的轨迹方程x²+4(y−1/2)²=1及范围0<y<14分22．答案与解析（1）当a=2时，f₂′(x)=eˣ−2。令f₂′(x)=0，得x=ln2。故f₂(x)在(−∞，ln2)上单调递减，在(ln2，+∞)上单调递增。极小值为f₂(ln2)=2−2ln2−1=1−2ln2。（2）x=0恒为方程fₐ(x)=0的根。若x≠0，则方程等价于a=(eˣ−1)/x。设φ(x)=(eˣ−1)/x。可证φ在(−∞,0)与(0,+∞)上均单调递增，且φ((−∞,0))=(0,1)，φ((0,+∞))=(1,+∞)。因此a≤0或a=1时，只有根x=0；0<a<1时，除x=0外还有一个负根，共2个实根；a>1时，除x=0外还有一个正根，共2个实根。（3）若fₐ(x)≥0对任意实数x成立。若a≤0，则当x取适当负值或由单调与极限可知不能恒非负；更直接地，a=0时eˣ−1在x<0时为负，a<0时x趋向−∞时fₐ(x)趋向−∞。若a>0，fₐ′(x)=eˣ−a，最小值在x=lna处取得，最小值为a−alna−1。令h(a)=a(1−lna)−1，则h′(a)=−lna，h在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，且h(1)=0，所以h(a)≥0仅在a=1时成立。故a=1。给分点分值a=2时求导并确定单调区间4分求出极小值1−2ln22分把非零根转化为a=(eˣ−1)/x并分析φ的值域5分完整讨论实根个数3分利用最小值条件求出恒非负时a=13分解答题评分标准补充细则17．本题评分以三角恒等变换、边角关系建立、面积方程求解和分类检验为主。若考生直接由已知式变形为tanA=tanB，需要同时说明A、B为三角形内角，才能完整推出A=B；只写A=B但没有说明理由，可按已写过程酌情给2分。面积部分若采用S=1/2absinC，也可得到同样方程：a=b=2√3，C=π−2B，S=1/2·(2√3)²sin(π−2B)=6sin2B。由sin2B=√3/2得到两个角值时，必须结合0<B<π/2保留两种情况。若只给出其中一种c值，分类部分最多得2分；若两种c值都给出但没有写a=2√3，最终结果部分扣1分。18．本题评分以由前n项和推导递推关系和错位相减求和为主。利用Sₙ=2aₙ−n时，要注意n≥2时才使用Sₙ−Sₙ₋₁；若未标明范围但计算无误，可不影响通项部分主要得分。求和部分既可用错位相减，也可使用有限等比型求和公式，再令公比为1/2计算；无论使用哪种方法，都要让首项、尾项和项数一一对应。若仅写出Tₙ<2而没有给出Tₙ的精确表达式，只能得判断部分分数；若表达式写为2−(n+1)/2ⁿ一类形式，应核对代入n=1是否等于1/2，不能通过检验则求和结果不得满分。19．本题评分以统计估计、频率转化概率、二项分布模型和古典概型为主。平均数估计必须使用组中值，不能直接用区间端点代替；若组中值写对但最后小数计算出现轻微算术差错，可保留列式分。第二问中“独立抽取3人”对应二项分布模型，事件“恰有1人不低于90分”应包含1个成功和2个不成功的组合数C(3,1)。第三问是在样本中成绩不低于80分的24人中不放回抽取，不能继续按独立重复试验处理；使用对立事件更简洁，直接计算[C(8,1)C(16,1)+C(8,2)]/C(24,2)也同样给满分。20．本题评分以空间线面垂直判定、空间坐标法和点到平面距离公式为主。第一问证明线面垂直时，必须指出AD与PA是平面PAD内相交直线，且CD同时垂直于二者；只证明CD⊥AD或CD⊥PA中的一个，不能推出结论。第二问若未建坐标系，也可利用CD∥AB，把异面直线所成角转化为AM与AB所成角，再在直角三角形AMB中求解。第三问的平面方程可以用法向量法、截距式或混合积法得到；只要点M到平面PCD的距离为√2/2且过程合理，均可给满分。21．本题评分以直线与椭圆联立、根与交点对应、面积最值和轨迹消元为主。联立后得到x[(k²+1/4)x+2k]=0，是后续计算的关键。第二问面积等于1/2|x_B|，原因是P到x轴距离为1，OP可作为底边方向的参照；也可使用行列式面积公式。求最大值时，令t=|k|可避免k正负讨论。