自动控制理论学习笔记

1、控制系统的工作原理

T检测输出量(被控制量)的实际值；

一将输出量的实际值与给定值(输入量)进行比较得出偏差；

一用偏差值产生控制调节作用去除偏差，使得输出量维持期望的输出。

2、反馈控制方式工作原理：

根据被控量的反馈信息，即实际输出晨，来修正控制装置对被控对象的控制作用，完成控制任务。

3、开环控制方式工作原理：

在控制器和被控对象之间只有正向控制而没有反馈控制，即系统的输出量对控制量没有影响。

4、复合控制方式工作原理：

开环+反馈

5、自动控制系统的分类：

一线性定常控制系统

其中：c(r)-----系统输出，r(t)----系统输入。

一线性定常离散控制系统("2工〃)

其中：r——输入采样序列，c——输出采样序列。

-＞非线性控制系统(系数与变量有关)

6、典型外作用：

一单位阶跃信号(unitstepfunction)

一单位斜坡信号(unitrampfunction)

-＞单位脉冲信号(unitpulsefunction)

单位脉冲信号的一个性质：[：凶)出=1

—＞单位加速度信号(unitaccelerationfunction)

7、线性元部件及系统的微分方程：

RLC串联电路如下图所示，试写出系统的微分方程

8、拉氏变换：

＞拉氏变换

一拉氏反变换

-＞拉氏变换性质

齐次性和叠加性：L[afx(/)+/?/,(r)]=aF](s)+bF2(s)

廷时定理：L[f(t-i)]=e-TSF(s)

衰减定理：L{e-a,f(t)]=F(s^a)

相似定理：如加=%9

微分性质：£(4/(/)]=/(/)]=/尸⑸,f(t)]=S"与⑸

dtdrdt

积分性质：L[\fWt]=-F(s),f(t)dt2]=1尸($),...〃J..J/⑺力”]=JAs)

终值定理：lim/(r)=lim5F(5)

/-5-^0

初值定理：lim/(r)=lim5F(5)

/—>05—>30

卷积定理:4工⑴*加切=”<⑺皿⑴]=£(s)咆⑸

像函数的微分性质：U/f(/)]=-竺应

as

1

像函数的积分性质：£[-/(/)]=[F(s)ds

9、部分分式展开法：

已知Rs)=3=----------皿---------

A(s)(s-)(s-〃2)•••($一P“)

一若A(s)=0有n个单根，则有F(y)=里*=----------2⑤----------=£---

A(s)(s-p})(s-p2)...[s-pn)i=i(s-Pj)

其中各部分分式的系数为仁=尸(s)

ST",

->若A(s)=O有重极点，假设有m重极点s=〃1,则有

&二,“=lim(s-〃J"F(s)

STPl

1d,("I'

其中《-------lim——[(5-pJ"/(s)]

7=7n-l.7n-2....一

—・・口瞰一/”⑸

10、传递函数：

线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变化之比，称为传递函数。

11、传递函数的零点和极点：

上面介绍的传递函数经因式分解可写成如下形式

传递函数分子多项式的根z,成为传递函数的零点，分母多项式的根巧称为传递函数的极点，K称为传递系

数或根轨迹增益。

传递函数的极点决定了系统的响应形式(模态)，零点影响各模态在响应中所占的比重。

12、典型环节及其传递函数：

一比例放大环节

输出量以一定比例不失真也无时间滞后地复现输入信号

C(s)

传递函数为G(s)==K

R(s)

T惯性环节

惯性环节中因为含有储能元件，故突变的信号不能立即复现。

C(5)_1

传递函数为G(s)=

R(s)-7\+1

一积分环节

输出量正比于输入量的积分。

传递函数为

尺(s)TtsS

一微分环节

理想的微分环节，其输出量与输入量的导数成比例。

传递函数为G(s)=C&2=7>

RG)

一延时环节

输出在经过一段时间的延时后才复现输入信号。

传递函数为G(s)=3=eF

RG)

一振荡环节

有一对共加复极点几2=一她土j①

传递函数为G"黑=4缶石=金商1

T2S2+2T^S+\

13、系统结构框图的等效变换和简化：

系统结构框图基本连接方式有三种：串联、并联、反馈。

->串联方框的简化

〃个环节串联后的总传递函数等于各环节的传递函数的乘积。

一并联方框的他化

〃个环节串联后的总传递函数等于各环节的传递函数的代数和。

一反馈方框的简化

反馈连接方式的一般形式为

14、信号流程图的绘制：

通过系统微分方程绘制信号流程图

一将微分方程通过拉氏变换，得到s的代数方程；

一每个变量指定一个节点；

T将方程按照变量的因果关系排列；

一连接各节点，标明支路增益。

通过系统结构图绘制信号流程图

一用个圆圈标出传递的信号，得到节点；

T用线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。

15、梅森公式：

其中：〃一一从输入节点到输出节点之间前向通路的总数.

