2026年高考数学必修一全套复习讲义

2026年高考数学必修一全套复习讲义总序：必修一，高考数学的基石与航标同学们，当你们翻开这份讲义时，意味着你们已经站在了高考数学复习的关键节点。必修一的内容，不仅仅是高中数学的开篇，更是整个高中数学知识体系的基石。它所蕴含的数学思想方法，如数形结合、分类讨论、函数与方程思想，将贯穿你们整个高中乃至未来的数学学习。本讲义旨在帮助同学们系统梳理必修一的核心知识，查漏补缺，深化理解，并能熟练运用解决实际问题。在复习过程中，希望同学们能做到：回归课本，夯实基础——不要轻视任何一个基本概念和公式；勤于思考，悟透本质——不仅要知其然，更要知其所以然；多做练习，善于总结——通过适量的练习巩固知识，提炼方法，归纳题型。请记住，数学的复习，绝不是简单的知识点回顾，而是对知识体系的重构与深化，是思维能力的锤炼与提升。愿这份讲义能成为你们备考路上的得力助手，祝同学们复习顺利，在即将到来的高考中取得理想的成绩。---第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念与表示1.1.1集合的基本概念我们在初中阶段就已经接触过一些“集合”的影子，比如“正数的集合”、“有理数的集合”等。在数学中，集合是一个不加定义的原始概念，我们通常将某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称“集”。集合中的每个对象称为这个集合的元素。理解集合的概念，关键在于把握其三个特性：1.确定性：对于一个给定的集合，任何一个对象是否为这个集合的元素是明确的，要么是，要么不是，二者必居其一。例如，“我们班高个子的同学”就不能构成一个集合，因为“高个子”没有明确的标准。2.互异性：一个集合中的元素是互不相同的。也就是说，集合中的元素不重复出现。例如，由数字1,2,2,3组成的集合，实际上是{1,2,3}。3.无序性：集合中的元素没有先后顺序之分。例如，集合{1,2}与{2,1}是同一个集合。集合通常用大写的拉丁字母表示，如A,B,C,...；元素通常用小写的拉丁字母表示，如a,b,c,...。如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A。我们要特别注意一些常见的数集及其专用符号：*N：非负整数集（或自然数集），包括0,1,2,...*N*或N⁺：正整数集，即1,2,3,...（注意：有些教材中N*可能不包含0，使用时需结合具体定义，但高考中通常以教材为准）*Z：整数集，包括...,-2,-1,0,1,2,...*Q：有理数集，即整数和分数的统称。*R：实数集，即有理数和无理数的统称。1.1.2集合的表示方法掌握集合的表示方法，是我们进行集合运算的前提。常用的集合表示方法有：1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法。*适用场景：元素个数有限且较少，或者元素个数无限但有明显规律的集合。*例如：由方程x²-3x+2=0的所有解组成的集合，可以表示为{1,2}；正整数集N*可以表示为{1,2,3,...}。*注意：元素之间用逗号隔开；列举时不考虑元素顺序；相同元素只写一次。2.描述法：用集合所含元素的共同特征来表示集合的方法。一般形式为{x|P(x)}，其中x是集合中元素的代表形式，P(x)是元素x所满足的共同特征（即性质）。*适用场景：元素个数较多或无限，且元素具有明显共同特征的集合。*例如：不等式2x-1>3的解集可以表示为{x|2x-1>3}，或进一步化简为{x|x>2}；平面直角坐标系中第一象限的点组成的集合可以表示为{(x,y)|x>0,y>0}。*注意：竖线“|”前面的x（或其他字母）是代表元素，指明了集合中元素的类型；竖线后面的P(x)是元素所满足的条件，要写清楚。在不引起混淆的情况下，代表元素的范围有时可以省略，如{x∈R|x>2}也可简记为{x|x>2}，但如果是{x∈Z|x>2}则不能省略。3.图示法（Venn图）：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为Venn图。Venn图主要用于直观地表示集合之间的关系和运算，在后续学习中会经常用到。*例如：集合{1,2,3}可以用一个圆圈（或其他封闭图形）表示，圆圈内部写上1,2,3。在表示集合时，要根据集合的特点选择恰当的方法。有时，一个集合可以用多种方法表示，我们应选择最简洁明了的方式。例题分析：例1：判断下列各组对象能否构成一个集合，并说明理由。(1)著名的数学家；(2)我校2026级高一新生中身高超过1.7米的男生；(3)方程x²+1=0在实数范围内的解；(4)漂亮的花。解：(1)不能。“著名”没有明确的标准，不满足确定性。(2)能。“我校2026级高一新生”范围确定，“身高超过1.7米的男生”标准明确，满足确定性、互异性、无序性。(3)能。该方程在实数范围内无解，所以是空集，空集也是一个集合。(4)不能。“漂亮”没有明确的标准，不满足确定性。例2：用适当的方法表示下列集合。(1)由所有小于10的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；(2)二次函数y=x²-4的图象与x轴的交点组成的集合；(3)不等式3x-6≤0的解集。解：(1)小于10的既是奇数又是质数的自然数有3,5,7。用列举法表示为{3,5,7}。(2)令y=0，即x²-4=0，解得x=±2。所以交点坐标为(2,0)和(-2,0)。用列举法表示为{(2,0),(-2,0)}。(3)解不等式3x-6≤0，得x≤2。用描述法表示为{x|x≤2}。