2026届上海市浦东新区高三数学高考一模模拟试卷（含答案详解与评分标准）

2026届上海市浦东新区高三数学高考一模模拟试卷（含答案详解与评分标准）学校：____________班级：____________姓名：____________考号：____________考试时间：120分钟满分：150分考试节点：高考一模适用年级：高三注意事项1．本试卷为高考一模阶段复习检测卷，满分150分，考试时间120分钟。2．答题前请将学校、班级、姓名和考号填写清楚；选择题、填空题答案填写在客观题作答区。3．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤；只写结果不得满分。4．作图、计算和证明均应书写规范，答案书写在题后规定位置。学生作答区（选择题与填空题）题号12345678910答案题号111213141516答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个正确选项）1．（3分）设复数z=(1-2i)/(1+i)，则|z|等于（）A．frac√(10)2B．√(5)C．(5)/(2)D．frac√(2)22．（3分）已知集合A=xmidlog_2(x-1)≤q2，B=xmidx^2-6x+5<0，则A∩B为（）A．(1,5)B．[1,5]C．(1,5]D．[1,5)3．（3分）二项式(x^2-(2)/(x))^5的展开式中x^4项的系数为（）A．20B．40C．-40D．804．（3分）已知向量veca=(2,1)，vecb=(m,3)，若veca⊥vecb，则实数m的值为（）A．-(3)/(2)B．(3)/(2)C．-6D．65．（3分）若x∈(0,(π)/(2))且sin2x=frac√(3)2，则所有满足条件的tanx之和为（）A．√(3)B．frac4√(3)3C．frac2√(3)3D．2√(3)6．（3分）一组数据2,4,6,a,b的平均数为5，方差为8，且a>b，则a的值为（）A．3B．5C．8D．107．（3分）曲线y=lnx+ax在点x=1处的切线经过点(2,4)，则a为（）A．(1)/(2)B．1C．(3)/(2)D．28．（3分）在三棱锥S-ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，SA⊥ABC，且SA=3，则点S到直线BC的距离为（）A．√(10)B．√(11)C．√(13)D．59．（3分）椭圆(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1(a>b>0)的离心率为frac√(3)2，且经过点(2,1)，则b^2等于（）A．1B．2C．3D．410．（3分）已知函数f(x)=x^3-3x，若方程f(x)=t有三个不同实数根，则实数t的取值范围为（）A．(-∞,-2)B．(-2,2)C．[-2,2]D．(2,+∞)二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。请将结果填在客观题作答区）11．（3分）已知数列a_n满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=________。12．（3分）袋中有5个红球和3个蓝球，从中不放回地任取2个。已知取出的球中至少有1个红球，则两球均为红球的概率为________。13．（3分）圆x^2+y^2-4x+2y+4=0的一条经过原点且斜率为负的切线斜率为________。14．（3分）若θ∈(0,(π)/(2))，且tanθ=2，则sin2θ=________。15．（3分）函数f(x)=x^3-3ax有两个极值点，且极大值为4，则a=________。16．（3分）正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1的棱长为2，直线A_1C与平面ABCD所成角为α，则sinα=________。三、解答题（本大题共6小题，共102分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（14分）已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos^2x-1。（1）求函数f(x)的最小正周期和最大值；（2）求方程f(x)=1在区间[0,(π)/(2)]上的解；（3）在△ABC中，若A∈(0,(π)/(2))，f(A)=1，b=√(3)，c=2，求边a的长。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________18．（16分）已知数列a_n满足a_1=1，a_n+1=3a_n+2(n∈N^*)。