湖南省邵阳市“沅邵联盟”2025-2026学年高一下学期7月期末数学试卷（含解析）

“沅邵联盟”2026年上学期高一年级期末考试数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（）A. B. C. D.3.已知一组数据：3，5，7，1，4，6，9，2，则这组数据的第75百分位数是（）A.6 B.6.5 C.7 D.7.54.在中，点D在边AB上，．记，则（）A. B. C. D.5.某圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.6.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则7.在四面体中，分别为棱的中点，，则异面直线与所成角为（）A. B. C. D.8.已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（）A.－1 B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数（为虚数单位），则以下说法正确的有（）A.复数的虚部为 B.C.复数的共轭复数为 D.复数在复平面内对应的点在第一象限10.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.B.C.若在上恰好有三个零点，则D.11.如图，在正方体中，，点为线段上一动点，则下列说法正确的是（）A.直线平面B.三棱锥的体积为C.三棱锥外接球的表面积为D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则的值为__________．13.已知一组数据分别是1，4，2，3，，它们的平均数是3，则对于以下数据：的方差是________14.甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为___________．四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平面向量与的夹角为，且.（1）求；（2）若与垂直，求的值.16.黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一．为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，求的值；并估计这100名游客对景区满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值做代表）；（2）景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率．17.在中，角的对边分别为，且满足．(Ⅰ)求角；(Ⅱ)若，的面积为，求的周长．18.如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD是正三角形，底面ABCD是正方形，且侧面PAD底面为侧棱的中点．（1）求证：∥平面；（2）求三棱锥的体积；（3）求二面角的正弦值．19.已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义函数的“和谐向量”为非零向量的“和谐函数”为．记平面内所有向量的“和谐函数”构成的集合为．（1）已知，若函数为集合中的元素，求其“和谐向量”模的取值范围；（2）已知，设（），且的“和谐函数”为，其最大值为S，求；（3）已知，设（1）中的“和谐函数”的模取得最小时的“和谐函数”为，试问在的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．“沅邵联盟”2026年上学期高一年级期末考试数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为，，故.故选：C.2.已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知有，即可求取值范围.【详解】因为函数是定义在区间上的增函数，满足，所以，解得.故选：D3.已知一组数据：3，5，7，1，4，6，9，2，则这组数据的第75百分位数是（）A.6 B.6.5 C.7 D.7.5【答案】B【解析】【详解】将数据从小到大排序为：1，2，3，4，5，6，7，9，数据个数，，所以这组数据的第75百分位数为.4.在中，点D在边AB上，．记，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，所以．故选：B．5.某圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题可知圆锥底面半径，高为等边三角形的高为，再利用锥体体积公式即可求解.【详解】因为圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，所以圆锥底面半径，高为等边三角形的高为，则圆锥的体积.故选：C.6.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】B【解析】【分析】由线面位置关系即可逐一判断各个选项.【详解】对于A，若，则或，故A错误；对于B，若，则或，若，，则；若，则存在使得，又，则，而，则，故B正确；对于C，若，则或异面或相交，C错误；对于D，若，则或异面或相交，D错误.故选：B.7.在四面体中，分别为棱的中点，，则异面直线与所成角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取的中点，得到，得到为异面直线与所成的角，在中，利用余弦定理，求得，即可得到答案.【详解】如图所示，取的中点，连接，，则，，则为异面直线与所成的角（或补角），因为，，所以，所以异面直线与所成角为．故选：D.8.已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（）A.－1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析题目条件可得，取的中点，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得结果.【详解】∵分别表示与方向的单位向量，∴以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，故所在直线为的平分线所在直线，∵，∴的平分线与垂直，故.取的中点，连接，则，由题意得，，∴.