第三问消元时要从x=−k/(k²+1/4)，y=1/(4k²+1)出发，得到x²=4y(1−y)。范围0<y<1来自k≠0和分母恒正，若仅写轨迹方程而没有范围，轨迹部分不能满分。22．本题评分以导数讨论、参数方程转化和值域分析为主。第一问中f₂′(x)=eˣ−2的符号变化决定单调性，极小值必须代回原函数计算。第二问中，x=0恒为根，应先单独指出；非零根满足a=(eˣ−1)/x。函数φ(x)=(eˣ−1)/x在两个区间上的单调性可用导数证明，也可用eˣ的凸性进行说明。第三问若a≤0时，应给出不能恒非负的明确理由；a>0时要把全体实数上的非负问题转化为最小值a−alna−1≥0，再通过h(a)=a(1−lna)−1的单调性确定唯一取值a=1。客观题评分标准补充细则1．集合题的评分只看最终选项，但解析中应体现“先解不等式，再取整数交集”的顺序。若把不等式端点−1或4误认为可取，说明对开区间理解不清，本题不得分。2．复数题的关键是分母实数化。若计算过程中得到z=i，即可判断实部为0；若把i误写成实数1，则属于概念错误，不能给本题分。3．函数求导题要特别注意ln(3−x)的复合函数求导符号。因为原函数中是“减去ln(3−x)”，求导后该项贡献为+1/(3−x)。4．概率题可直接分情况计算，也可用对立事件计算“少于2个红球”。直接法中“2红1蓝”和“3红”两类互斥，应相加后再除以总数C(9,3)。5．递推数列题的简捷做法是平移构造bₙ=aₙ+3。若逐项计算，也应得到a₂=5，a₃=13，a₄=29，a₅=61；只要最终选项正确即得分。6．向量题的夹角为150°，cos150°=−√3/2。若把余弦值符号写错，会得到1或√7等干扰结果；本题考查向量模长公式的符号把握。7．三角函数题先化为√2sin(2x+π/4)，再结合区间确定最大值点。若只写最大值√2而没有确定x，不能对应本题设问。8．立体几何体积题应先求底面积。边长为2的正三角形面积为√3，高为侧棱长√3，因此体积为3。把侧面积当体积属于模型混淆。9．抛物线切线题可用导数，也可用标准切线公式yy₀=2p(x+x₀)。本题p=2，点(1,2)代入可得2y=4(x+1)，即y=x+1。10．极值参数题先由f′(1)=0求a，再用二阶导或导数符号确认极小值。这里f″(1)>0，故a=1满足题意。11．二项式题通项指数为8−2k，令其等于2得k=3。若把通项写成C(8,k)x^(8−k)·x^(−k)，也能得到同样指数。12．均值与二次函数题可用配方法。由于a>0，b>0，顶点a=3/2在可行范围内，因此最大值9/2可以取得。13．三角恒等式题由(sinα+cosα)²=1+sin2α。区间α∈(π/2,π)用于确认所得sin2α为负数，与−1/4一致。14．圆与直线距离题先配方求圆心，半径不是本题所问。把半径3误当作距离会落入干扰。距离公式分母为√(3²+(−4)²)=5。15．双曲线基本量题中焦距为2c，不是c。由2c=8得c=4，再由e=c/a=2求a=2，计算链条要完整。16．直线与圆相切题以圆心到直线距离等于半径为判定。直线y=x+m化为x−y+m=0，距离为|m|/√2，故m²=8。解答题规范书写与得分口径17．三角形问题中，角的范围和边的正值是分类求解的重要依据。考生写出sin(A−B)=0后，不能只凭直觉给出A=B，还要说明A、B均为(0,π)内的角，使A−B只能为0。面积方程出现两个角值时，两个对应的边长均应保留；若其中一种情况导致三角形内角不成立，应在卷面上排除。本题两种情况都成立，所以最终答案是一个成对结果。18．数列问题中，前n项和关系通常通过Sₙ−Sₙ₋₁转化为递推关系。书写时要将n=1的已知条件和n≥2的递推分开处理，避免把S₀混入未定义情形。错位相减求和时，每一项的指数和系数要对齐，最后的尾项n/2ⁿ⁺¹最容易漏写；用n=1或n=2代入验证表达式，是保证结果可靠的有效方式。19．统计概率问题要区分“用样本估计总体”和“在样本内抽取”两类语境。第二问是独立抽取，用二项分布；第三问是在24名样本对象中抽2人，是不放回抽样。评分时重点看模型是否匹配题意，模型正确且列式完整，即使最后约分形式不同，也按正确结果计分。20．空间几何问题若采用坐标法，应先说明坐标轴取法与长度单位，使每个点的坐标有依据。