（1）证明数列a_n+1为等比数列；（2）求a_n的通项公式；（3）设S_n=a_1+a_2+·s+a_n，求S_n，并求使S_n>1000成立的最小正整数n。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________19．（16分）某校在高考一模复习阶段对100名高三学生进行数学阶段检测，成绩按10分一组整理如下表：分数段[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)[100,110]人数818342614（1）用各组中点估计这100名学生成绩的平均数；（2）从成绩不低于90分的学生中按分层抽样抽取20人，求两个分数段各应抽取的人数；（3）在（2）所得样本中，从20人中随机选2人参加经验交流。若成绩在[100,110]的人记为“优秀”，设选出的2人中优秀人数为X，求X的分布列和数学期望。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________20．（18分）如图形关系可由下列条件确定：在长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，AB=4，AD=3，AA_1=2。点E为B_1C_1的中点，点F在线段AD上且AF=1。（1）求直线EF与平面ABB_1A_1所成角的正弦值；（2）求点D到平面A_1EF的距离；（3）若点P在线段CC_1上，且平面A_1EP与平面ABCD所成角的正切值为frac√(73)12，求CP的长。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________21．（18分）已知椭圆C:(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1(a>b>0)的右焦点为F(√(3),0)，且椭圆经过点(2,1)。（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点(3,0)的直线l:y=k(x-3)与椭圆C交于M,N两点。若OM⊥ON，求k^2；（3）在（2）的条件下，求△OMN的面积。_______________________________________________________________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参考答案与解析一、选择题答案与解析题号12345678910答案AABABDCBBB选择题评分标准：每小题3分。选对得3分，错选、多选或不选均得0分。1．选A。z=((1-2i)(1-i))/(2)=(-1-3i)/(2)，所以|z|=frac√(1+9)2=frac√(10)2。2．选A。由log_2(x-1)≤2得1<x≤5；由x^2-6x+5<0得1<x<5，交集为(1,5)。3．选B。通项为C_5^k(x^2)^5-k(-(2)/(x))^k=C_5^k(-2)^kx^10-3k，令10-3k=4，得k=2，系数为C_5^2·4=40。4．选A。由veca·vecb=0得2m+3=0，故m=-(3)/(2)。5．选B。2x∈(0,π)，故2x=(π)/(3)或2x=(2π)/(3)，即x=(π)/(6)或x=(π)/(3)，tanx之和为frac√(3)3+√(3)=frac4√(3)3。6．选D。平均数为5得a+b=13；方差为8得2^2+4^2+6^2+a^2+b^2=5(8+25)=165，故a^2+b^2=109，ab=30。又a>b，故a=10,b=3。7．选C。f(1)=a，f'(1)=1+a，切线方程为y=a+(1+a)(x-1)=(1+a)x-1。代入(2,4)得2(1+a)-1=4，所以a=(3)/(2)。8．选B。底面中AB=AC=2且互相垂直，点A到BC的距离为√(2)。又SA⊥ABC，故点S到BC的距离为√(SA^2+2)=√(11)。9．选B。由离心率e^2=1-(b^2)/(a^2)=(3)/(4)，得a^2=4b^2。代入点(2,1)得(4)/(4b^2)+(1)/(b^2)=1，故b^2=2。10．选B。f'(x)=3x^2-3，函数在x=-1处取极大值2，在x=1处取极小值-2。水平线y=t与曲线有三个不同交点当且仅当-2<t<2。二、填空题答案与解析题号111213141516答案572/5-4/34/52^(2/3)√3/3填空题评分标准：每小题3分。结果正确得3分；等价形式正确亦可得满分；结果错误或未作答得0分。11．由a_n+1+1=2(a_n+1)且a_1+1=2，得a_n=2^n-1。