2025-2026学年上海市普陀区甘泉外国语中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

2025-2026学年上海市普陀区甘泉外国语中学高一（下）期末数学试卷一、填空题1．已知复数（其中为虚数单位），则．2．半径为6，圆心角等于的扇形的面积是．3．等比数列中，，，则．4．曲线在点处的切线方程为．5．已知，，则向量在向量方向上的投影向量为（用坐标表示）．6．记等差数列的前项和为，若，则．7．（5分）函数的减区间为．8．（5分）如图，在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则．9．（5分）设方程的两个根为、，且，则实数的值是．10．（5分）在△中，，，分别为内角，，所对的边，，，且，则△的面积为．11．（5分）如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面米处观看？（精确到0.1米）12．（5分）对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是．二、选择题13．已知，，则的值为（）A． B． C． D．14．若函数图象如图，则图象可能是（）A． B． C． D．15．（5分）已知数列为各项均不相等的等比数列，其前项和为，且，，成等差数列，则（）A．3 B． C．1 D．16．（5分）设，，函数若函数恰有3个零点，则（）A．， B．， C．， D．，三、解答题17．（14分）已知数列的前项和为，．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．18．（14分）已知为虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个虚根．（1）设、满足方程，求、；（2）设，复数、所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．19．（14分）2025年春晚《秧》节目将机器人元素融入舞台，展示了我国在机器人研发领域的卓越实力．某机器人研发团队设计了一款机器狗捕捉足球游戏，在如图所示的矩形中，在点处放置机器狗，在的中点处放置足球，它们做匀速直线运动，且无其他外界干扰．已知米，足球运动速度为米秒，设机器狗在点处捕捉到足球，若点在矩形内（含边界），则捕捉成功．记足球和机器狗的运动方向与所成夹角分别为．（1）当长度不受限制，时，机器狗以米秒的速度捕捉足球，则为何值时，机器狗能捕捉成功？（2）已知足球与机器狗运动方向所成夹角为长度不受限制，当机器狗成功捕捉足球时，求机器狗与足球运动的总路程的最大值．20．（18分）已知函数．（1）求函数的周期；（2）若函数，求函数在区间上的值域；（3）若恒成立，试求实数的取值范围．21．（18分）若函数在处取得极值，且（常数，则称是函数的“相关点”．（1）若函数存在“相关点”，求的值；（2）若函数（常数存在“1相关点”，求的值：（3）设函数的表达式为（常数、、且，若函数有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围．

参考答案一、填空题1．2．2．．3．4．4．．5．．6．110．7．．8．．9．2或0．10．．11．3.2．12．，．二、选择题13．．14．．15．．16．．三、解答题17．解：（1）由数列的前项和为，，当时，由得，，两式相减得，即为，当时，，得，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，且．（2）由（1）知，所以，所以，即．18．解：（1）因为、是实系数一元二次方程的两个虚根，所以设，．则，即，所以，，解得，，所以或．（2）由题意：，，故，故．由于向量与的夹角为钝角，设两向量夹角为，故，解得，故．19．解：（1）在△中，为，，由正弦定理知，即，所以，解得，因为，所以，此时，因为，所有点在矩形内，捕捉成功．（2）在△中，由余弦定理知，故，当且仅当时等号成立，整理得，即，此时，故机器狗与足球运动的总路程的最大值为8米．20．解：（1）因为，所以的周期．（2）由（1）知，当时，，，所以，，所以，所以函数区间上的值域为．（3）因为，所以当时，．恒成立，等价于，所以，即，解得，所以实数的取值范围为，．21．解：（1）因为在处取得极值（最值），由，解得．（2）记，在处取得极值且，由得，所以且，所以，由，得，设，所以，所以函数在区间上严格单调递增，又（1），所以方程有唯一实数根，即，解得，当时，，，，令，得或（舍去），所以在上，单调递减，在上，单调递增，所以在处取得极小值，满足题意，综上所述，的值为1．（3）由得，所以，设，为函数的“2相关点”，则且，，．则且，，所以且，解得，，，由，，设切点为，，则切线的斜率，所以切线方程为，将点代入整理，设