Pk一一从输入节点到输出节点的第L条前向通路总增益。

A——系统特征式

A,——第攵条前向通道的余子式，即对于系统特征式△，将与第k条前向通路想接触的火炉传递函数代

以零值，余下的△即为△(

其中：Z4一一所有单独回路增益之和。

^LbL一一所有两两互不接触回路增益乘积之和。

Lt所有二个互不接触回路增益乘枳之和。

16、动态过程和稳态过程:

动态过程

T系统在典型信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程,又称过渡过程或瞬态过程。

稳态过程

T系统在典型输入信号作用下，当时间Z趋于无穷时，系统输出量为表现形式，又称稳态响应。

17、动态性能定义及指标：

在零初始条件下，给系统一单位阶跃输入，其输出为单位阶跃响应，记为h⑴。力«)随时间变化的状况称

为系统的动态性能指标。

一延迟时间勿：响应曲线第一次达到其终值一半所需时间。

一上升时间响应曲线从终值10%上升到90%所需的时间；对振荡系统可定义为响应从零第一次上升到终值

所需时间。。越小，表示系统动态响应越快。

T峰值时间L,：响应超过其终值达第一个峰值所需时间。

一调节时间「响应到达并保持在稳态值的±5%(或±20%)误差范围内所需的最短时间。f,越小，表示系统

动态响应过程越短，快速性好。

一超调量。％：响应的最大偏移量川乙,)与终值力(8)之差的百分比，即

T振荡次数N：在调节时间内，响应曲线穿越稳态值的次数的%。N越小，表示系统稳定性越好。

18、一阶系统的时域分析：

控制系统的运动方程为一阶微分方程，称为一阶系统。

一微分方程：T^+c(/)=r(/)

dt

C(s)_1

一传递函数:

R(s)~Ts+\

一一阶系统的单位阶跃响应：输入为输出为〃⑺=l-e'(rNO)

一线性系统对输入信号导数的响应，等于系统对输入信号响应的导数。

一一阶线性系统的典型响应与时间常数T密切相关。只要时间常数7小，单位阶跃响应调节时间小，单位斜坡响

应稳态值滞后时间也小，但是一阶系统不能跟踪加速度函数。

19、二阶系统的时域分析：

控制系统的运动方程为二阶微分方程，称为二阶系统。

一微分方程：/学1+竽+cC)=Nf)

drdt

T传递函数：3=-1---------,例之,

R(s)尸/+27'夕+1—+2gs+gj

其中：①“一一无阻尼自然振荡频率

g阻尼系数

T——时间常数

-＞二阶系统开环传递函数：G（.v）=-----z----

s（s+2g.）

一二阶系统的特征方程：/+2g5+gj=（）

一二阶系统的特征根（系统闭环极点）：”2=-&“±。〃百2-1

20、二阶系统的单位阶跃响应：

输入为“，）=£（，），输出的拉氏变换为

二阶系统的响应形式由二阶系统的特征根决定。

-＞过阻尼二阶系统（J＞1）

此时，C（s）=^——%----；」=&+A+4

s~+2&y”S+&'SS（5-S））（5-52）

A)=[C(S)71=0=1

]

其中,A=es)«f)]f

+7^i)

-1________

A2=[C(S)・(S—S2)]5F

2泥匚l（&—庐吊

极点在s平面上的分布

结论：当专＞1时，输出响应为一条上升曲线（无振荡）；当J增大时，系统响应速度变慢；实际工程中当J21.5

时，可将二阶系统视为一阶系统。

一欠阻尼二阶系统（0＜Jvl）

此时，心.2=-弧±4业2-1，令o=M，5=4业2-1,则

其中：（T---衰减系数

①d---阻尼振荡频率

极点在S平面上的分布

因为sin（a+£）=sinacosft+cosasinft

所以cQ)=1一-=J=e"sin(q+0)

4

其中夕=arctan=arccos4为阻尼角一一特征根在s平面上的特征向量与负实轴的头角。

-＞无阻尼二阶系统（4=0）

此时，系统有一对共规纯虚根Sl2=±jCD"