故前5项和为(2+4+8+16+32)-5=57。12．“至少一红”的情况数为C_8^2-C_3^2=25，两球均红的情况数为C_5^2=10，所求概率为(10)/(25)=(2)/(5)。13．圆的圆心为(2,-1)，半径为1。直线y=kx与圆相切，得frac|2k+1|√(k^2+1)=1，解得k=0或k=-(4)/(3)。斜率为负时k=-(4)/(3)。14．由二倍角公式sin2θ=(2tanθ)/(1+tan^2θ)=(4)/(5)。15．f'(x)=3x^2-3a。函数有两个极值点需a>0，极大值在x=-√(a)处，且f(-√(a))=2a^(3)/(2)=4，得a=2^(2)/(3)。16．直线A_1C在平面ABCD内的射影为AC，A_1C=sqrt(2√(2))^2+2^2=2√(3)，故sinα=frac22√(3)=frac√(3)3。三、解答题答案、解析与评分标准17．答案与解析因为f(x)=sin2x+cos2x=√(2)sin(2x+(π)/(4))。（1）最小正周期为T=(2π)/(2)=π，最大值为√(2)。（2）由sin2x+cos2x=1，得√(2)sin(2x+(π)/(4))=1。在x∈[0,(π)/(2)]时，2x∈[0,π]，解得2x=0或2x=(π)/(2)，所以x=0或x=(π)/(4)。（3）因A∈(0,(π)/(2))，故由（2）得A=(π)/(4)。由余弦定理，a^2=b^2+c^2-2bccosA=3+4-2√(3)·2·frac√(2)2=7-2√(6)，所以a=sqrt7-2√(6)。评分标准：化简为sin2x+cos2x并写出振幅形式3分；周期2分，最大值2分；区间内方程求解4分；利用三角形条件并用余弦定理求边长3分。18．答案与解析（1）由递推式得a_n+1+1=3a_n+3=3(a_n+1)，又a_1+1=2，所以a_n+1是首项为2、公比为3的等比数列。（2）a_n+1=2·3^n-1，故a_n=2·3^n-1-1。（3）S_n=∑_i=1^n(2·3^i-1-1)=2·(3^n-1)/(3-1)-n=3^n-1-n。当n=6时，S_6=3^6-1-6=722；当n=7时，S_7=3^7-1-7=2179，故使S_n>1000成立的最小正整数为n=7。评分标准：构造a_n+1并证明等比数列4分；通项公式4分；求和公式5分；比较确定最小n值3分。19．答案与解析（1）用组中点估计平均数：x̄=(8·65+18·75+34·85+26·95+14·105)/(100)=87。（2）成绩不低于90分的共有26+14=40人，抽取20人。按比例，[90,100)段抽取20·(26)/(40)=13人，[100,110]段抽取20·(14)/(40)=7人。（3）样本中优秀人数为7，非优秀人数为13。随机选2人，X可能取0，1，2。X012P39/9591/19021/190其中P(X=0)=fracC_13^2C_20^2=(39)/(95)，P(X=1)=fracC_13^1C_7^1C_20^2=(91)/(190)，P(X=2)=fracC_7^2C_20^2=(21)/(190)。数学期望E(X)=0·(39)/(95)+1·(91)/(190)+2·(21)/(190)=(7)/(10)。评分标准：平均数估计4分；分层抽样人数4分；写出X取值及各概率6分；数学期望2分。20．答案与解析以A为原点，分别以AB,AD,AA_1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(4,0,0),D(0,3,0),A_1(0,0,2),E(4,(3)/(2),2),F(0,1,0)。（1）→EF=(-4,-(1)/(2),-2)。平面ABB_1A_1为y=0，其法向量可取vecn=(0,1,0)。直线与平面所成角的正弦值为frac|→EF·vecn||→EF|=frac(1)/(2)√(16+(1)/(4)+4)=(1)/(9)。（2）→A_1E=(4,(3)/(2),0)，→A_1F=(0,1,-2)，法向量可取vecn_1=→A_1E×→A_1F=(-3,8,4)。平面A_1EF方程为-3x+8y+4z-8=0。点D(0,3,0)到该平面的距离为frac|24-8|√(9+64+16)=frac16√(89)。（3）设P(4,3,t)，其中0≤t≤2，则CP=t。平面A_1EP的法向量可取vecn_2=((3)/(2)t-3,8-4t,6)。平面ABCD的法向量为(0,0,1)，两平面夹角φ满足tanφ=frac√(((3)/(2)t-3)^2+(8-4t)^2)6。由题意tanφ=frac√(73)12，得(73)/(4)(t-2)^2=(73)/(4)，且0≤t≤2，所以t=1，即CP=1。评分标准：建立坐标系并写出关键点坐标