如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则，故.设，则，∴，∴，，∴，当时，取得最小值，最小值为.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数（为虚数单位），则以下说法正确的有（）A.复数的虚部为 B.C.复数的共轭复数为 D.复数在复平面内对应的点在第一象限【答案】BC【解析】【分析】根据复数虚部的概念、模长计算公式、共轭复数的概念以及其几何意义，可得答案【详解】对于A，由可得其虚部为，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，由可得其共轭复数为，故C正确；对于D，由可得其在复平面上的对应点为，易知该点位于第四象限，故D错误.故选：BC.10.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.B.C.若在上恰好有三个零点，则D.【答案】ACD【解析】【分析】A选项，由图象可得最小正周期，从而求出；B选项，，代入，结合得到；C选项，先求出，进而可得到，求出答案；D选项，先求出，结合函数的最小正周期，得到答案.【详解】A选项，设的最小正周期为，由图象可知，，即，A正确；B选项，由图象可知，故，将代入解析式得，即，又，故，解得，B错误；C选项，由B知，，当时，，在上恰好有三个零点，故，解得，C正确；D选项，由A知，的最小正周期为6，其中，，，，故，所以，D正确.故选：ACD11.如图，在正方体中，，点为线段上一动点，则下列说法正确的是（）A.直线平面B.三棱锥的体积为C.三棱锥外接球的表面积为D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】对A选项，可先证平面平面，再证线面平行；对B选项，可用等积变换的方法求三棱锥体积；对C选项，把三棱锥的外接球转化为正方体的外接球，即可得到答案；对D选项，先做出线面角，再确定线面角的三角函数的最值.【详解】对A选项：如图：连接，，因为，平面，平面，所以平面；同理平面.又，平面，所以平面平面.平面，所以平面.故A正确；对选项B：因为平面，所以：，故B正确；对选项C：因为三棱锥的外接球就是正方体的外接球，所以三棱锥的外接球半径为：，所以外接球表面积为：，故C错误；对D选项：如图：过做平面于，因为平面平面，且平面平面，所以，再连接，则在直角中，，就是直线与平面所成角，设为.因为，且的最小值为，所以，所以，故D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则的值为__________．【答案】4【解析】【分析】运用代入法，结合对数的运算性质进行求解即可.【详解】由题意可得，，所以．故答案为：413.已知一组数据分别是1，4，2，3，，它们的平均数是3，则对于以下数据：的方差是________【答案】8【解析】【分析】根据平均数求法列方程得，方差公式及性质求新数据的方差.【详解】由题意，故，所以，，，，的方差为，数据，，，，的方差是.故答案为：814.甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为___________．【答案】【解析】【分析】根据独立事件的概率公式及互斥事件的加法求解即可.【详解】设甲、乙、丙三人荣获一等奖分别记为事件，即，这三人中仅有两人获得一等奖为事件，所以，因此有，因为事件相互独立，所以有，所以这三人中仅有两人获得一等奖的概率为.四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平面向量与的夹角为，且.（1）求；（2）若与垂直，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量数量积的定义及运算律，结合模长公式即可求解；（2）根据向量垂直可得，再结合向量数量积的运算律和公式，即可求解.【小问1详解】由题意，得，则.【小问2详解】因为与垂直，所以，即，解得.16.黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一．为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，求的值；并估计这100名游客对景区满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值做代表）；（2）景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率．【答案】（1），（2）【解析】【小问1详解】由频率分布直方图，得，解得，平均数为．【小问2详解】评分在，的频率分别为0.05，0.1，则在中抽取人，记为；在中抽取4人，记为．从这6人中随机抽取2人，样本空间：，共有15个结果，设选取的2人评分分别在和内各1人为事件A，则，共有8个结果，所以．17.在中，角的对边分别为，且满足．(Ⅰ)求角；(Ⅱ)若，的面积为，求的周长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)本题首先可以通过正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形内角和将转化为，即可得出角的值；(2)首先可通过余弦定理求出的值，再通过解三角形面积公式即可求出的值，最后求出周长．【详解】（1）因为，所以，即由，得，得，因为，所以；（2）由余弦定理，得，即，因为，所以，所以，，所以周长为．【点睛】本题考查了三角函数的相关性质，主要考查了三角恒等变换以及解三角形的相关公式，解三角形相关公式有：，，，考查计算能力，考查化归思想，是中档题．18.如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD是正三角形，底面ABCD是正方形，且侧面PAD底面为侧棱的中点．（1）求证：∥平面；（2）求三棱锥的体积；（3）求二面角的正弦值．【答案】（1）证明：如图，连接交于，连接，因为底面是正方形，所以为中点，又为侧棱的中点，所以，又平面平面，所以平面；（2）（3）【解析】【分析】（1）连接BD交AC于O，连接EO，根据已知证明，再应用线面平行的判定证明结论；（2）取的中点为，连接，由面面垂直的性质定理证明平面，再由棱锥的体积公式求体积；（3）取BC的中点G，连接FG，PG，易得、，再由线面垂直的判定和性质定理及二面角的定义有为二面角的平面角，进而求其正弦值.【小问1详解】略【小问2详解】取的中点为，连接，易知，且，又平面底面，平面底面，平面，所以平面，则．【小问3详