极点在S平面上的分布

一临界阻尼二阶系统（4=1）

此时，系统有两个相等的负实根“2=-例

极点在S平面上的分布

21、：对系统响应的影响：

一当彳>1时，系统为过阻尼状态，在g增加时系统的响应减慢；

一当o<g<i时，系统为欠阻尼振荡状态，j增加，将减小系统的振荡，减小超调量，但是上升时间、调节时

间加大；

一当S=（）时，系统为无阻尼状态，输出为正弦曲线，系统处于临界稳定状态；

一当4=1时，系统为临界阻尼状态.是振荡与不振荡的分界线;

T当自然平率例增加时，系统的响应速度加快，但是系统响应的峰值保持不变，超调量由阻尼系数唯i确定。

22、欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的动态性能指标：

一上升时间单位阶跃响应从零第一次升到稳态所需的时间。

由。(。)=1得，c(rr)=l一-7=^="9sin(3”一?(+0=1，即

Vw7

上述方程的通解为例一+尸二左万,其中，Q=arctan在直

九一B

故

一峰值时间0：单位阶跃响应超过稳态值到第一个峰值所需的时间。

即f=0

-1

[-勒"/2%sin(69〃J1_=2?+夕)+co”止-&2产。coMgJlg2fp+/?)]

dt

-产。⑷,Jl一铲cos⑷J1—记"+0)—&&Sin(%Jl+0]

一尺铲r所以

=0

0yJl-TcosWJ-。,+0)—MsinQ,-也+0=。

即tan(凡Ji-丁力+为=J?

又BA—arctan------

4

所以

①$7r

一超调量cr%：单位阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。

芯

所以CF%=«QX100%

->调节时间4：单位阶跃响应进入±A误差带的最小时间。

根据定义|c(4)-c(oo)|<Axc(co)

即彳sin3〃Jlg匕+P)<A

因为sin（例而a+夕）卜1

所以,<A

34

4一，(A=5%)或(工——,(A=2%)

弛g

23、结构参数J、4对单位阶跃响应性能的影响:

