2025-2026学年上海市宝山区通河中学高一（上）期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年上海市宝山区通河中学高一（上）期中数学试卷一、填空题1．已知全集，1，，集合，则．2．将化成有理数指数幂的形式．3．用反证法证明：若“且”，则“且”，第一步应假设．4．已知，则．5．已知幂函数的图象过点，则实数．6．“”是“一元二次方程有实数解”的条件．7．若、是方程的两根，则．8．若对任意实数恒成立，则实数的取值范围是．9．若不等式的解集为，，，则不等式的解集为．10．对任意给定的实数，有，且等号当且仅当实数的取值范围为时成立．11．已知集合，2，，且满足：“若，则”，则满足条件的集合的个数为．12．对任意实数，符号表示的整数部分，即是不超过的最大整数，在实数轴（箭头向右）上是在点左侧的第一个整数点，当是整数时就是．这个函数叫做“取整函数”，它在生产实践中有广泛的应用．那么．二、选择题13．已知且，则下列不等式正确的是A． B． C． D．14．设，，则的值是A． B． C． D．15．下列函数中：①；②；③；④．其中图像不经过原点的函数的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．若，且，则的最大值为A．2 B． C．4 D．8三、解答题17．（8分）已知集合，，，，，，若，求实数的值及．18．（8分）（1）已知，，，，，求证：；（2）已知实数，比较与的值的大小．19．（8分）已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为．（1）若，求；（2）若，求正数的取值范围．20．（10分）如图所示，刘邦文化节期间，沛县文旅在大风歌广场搭建三块完全相同的矩形沛县传统文化展台，在三块展台四周（斜线部分）铺设观赏通道已知观赏通道宽度相同，三块展台面积均为150平方米．（1）若矩形沛县地方特产展台的长比宽至少多5米，求展台宽的取值范围；（2）若矩形沛县传统文化展台四周及中间观赏通道的宽度均为2米，在（1）的条件下，求矩形沛县传统文化展台宽为多少时，整个展示区域（展示区域包含三块展台和四周（斜线部分）观赏通道）面积最小，并求其最小值．21．（12分）法国数学家佛朗索瓦韦达，在欧洲被尊称为“现代数学之父”，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，由于其最早发现代数方程的跟与系数之间的关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理．韦达定理有着广泛的应用，是高中阶段非常重要的知识内容，为了致敬前辈数学家，请同学们利用韦达定理完成以下问题．（1）关于的方程的一个实数根为2，求另一实数根及实数的值；（2）关于的方程有两个实数根、，若，求实数的值；（3）已知集合，，有且仅有3个元素，这3个元素恰为直角三角形的三条边长，求，的值．

参考答案一、填空题1．，．2．．3．或．4．．5．．6．必要不充分．7．．8．，．9．，．10．．11．4．12．3595．二、选择题13．．14．．15．．16．．三、解答题17．解：实数的值为，，，0，1，．18．解：（1）证明：因为，，，则，当且仅当，即，时，等号成立；（2）因为，因为，则，，当且仅当时，等号成立，可得，即，所以，当且仅当时，等号成立．19．解：（1）根据题意，若，则有且，解可得，即不等式的解集为，，即，；（2），则；且，又由，，即，；若，则，必有，即的取值范围是，．20．解：（1）设矩形展台的宽为米，以为展台的面积为150平方米，则长为米，依题意，即，即，即，所以矩形展台宽的取值范围是，；（2）整个展示区域的宽为米，长为米，所以整个展台的面积为：，当且仅当，即时等号成立．所以矩形展台宽为10米时，整个展示区域的面积最小，最小值是722平方米．21．解：（1）设另外一个根为，由韦达定理得，，解得，．（2）方程有两个实数根、，由韦达定理得，故，代入得，解得或，由得，故，（3）由题意可知：函数与的图象恰好