2025-2026学年上海市普陀区同济大学第二附属中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

2025-2026学年上海市普陀区同济大学第二附属中学高一（下）期末数学试卷一、填空题1．设是虚数单位，，则．2．函数是函数（填“奇”或“偶”．3．函数，其中的导数．4．若向量满足，且与的夹角为，则．5．已知，，则向量在向量方向上的投影向量为（用坐标表示）．6．已知平面向量，若与共线，则的值为．7．（5分）若，则．8．（5分）已知，且，则的值是．9．（5分）已知，，若与夹角为钝角，则的取值范围为．10．（5分）已知，则．11．（5分）若复数满足，则的最小值是．12．（5分）如图，矩形中，，，，分别为边，上的动点，且．则的最小值为．二、选择题13．已知，“”是“为实数”的条件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要14．已知向量，，若，则（）A．2 B． C． D．515．（5分）要得到的图象，可由函数的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度16．（5分）在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质：①该函数的值域为；②该函数为奇函数；③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数，且最小正周期为．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题17．（14分）已知是关于的方程的一个根，其中，．（1）求的值；（2）设复数满足是纯虚数，求实数的值．18．（14分）已知函数及点．（1）若点在的图象上，求曲线在点处的切线的方程；（2）若点在的图象外，过点与的图象相切的直线斜率是1，求的取值．19．（14分）如图所示，公路一侧有一块空地△，其中，，，规划局设计在中间开挖人工湖△，、都在边上，、不与、重合，在、之间），且．（1）若在距离点处，求的长度；（2）为节省投入资金，要让人工湖△的面积尽可能小，设，试确定的值，使△的面积最小，并求出最小面积．20．（18分）已知函数．（1）将函数化为的形式；（2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；（3）若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围．21．（18分）定义平面斜坐标系：如图，平面向量是两个单位向量，夹角为锐角，那么构成平面的一个基，若，则称有序数对，为在这个基下的一个斜坐标，表示为；若一个复数在该斜坐标系中对应向量，记对应的斜坐标为，．（1）若，的斜坐标为2，3，的斜坐标为1，，求的值；（2）设复数对应斜坐标向量，若，问是否存在锐角，若存在，求出，若不存在，说明理由；（3）记，在该斜坐标系中，若，求的大小；

参考答案一、填空题1．13．2．偶．3．．4．．5．．6．．7．1．8．．9．．10．0．11．5．12．16．二、选择题13．．14．．15．．16．．三、解答题17．解：（1）是关于的方程的一个根，是方程的另外一个根，，解得，；（2），，则，又是纯虚数，，解得．18．解：（1）因为，若点在的图象上，则，所以，又，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即；（2）由点在的图象外，得，则，设过点的直线与的图象切于点，则切线的斜率，由过点与的图象相切的直线斜率是1，得，解得，，所以的值为1．19．解：（1）在△中，，，，，则，在△中，已知，，，由余弦定理：，故．（2）设，则，在△中，，，由正弦定理得：．在△中，由正弦定理得：，△的面积：，令，则，，，当，即时，取得最大值，此时取得最小值：，当时，△的面积最小，最小面积为．20．解：（1）．（2）由可得，可得，令，，由可得，所以，故，故实数的取值范围是，．（3），当时，，且，因为正弦函数在上从小到大的第一个最小值点为，第二个最小值点为，因为有且只有一个，使得函数取得最小值，则，解得，故实数的取值范围是．21．解