一平稳性主要由J决定：J越大，。％越小，平稳性越好；J=0时，系统等幅振荡，不能稳定工作。

一快速性：一定时，J越小，.越大：J过大时，系统响应迟钝，调节时间。也长，快速性差。

一通常根据允许的最大超调量来确定g,然后再调整你以获得合适的瞬态响应时间。一g=（）.7时，调节时间最

短，快速性最好，而超调量。％<5%,平稳性也好，故4=0.7为最佳阻尼比。

24、二阶系统性能的改善：

一引入比例一一微分控制环节

引入比例一微分控制，使系统阻尼比增加，从而抑制振荡，使超调减弱，改善系统平稳性；

零点的出现，将会加快系统响应速度，使上升时间缩短，峰值提前，又削弱了“阻尼”作用.因此适当选择

微分时间常数，使系统具有过阻尼，则响应将在不出现超调的条件下，显著提高快速性；

不影响系统误差，自然频率不变。

一引入微分反馈控制环节

速度反馈使J增大，振荡和超调减小，改善了系统平稳性：

速度负反馈控制的闭环传递函数无零点，其输出平稳性优「比例一微分控制；

系统跟踪斜坡输入时稳态误差会加大，因此应适当提高系统的开环增益。

25、系统极点分布对时域响应的影响：

一闭环极点都在s平面的左半平面，则系统稳定；

一极点的性质决定瞬态分量的类型：

实数极点一一非周期瞬态分量

共枕复数极点一一阻尼振荡瞬态分最

T极点距虚轴的距离决定了其所对应的暂态分量衰减的快慢.距成越远衰减越快。

26、系统零点分布对时域响应的影响：

T系统零点影响各个瞬态分量的相对强度，如果在某一极点附近存在零点，则其对应的瞬态

分量的强度将变小；

一一对靠的很近的零点和极点其瞬态响应分量可以忽略；

一如果闭环零点和极点的距离比其模值小一个数量级，则该极点和零点构成一对偶极子，可以对消，称为偶极子

对消。

27、闭环主导极点：

T假若距虚轴较远的闭环极点的实部与距虚轴最近的闭环极点的实部的比值大于或等于5,且在距虚轴最近的闭

环极点附近不存在闭环零点。这个离虚轴最近的闭环极点将在系统的过渡过程中起主导作用，称之为闭环主导极

点。

一高阶系统，如果能够找到主导极点，就可以忽略其它远离虚轴的极点和偶极子的影响，近似为一阶或二阶系统

进行处理。

28、线性系统的稳定性分析：

T稳定性：如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准询度恢复到原来

的平衡状态，则系统是稳定的；否贝J,系统不稳定。

T系统稳定的充要条件：系统所有闭环特征根均具有负的实部，即闭环极点都在S平面的左半平面。稳定性与零

点无关。

29、判定系统稳定性的基本方法：

一劳斯一一赫尔维茨判据

线性系统特征方程为：O(s)=《卢"++...+《1Ts+%,%>0

则系统闭环稳定的充要条件是：

(1)特征方程各项系数均大于零，即q>0,7=1,2,...,〃：

(2)赫尔维茨行列式全部为正，即

一劳斯稳定判据

设系统的特征方程为：+...+4-S+4=0

根据特征方程的各项系数排列成下列劳斯表：

劳斯判据：控制系统稳定的充要条件是劳斯阵列第一列元素不变符号。

第一列元素变号的次数为特征根在s右半平面的个数，即特征方程含有正实部根的个数。

劳斯判据的两种特殊情况：

(1)劳斯表某行的第一列项为零，而其余各项不为零或不全为零：用一个足够小的正数£代替为零的项，然后

继续计算余下的系数；

(2)劳斯表中出现全零行：表明特征方程具有对称于原点的根。将全零行的上一行的各项构成一个辅助多项式

(其阶次总是偶数)，对辅助多项式各项对s求导后所得系数代替全零行的各项，继续计算余下各行。

30、稳态误差:

一稳杰误差是系统的稳态性能指标，是对系统控制精度的度量。对稳定的系统研究稳态误差才有意义，所以计算

稳态误差应以系统稳定为前提。

一误差和稳态误差：

(1)按输入端定义的误差：E(s]=R(s)—B(s),可以测量，又称偏差；

(2)按输出端定义的误差：E(s)=R(s)-C(s),无法测量，只有数学意义。

误差信号e(r)中，包含瞬态分量/")和稳态分量的"),系统必须稳定，当时间趋于无穷时，必有4。)趋于

零。控制系统的稳态误差定义为误差信号e(f)的稳态分量e“(8),简记为e“。

一误差传递函数：

由终值定理可知：e、、=lime(f)=limsf(s)=lim---——

-8zOST。1+G(S)〃(S)

一系统的类型：

一般情况下，分子阶次为〃2,分母阶次为〃的开环传递函数可表示为：

其中：v为积分环节个数。控制系统按V/的不同值可分为：0型、I型和H型系统。

一阶跃输入下稳态误差及静态位置误差系数：

r(r)=1,R(S)=L

令K“=limG(s)”(s),称为系统的静态位置误差系数,

所以e0型系统:

K〃=K,ess=—

1+K,P觉1+K

I型系统：AT=oo,r=0

II行系统：0,=8,4s=0

T斜坡输入下稳态误差及静态速度误差系数：

r(r)=t,R(s)=L

令K=称为系统的静态速度误差系数,

vl-iSmsG(s)H(s),

所以％二」-，。型系统：Kv=0,r=8

Ky

I型系统：KV=K.

II行系统：K、=g,ess=0

一加速度输入下稳态误差及静态加速度误差系数：

1,1

r(r)=-r-,/?Gv)=—,

2$3

2

令Ka=lim,vG(.v)H(.v).称为系统的静态速度误差系数.

所以《二」-，0型系统：K0=0,45=8

35US3

I型系统：K0=0,6=8

n行系统：Ka=K,exs=1

K

31、减小和消除稳态误差的方法：

-＞提高系统的开环增益K；

T增加开环传递函数中积分环节V；

一以上两种方法都会导致系统的稳定性变差；

一系统在多个信号共同作用下总的稳态误差等于多个信号单独作凡下的稳态误差之和。

32、根轨迹

一根轨迹（rootlocus）简称根迹，它是开环系统某一参数（如开环增益）从零变到无穷时，闭环系统特征方程

式的根在s平面上的变化轨迹。

33、根轨迹绘制的基本规则

一根轨迹起于系统开环极点，终于系统开环零点，如果开环零点数加小于开环极点数〃，则有条根轨迹

趋向于无穷远；

一根轨迹的分支数与开环零点数〃？、开环极点数〃中的大者相等，它们是连续的并且关于实轴而称：

-根据根轨迹的对称性，只需作出上半s平面的根轨迹，然后利用对称关系，即可画出下半s平面的根轨迹；

一根轨迹的渐近线（与实轴的交点和夹角）

（1）渐近线与实轴的倾角见二空B丝，％=042，”阳—1

n-m

阳

2>广£>,.

