数据得概括性度量

第3章数据得概括性度量

(-)主要公式

名称公式

XR〃为奇数

中位数乐)+等，"为偶数

n

简单样本平均数

n

加权样本平均数

x=^-------

n

XXJrXXL

几何平均数Gm=VI2---^n1fiXi

V1=1

1/_Z力-工〃_,_fm

异众比率

R~ZZ

四分位差Qd=Qu-QL

极差R=max(*)-min(xj

tk-司

简单平均差

^=-——

t!n

El^-x|z

加权平均差

也---------

n

简单样本方差

J-,2__i=\________

n-\

£（%-元产

简单样本标准方差

5=1

£”-幻2力

加权样本方差

52=^-----------

n-\

W(M-斤力

加权样本标准差1=1____________

n-\

x-x

标准分数4=t

s

s

离散系数

X

3

未分组数据得偏态系数SK=(〃一嬴一2)Z

ks)

分组数据得偏态系数力(MF),

SK=^---------------

ns

K_，K〃+1)Z®一无)4-3(Z3一无)2)2(〃-I)

未分组数据得峰态系数

(H-1XH-2XH-3)V4

t(M-君"

分组数据得峰态系数

K=^-------------3

ns4

第6.7章抽样与参数估计公式

名称

总体均值得置信区间（正态总体，已知）0

X-Z。/，­J=

总体均值得置信区间（未知，大样本）_,s

X-Za/2f-

总体均值得置信区间（正态总体，未知，小

_,S

样本）X±%2不

总体比例得置信区间

5-1)$22J〃-1)，/

总体方差得置信区间

Xa/2Xl-cr/2

(Za/2)%?

估计总体均值时得样本容量n=------r-----

E2

(ZQ•乃(1-))

估计总体比例时得样本容量n=----------；---------

E2

7、2某快餐店想要估计每位顾客午餐得平均花费金额。在为期3周得时间里选

取49名顾客组成了一个简单随机样本。

(1)假定总体标准差为15元，求样本均值得抽样标准误差。

=2.143

(2)在95%得置信水平下，求边际误差。

,由于就是大样本抽样，因此样本均值服从正态分布，因此概率度t=

因此，=1.96X2.143=4.2

(3)如果样本均值为12()元，求总体均值得95%得置信区间。

置信区间为：

==(115.8,124.2)

7、4从总体中抽取一个n=100得简单随机样本，得到二81,s=12。

要求，

大样本，样本均值服从正态分布：或

置信区间为：，==1、2

(1)构建〃得90%得置信区间。

==1.645,置信区间为：=(79、03,82.97)

(2)构建〃得95%得置信区间。

==1.96,置信区间为：=(78、65,83.35)

(3)构建〃得99%得置信区间。

==2.576,置信区间为：=(77、91,84.09)

7.132117207081629

一家研81211921251516

究机构

想估计

在网络

公司工

作得员

工每周

加班得

总体均值检验得统计量(未知，大样本)

s/y/n

总体均值检验得统计量(正态总体，未知，小样本)

s/yjn

z_P-^

总体比例检验得统计量限(1一肛)

V〃

总体方差检验得统计量

5；

8.2一种元件，要求其使用寿命不得低于700小时。现从一批这种元件中遁机

抽取36件，测得其平均寿命为680小时。已知该元件寿命服从正态分布，=60

小时，试在显著性水平0.05下确定这批元件就是否合格。

解：HO:口2700；Hl:u<700

已知：=6X()=6()

由于n=36>30,大样本，因此检验统计量：

x—_680_700_.

Z।L

s/>/n60/V36

当a=0、05,查表得=1.6450因为z<-,故拒绝原假设，接受备择假设，说

明这批产品不合格。

8.4糖厂用自动打包机打包，每包标准重量就是10()千克。每天开工后需

要检验一次打包机工作就是否正常。某日开工后测得9包重量(单位：千克)如下:

99.398.7100.5101.298.399.799.5102.1100.5

已知包重服从正态分布，试检验该日打包机工作就是否正常(a=0.05)?

解：HO:u=100；Hl:u^100

经计算得：=99、9778S=1.21221

检验统计量：

自)99.9778-10()

=-()、()55

s/4n1.21221/>/9

当Q=0、05,自由度n—1=9时，查表得=2.262o因为V，样本统计量落

在接受区域，故接受原假设，拒绝备择假设，说明打包机工作正常。

8.10装配一个部件时可以采用不同得方法，所关心得问题就是哪一个方法得

效率更高。劳动效率可以用平均装配时间反映。现从不同得装配方法中各抽取

12件产品，记录各自得装配时间(单位：分钟)如下：

甲方法：313429323538343029323126

乙方法：262428293()29322631293228

两总体为正态总体，且方差相同。问两种方法得装配时间有无显著不同(a=

0.05)?