证明题不能只画图判断，应写出线线垂直和线面垂直判定的条件。求点到平面距离时，平面法向量不唯一，只要方程与三点P、C、D一致，代入点M所得距离相同即可。21．解析几何问题的核心是“联立—韦达—几何量表达—消元”。本题直线过椭圆上定点P，因此一个交点已知，另一个交点由二次方程另根确定。面积最大值部分若用导数处理函数S(t)=t/(t²+1/4)，也可得t=1/2；轨迹方程必须写范围，因为消元得到的曲线往往包含原问题不能达到的点。22．导数参数问题要先分清恒等根、非零根和恒成立三个层次。方程fₐ(x)=0中x=0恒成立，不能在除以x前丢失这个根；讨论非零根时，参数a被看作函数φ(x)的函数值，值域决定根的个数。恒成立问题则要回到函数最小值，不能仅凭根的个数直接下结论。卷面给分原则1．选择题和填空题按最终答案给分，不设过程分；填空题结果可以是等值形式，但必须化简到清楚可判定的数值或代数式。2．解答题按步骤累计给分。若前一步计算错误但后续方法与该错误结果逻辑一致，可保留后续相应方法分；若关键模型选错，后续由错误模型得到的结果不再计入主要分。3．证明题必须写出判定依据。线面垂直、函数单调、数列递推、轨迹范围等内容，只给结论不能取得对应过程分。4．计算题结果与过程不一致时，以过程可追溯性为主要依据。若过程正确而末尾写错一个等价数值，可扣结论分；若只有答案而无必要过程，解答题不得满分。5．含参数问题必须覆盖所有参数范围。对边界值、特殊值和题设限制的处理属于评分重点，遗漏边界会影响分类讨论部分得分。6．全卷答案不得出现互相矛盾的结果。同一题若写出多个互斥答案且未作取舍，按能够确认的正确部分给分，结论分从严处理。核心方法与结果检验17．结果检验：当B=π/6时，A=π/6，C=2π/3，三边为2√3、2√3、6，满足较大边6小于另外两边之和4√3；面积为1/2·(2√3)·(2√3)·sin(2π/3)=3√3。当B=π/3时，三角形为等边三角形，边长2√3，面积同样为3√3。两个结果都与题设b=2√3一致。18．结果检验：通项aₙ=2ⁿ−1代入Sₙ可得Sₙ=(2²−1)+(2³−1)+…的对应求和；直接计算前几项a₁=1，a₂=3，a₃=7，前3项和为11，而2a₃−3=14−3=11，说明递推与前n项和条件匹配。Tₙ=2−(n+2)/2ⁿ代入n=1得1/2，代入n=2得1，与b₁+b₂一致。19．结果检验：样本平均数81.75落在主要人数集中的[80,90)附近，且高于80分，符合表中80分以上人数较多的特征。第二问概率48/125约为0.384，不超过1且符合p=0.2时三次试验恰有一次成功的直观大小。第三问13/23约为0.565，因在24人中有8人属于高分段，抽2人至少1人的概率大于1/2，数值合理。20．结果检验：点M为PB中点，坐标(1,0,1)位于正方体式坐标框架之中，AM与AB夹角为45°，故余弦√2/2合理。平面PCD方程y+z−2=0中，P、C、D三点代入均为0；点M代入为−1，距离为1/√2，也与图形中M靠近平面PCD的直观位置一致。21．结果检验：当|k|=1/2时，面积最大为1。取k=1/2时，B点横坐标为−2，P到x轴距离为1，所以△OPB面积为1，达到最大值。Q的轨迹方程x²+4(y−1/2)²=1是一个椭圆弧；当|k|趋近0时，Q趋近P但不能取到P，当|k|趋向无穷时，Q趋近原点但不能取到原点，故范围0<y<1合理。22．结果检验：a=1时，f₁(x)=eˣ−x−1，这是基本不等式eˣ≥1+x的等号情形，等号仅在x=0成立，因此对任意实数x均非负。a=2时，极小值1−2ln2为负，说明方程除0外还有正根，这与第二问a>1时共有2个实根的结论相互吻合。典型失分点对应处理1．审题失分主要来自把“至少”“不低于”“相切”“极小值”“恒成立”等词语看成普通计算条件。评分时先看学生是否把这些词转化为正确的数学语言：至少对应分类或对立事件，不低于对应闭区间端点，相切对应距离等于半径，极小值对应导数变号或二阶导判定，恒成立对应最值条件。2．计算失分主要来自符号与范围。三角函数中角的范围、向量中cos150°的负号、圆心坐标中的配方符号、双曲线焦距2c与c的区别，都属于本卷客观题的关