（2）渐近线与实轴的交点％=归------,式中马、”,分别为开环系统的零点和极点。

n-m

注意：一般只有在5-〃?）之2时，需要计算渐近线与实轴的交点和夹角。

一根轨迹在实轴上的分布：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨

迹。

（3）根轨迹的分离点与分离角：两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的

分离点（或汇合点），它对应于特征方程中的二重根。分离角定义为根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点

的切线方向的夹角。

分离点坐标：y—=y—；分离角：&左+1）乃〃，其中/为相遇乂立即分开的根轨迹的条数，i=2

j=id_zji=]d-pi

时，分离角必为直角。

（4）根轨迹的起始角和终止角：根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角称为起始角或；根轨迹进

入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角称为终止角牝o

34、线性系统的频域分析

频域分析是在正弦信号作用下，考察系统稳态输出与输入量之间的振幅比和相位差的变化规律，其基本思想

是把系统中的各个变量看成一些由大同频率正弦信号组合而成的信号，系统响应为对不同频率信号的响应的总

和。

系统对正弦信号的稳态响应称为频率响应，频率响应包括幅频特性4。）和相频特性0（。）o

一个稳定的线性定常系统，输入正弦信号时，输出稔定后也是同频率正弦信号，并且输出信号的振幅和相位

均为输入信号的函数.

输出稳态分量与输入正弦信号的复数比称为该系统的频率特性函数，简称频率特性，记作

G…船=4犷yGMNG

频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数只需用“。代替S即可得到频率特性。

35、频率特性的图形表示是描述系统的输入频率切从0到8变化时频率响应的幅值、相位与频率之间关系的一

组曲线。

序号名称图形常用名坐标系

1幅相频率特性曲线极坐标图极坐标

乃奎斯特图

2对数频率特性曲线伯德图半对数坐标

3对数幅相频率特性曲线尼柯尔斯图对数幅相坐标

T幅相频率特性曲线：对于一个确定的频率，必有一个幅频特性的幅值和一个幅频特性的相角与之对应，幅值和

相角在复平面上代表一个向量。当频率/从零变化到无穷时，相应向量的矢端就描绘出一条曲线，即幅相频率

特性曲线，简称幅相曲线，又称Nyquist图。

一对数频率特性曲线：又称伯德曲线，由对数幅频曲线和对数相频曲线组成。对数幅频曲线的横坐标采用对数分

度(Igo),单位为弧度/秒(rad/s),纵坐标按L(co)=201g|G(»|=201gA(co)线性分度，单位是分贝(dB)；

对数相频曲线的纵坐标按

旗。)线性分度，单位是度(°)o由此构成的坐标系称为半对数坐标系。

->对数幅相频率特性曲线：对数幅相图的横坐标表示对数相频特性的相角，纵坐标表示对数幅频特性的幅值的分

贝数，又称尼柯尔斯曲线。

36、对数坐标图的特点

一展宽了低频段，压缩了高频段(低频段频率特性的形状对于控制系统性能的研究具有重要的意义)；

一当系统由多个环节串联而成时，系统的频率特性为各环节频率特性的乘积，由于对数可将乘除运算变成加减运

算。以上两式表明，当绘制由多个划、节串联而成的系统的对数坐标图时，只要将各环节对数坐标图的纵坐标相加

减即可，从而简化了画图的过程；

一在对数坐标图上，所有典型环节的对数幅频特性乃至系统的对数幅频特性均可用分段直线近似表示。这种近似

具有一定的精确度。若对分段直线进行修正，即可得到精确的特性曲线；

一若将实验所得的频率特性数据整理并用分段直线画出对数频率特性，则很容易写出实验对象的频率特性表达式

或传递函数。

37、典型环节

一比例环节：K

一惯性环节：1/(Ts+1),式中T>0

一一阶微分环节：Ts+1,式中T>0

一积分环节：1/s

一微分环节：s

一振荡环节:1/[6+4)2+2夕/七+1],式中4>0,0<^<1

一二阶微分环节：(s+例产+2夕/例+1,式中①“>0,0<^<1

38、典型环节的频率特性

一比例环节

频