1.2集合间的基本关系我们研究数与数之间有大小、相等关系，同样，集合与集合之间也存在着一定的关系。1.2.1子集与真子集子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作“A含于B”（或“B包含A”）。*例如：N*⊆N⊆Z⊆Q⊆R。*规定：空集是任何集合的子集，即∅⊆A（A为任意集合）。*任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A。真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，则称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B（或B⫌A），读作“A真含于B”（或“B真包含A”）。*例如：N*⫋N。*空集是任何非空集合的真子集。如何理解子集和真子集的概念呢？可以这样想：子集允许A和B相等，而真子集则明确A比B“小”，即B中至少有一个元素不在A中。判断集合A是否为集合B的子集或真子集，最直接的方法就是看A中的所有元素是否都在B中。对于有限集，我们也可以通过比较元素个数来辅助判断（但不能仅以此为依据）。1.2.2集合相等如果集合A是集合B的子集（A⊆B），且集合B也是集合A的子集（B⊆A），那么我们称集合A与集合B相等，记作A=B。*这意味着集合A和集合B中的元素完全相同。*例如：若A={x|x²-1=0}，B={-1,1}，则A=B。1.2.3子集的性质1.传递性：若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C。若A⫋B，且B⫋C，则A⫋C。2.对称性：A=B当且仅当A⊆B且B⊆A。用Venn图表示集合间的关系非常直观：*A⊆B可以表示为一个圆圈A完全在圆圈B内部（或A、B重合）。*A⫋B则表示圆圈A完全在圆圈B内部，且不重合。*A=B则表示两个圆圈完全重合。例题分析：例3：写出集合{a,b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集。解：集合{a,b}的所有子集为：∅，{a}，{b}，{a,b}。其中真子集为：∅，{a}，{b}。（注意：空集是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集；集合本身不是自己的真子集。）例4：已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={1,2}，C={x|x<3,x∈N}，判断A、B、C之间的关系。解：解方程x²-3x+2=0，得x=1或x=2，所以A={1,2}。C={x|x<3,x∈N}={0,1,2}。因此，A=B，A⫋C，B⫋C。1.3集合的基本运算集合的运算，类似于数的加、减、乘、除，是指由已知集合按照某种规则构造出一个新的集合。1.3.1交集交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与集合B的交集，记作A∩B，读作“A交B”，即A∩B={x|x∈A且x∈B}。*用Venn图表示，交集就是两个集合重叠的部分。*性质：*A∩B=B∩A（交换律）*A∩A=A*A∩∅=∅*若A⊆B，则A∩B=A例如：A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A∩B={2,4}。1.3.2并集并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作“A并B”，即A∪B={x|x∈A或x∈B}。*注意：这里的“或”是数学中的“或”，即包括三种情况：只属于A，只属于B，既属于A又属于B。*用Venn图表示，并集就是两个集合所有元素合在一起组成的区域（重叠部分不重复计算）。*性质：*A∪B=B∪A（交换律）*A∪A=A*A∪∅=A*若A⊆B，则A∪B=B例如：A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。1.3.3补集在研究集合与集合之间的关系时，如果我们所研究的集合都是某一个给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常记作U。全集是一个相对的概念，根据研究问题的不同，全集可以不同。补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁_UA，即∁_UA={x|x∈U且x∉A}。*用Venn图表示，补集就是全集U中除去集合A所占区域后剩下的部分。*性质：*A∪∁_UA=U*A∩∁_UA=∅*∁_U(∁_UA)=A*∁_UU=∅，∁_U∅=U例如：设U={1,2,3,4,5}，A={1,3,5}，则∁_UA={2,4}。1.3.4集合运算的规律除了上述基本性质外，集合的交、并、补运算还满足以下规律：*分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)*德·摩根定律：∁_U(A∩B)=∁_UA∪∁_UB；∁_U(A∪B)=∁_UA∩∁_UB这些定律可以通过Venn图直观验证，也可以通过定义严格证明。例题分析：例5：已知全集U=R，集合A={x|x≤1}，B={x|x>-2}，求A∩B，A∪B，∁_UA，∁_UB。解：在数轴上表示出集合A和B（数形结合思想的应用）：A∩B={x|-2<x≤1}A∪B=R（因为数轴上所有实数都被A或B覆盖）∁_UA={x|x>1}∁_UB={x|x≤-2}例6：已知集合A={x|x²-4x