解：建立假设

HO:ul-u2=0Hl:一〃2WO

总体正态，小样本抽样，方差未知，方差相等，检验统计量

,二—)

11I

sn/—+—

荷〃2

根据样本数据计算，得=12,=12,=31.75,=3.19446,=28、

6667,=2.46183o

„2_(〃1-1)5；+(勺-1)$

3

n}+n2-2

(12-1)X0.922162+(12-1)X0.710672

=-----------------------------------=8、1326

12+12-2

=2.648

a=0、05时,临界点为=2.074,此题中＞,故拒绝原假设,认为

两种方法得装配时间有显著差异。

8.11调查了339名50岁以上得人，其中205名吸烟者中有43•个患慢性

气管炎，在134名不吸烟者中有13人患慢性气管炎。调查数据能否支持“吸烟

者容易患慢性气管炎”这种观点(a=0.05)?

解：建立假设

HO:Hl:Jil>Ji2

0=43/205=0、2097n1=205以=13"34=0、097n2=134

检验统计量

Z-[r

〃%(1二乙)+二区)

V%〃2

_(0.2098-0.097)-0

10.2098(1-0.2098)0.097(1-0.097)

V205+134

—3

当a=0、05,查表得=1.645o因为>,拒绝原假设，说明吸烟者容易患慢

性气管炎。

8.15有人说在大学中男生得学习成绩比女生得学习成绩好。现从一个学校中

随机抽取了25名男生与16名女生，对她们进行了同样题目得测试。测试结果表

明，男生得平均成绩为82分，方差为56分，女生得平均成绩为78分，方差为49

分。假设显著性水平a=0.02,从上述数据中能得到什么结论？

解：首先进行方差就是否相等得检验：

建立假设

HO:=；H1:#

nl=25,=56,n2=16,=49

==1.143

当a=0、02时，=3.294,=0、346。由于VFV,检验统计量得值落在接

受域中，所以接受原假设，说明总体方差无显著差异。

检验均值差：

建立假设

H0:〃/一〃2W0H1:〃/一〃2>0

总体正态，小样本抽样，方差未知，方差相等，检验统计量

根据样本数据计算，得=25,=16,=82,=56,=78,=49

=53.308

=1.711

a=O.02时,临界点为口=口=2、125,t

V口,故不能拒绝原假设,不能认为大学中

男生得学习成绩比女生得学习成绩好。

第10章方差分析

名称公式

A/s组间平方和SSA

组间方差

自由度k-l

“GF组内平方和SSE

组内方差MSE=自由度

方差分析得检验统计量

7V5Fc

R2=SSA（组间SS）

关系强度得测量

'SS7（总SS）

多重比较得£敛LSD="+—）

nifJj

第11章相关与回归分析

名称公式

_吃所

相关系数

6歹一24炉—(Zyf

n-20

相关系数检验得统计量、〜/(〃2)

-r-

回归方程得截距氐=歹-而

O_i=li=li=l

回归方程得斜率(回归系数)P\_zX2

i=1V1=17

R:SSR=ZG02

判定系数

2

~ssr~x(yi-y)

_历

估计标准误差_[SSE

，"V-n^l~-

F=SSR/i-〜F(n-2)

线性关系检验得统计量

SSE/n-2

A

回归系数检验得统计得统计量Z=—~t(n-2)

s

A

1(%-无产

%土力2、十

y得平均值得置信区间『力巧-君2

[

I»=i

%土％2、i+L，。-行

y得个别值得预测区间V〃f(再-元)2

i=\

修正得多重判定系数R2=l-(1_R2)X"]

n-k—\

11.11从20得样本中得到得有关回!J三结果就是：SSR=60,SSE=40。要检验x与y

之间得线性关系就是否显著，即检验假设：。

(1)线性关系检验得统计量F值就是多少？

(2)给定显著性水平a—0、05,Fa就是多少？

(3)就是拒绝原假设还就是不拒绝原假设？

(4)假定x与y之间就是负相关，计算相关系数r。

(5)检验x与y之间得线性关系就是否显著？

解：(1)SSR得自由度为k=l；SSE得自由度为n-k-l=18；

因此：F===27

(2)==4.41

(3)拒绝原假设，线性关系显著。

(4)r===0、7746,由于就是负相关，因比r=・0、7746

(5)从F检睑瞧线性关系显著.

第12章

解：自变量3个，观察值15个。

回归方程：二657、()534+5.710311X1-0.416917X2-3.471481X3

拟合优度：判定系数R2=0、70965,调整得=0、630463,说明三个自变量对因

变量得影响得比例占到63%。

估计得标准误差二109、429596,说明随即变动程度为109、429596

回归方程得检验：F检验得P=0、002724,在显著性为5%得情

况下，整个回归方程线性关系显著。

回归系数得检脸：得t检验得P=O、008655,在显著性为5%得情况下，y与XI

线性关系显著。

得I检验得P=0、222174,在显著性为5%得情况下,y与X2线性关系不显著。

得t检验得P=0、034870,在显著性为5%得情况下,y与X3线性关系显著。

因此，可以考虑采用逐步回归去除X2,从新构建发性回归模型。

12、3根据两个自变量得到得多元回归方程为，并且已知n=10,SST=6724、

125,SSR=6216.375,,=0、05670要求：

(1)在a=0、05得显著性水平下，与y得线性关系就是否显著？

(2)在a=0、05得显著性水平下，就是否显著？

(3)在a=0、05得显著性水平下，就是否显著？

解(1)回归方程得显著性检验：

假设：H0：==0H1：,不全等于0

SSE=SST-SSR=6724.125-6216.375=507、75

F===42.85

=4.74,F＞,认为线性关系显著。

(2)回归系数得显著性检验：

假设：H0:=0Hl:W0

t===24.72

=2.36,＞，认为y与xl线性关系显著。

(3)回归系数得显著性检验：

假设：H0:=0Hl:W0

t===83.6

二2.36,＞，认为y与x2电视广告费用工：x1(万报纸广告费用工2(万元)

线性关系显著。元)

12、4一家电器销售公司得

管理人员认为，每月得销售

额就是广告费用得函数、并

想通过广告费用对月销售额

作出估计。下面就是近8个

月得销售额与广告费用数

据：

月销售收入y(万元)

965.01.5

902.02.0

954.01.5

922.52.5

953.03.3

943.52.3

942.54.2

943.02.5

3.02.5

要求：

(1)用电视广告费用作自变量，月销售额作因变量，建立估计得回归方程。

(2)用电视广告费用与报纸广告费用作自变量，月销售额作因变量，建立估

计得回归方程。

(3)上述(1)与⑵所建立得估计方程，电视广告费用得系数就是否相同？对

其回归系数分别进行解释。

(4)根据问题⑵所建立得估计方程，在销售收入得总变差中，被估计得

回归方程所解释得比例就是多少？

(5)根据问题⑵所建立得估计方程，检验回归系数就是否显著(a=0、05)o

解：(1)回归方程为：

(2)回归方程为：

(3)不相同，(1)中表明电视广告费用增加1万元，月销售额增加1.6万元;

(2)中表明，在报纸广告费用不变得情况下，电视广告费用增加1万元，月销售

额增加2.29万元。

(4)判定系数R2=0、

919,调整得=()、8866,

比例为88、66%o

(5)回归系数得显著性下限上限

检验：<Coefficien标准误LowerUpper95.0%95.0%

ts差tStatP-value95%95%

1.5738652.88244.57E-0

83.23009988

Intercept79、1843387、2758579、1843387、27585

电视广告费用工：xl(万

元)2.2901840、7、0、1.5085613.0718061.5085613.071806

304065531899000653

4.05669

1.3009890、70、2.1253792.125379

报纸广告费用x2(万元)3207020097610\4765990、476599

假设：H0:=0Hl:W0

2.29

A==7、53

SR0.304

=2.57,>,认为y与xl线性关系显著。

（3）回归系数得显著性检验：

假设：H0:=0Hl:W0

1===4.05

口=2、57f□>□,认为y与x2线性关系显

著。

第13章时间序列分析与预测

名称公式

GjJ-l

环比增长率

%

定基增长率「匕一天匕1

G=幺…工7二也7

平均增长率

VoXJH

GA=（/*"-1

年度化增长率

£（匕-K）

平均预测误差

ME7-----------

n

平均绝对预测误差MID=Z."J

n

卜出-瓦）2

均方预测误差

MSE=M----------

n

Y-F\

」~^-xlOO

平均百分比预测误差K

MPE=—~-----------乙

n

111

简单平均法预测“1=一(匕+丫2+…+匕)=；2匕

1tr=l

_y工一八1+K-A+2+…+匕_]+Z

移动平均法预测F

k

指数平滑法预测Fl+}=aYl+(\-a)F,

线性趋势方程得截距与斜率

a=Y—In

Xy=+b£t+c^t2

二次曲线得标准方程组

=/++cw〃

£lgy=〃lga+lg比/

指数曲线得标准方程组

E"gy=igQZ/+igbZ/2

,(s-s.p

h=-3------

、s*-s、,

a=S-SJ1

修正指数曲线得未知数2"伙"J)?

ifW-I)'

〃zIb-\)

仅「邑、r

b=电二%

)h-l

龚伯茨曲线得未知数VIge【二(§2-S

1b(b,n-])2

工」卜

■

叭〃一1J

-sS

b=江上

1-5J

a=(S,-SJ—J,

Logistic曲线未知数<2"伙3”-1)2

1(1)1

)武/?-1)

第14章指数

名称公式

加权综合价格指数

_工PM

加权综合销售量指数

"ZPo%

:ZPM

1

加权平均价格指数PI