专题04 一次函数定义与图象的学习秘籍（解析版）-初中数学一次函数专题精.编讲义

专题04一次函数定义与图象的“学习秘籍”一、知识点综述与剖析1.定义一般地，形如y=kx+b（k≠0）的函数是一次函数.注意：①k是不为0的常数；②x的指数为1；③b值为任意实数，b=0时，为正比例函数.2.图象及性质性质：①k>0时，y随x的增大而增大，图象从左到右是上升的；②k<0时，y随x的增大而减小，图象从左到右是下降的.3.如何快速画图根据一次函数图象的形状（一条直线），确定两点点连线即可（两点确定一条直线），通常选取(0，b)点和点.4.k值的意义k值决定着正比例函数的倾斜程度，|k|越大，图象越靠近y轴，即倾斜程度越大.5.b值的意义b值是一次函数与y轴交点的纵坐标，b>0时，一次函数与y轴交于正半轴；b<0，一次函数与y轴交于负半轴；b=0，一次函数与y轴交于坐标原点.6.特殊的k值k值图象－1－1－7.特殊的位置关系一次函数、（1）若；（2）若；（3）若；（4）若.8.一次函数平移规律“左加右减，上加下减”例：y=kx+b，向左平移a个单位（a>0），得到y=k（x+a）+b；向右平移a个单位（a>0），得到y=k（x－a）+b；向上平移a个单位（a>0），得到y=kx+b+a；向下平移a个单位（a>0），得到y=kx+b－a.二、典型习题解析题1.（1）若式子eq\r(,k－1)＋(k－1)0有意义，则一次函数y＝(k－1)x＋1－k的图象可能是()（2）若直线y＝kx＋k＋1经过点(m，n＋3)和(m＋1，2n－1)，且0＜k＜2，则n的值可以是()A．3 B．4 C．5 D．6（3）把直线y＝－x－3向上平移m个单位后，与直线y＝2x＋4的交点在第二象限，则m的取值范围是()A．1<m<7 B．3<m<4 C．m>1 D．m<4（4）设点(－1，m)和点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，n))是直线y＝(k2－1)x＋b(0＜k＜1)上的两个点，则m、n的大小关系为________．（5）已知点(－1，y1)，(4，y2)在一次函数y＝3x－2的图象上，则y1，y2，0的大小关系是()A．0＜y1＜y2 B．y1＜0＜y2 C．y1＜y2＜0 D．y2＜0＜y1（6）如果通过平移直线得到的图象，那么直线必须（）．A．向上平移5个单位 B．向下平移5个单位C．向上平移个单位D．向下平移个单位（7）如果点P（a，b）关于x轴的对称点在第三象限，那么直线的图象不经过（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】(1)A；(2)C；（3）A；（4）m>n；（5）B；（6）C；（7）C.【解析】解：（1）由题意知：，解得：k>1，所以一次函数y＝(k－1)x＋1－k中，k－1>0，1－k<0，函数图象经过一、三、四象限，故答案为A.(2)因为直线y＝kx＋k＋1经过点(m，n＋3)和(m＋1，2n－1)所以，解得：因为0＜k＜2，所以0＜n－4＜2，即4<n<6，所以答案为：C.(3)直线y＝－x－3向上平移m个单位后的解析式为y＝－x－3+m，联立y＝－x－3+m，y＝2x＋4，解得：，因为交点在第二象限，所以，解得：1<m<7，故答案为:A.(4)因为0＜k＜1，所以k2－1<0，所以y随x的增大而减小，因为点(－1，m)和点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，n))是直线y＝(k2－1)x＋b上的两个点，所以m>n.（5）因为点(－1，y1)，(4，y2)在一次函数y＝3x－2的图象上，所以y1=－5，y2=10，故答案为：B.(6)因为，是由的图象向上平移个单位得到，所以选C.（7）因为点P（a，b）关于x轴的对称点在第三象限，所以a<0，b>0，所以直线的图象过一、二、四象限，不经过第三象限，故答案为：C.题2.已知函数y＝(2m＋1)x＋m＋2.(1)若函数图象经过原点，求m的值；(2)若该一次函数中y随着x的增大而减小，且它的图象与y轴的交点在x轴的上方，求整数m的值．【答案】见解析.【解析】解：(1)∵函数图象经过原点，∴m＋2＝0，∴m＝－2.(2)由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m＋1<0，,m＋2>0，))解得－2<m<－eq\f(1,2)，∵m为整数，∴m＝－1.题3.李老师开车从甲地到相距240千米的乙地,如果油箱剩余油量y(升)与行驶里程x(千米)是一次函数关系,其图象如图3-1所示,那么到达乙地时油箱剩余油量是升.

图3-1【答案】20.【解析】解：设函数解析式为y=kx+b(k≠0).将(0,35),(160,25)代入得：，解得，所以，当x=240时，y=20，即到达乙地时油箱剩余油量是20升.故答案为：20.题4.下图中表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx(m、n是常数,且mn≠0)的图象的是()【答案】C.【解析】解：一次函数y=mx+n的图象不过原点，正比例函数y=mnx的图象过原点.当m>0，n>0时，mn>0，y=mnx的图象经过一、三象限，A错误；当m>0，n<0时，mn<0，y=mnx的图象经过二、四象限，B错误；当m<0，n>0时，mn<0，y=mnx的图象经过二、四象限，C正确、D错误.故答案为：C.题5.一次函数y=3x+b的图象与两坐标轴围成的三角形的面积是24，求b.【答案】见解析.【解析】解：一次函数y=3x+b的图象与y轴的交点坐标为(0,b)，与x轴的交点坐标为，则一次函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积是：，即：得b=±12.即b的值为12或－12.题6.在平面直角坐标系xOy中,点A、B的坐标分别为(3,n),(3,n+2),直线y=2x+b与线段AB有公共点,则b的取值范围为(用含m的代数式表示).

【答案】n－6≤b≤n－4.【解析】解：将A(3,n)、(3,n+2)分别代入y=2x+b中,得：b=n－6和b=n－4，则b的值就在这两个值之间，因为n－6<n－4，故答案为：n-6≤b≤n-4.题7.一次函数y=(m－2)x+m2－1的图象经过点A(0，3).(1)求m的值，并写出函数解析式;(2)若(1)中的函数图象与x轴交于点B,直线y=(n+2)x+n2－1也经过点A(0,3)，且与x轴交于点C,求线段BC的长.【答案】见解析.【解析】解：(1)由题意得m2-1=3，所以m=±2.又m-2≠0,即m≠2,所以m=-2,所以y=-4x+3.(2)由y=－4x+3可得B点坐标为，因为直线y=(n+2)x+n2－1经过点A(0，3)，所以n2－1=3，所以n=±2.又n+2≠0，即n≠－2，所以n=2.所以y=4x+3，所以C点坐标为.所以BC=.题8.一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后都停留一段时间，然后分别按原速一同驶往甲地后停车．设慢车行驶的时间为x小时，两车之间的距离为y千米，图8-1中折线表示y与x之间的函数图象，请根据图象解决下列问题：（1）甲乙两地之间的距离为千米；（2）求快车和慢车的速度；（3）求线段DE所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．【答案】（1）560；（2）（3）问见解析.【解析】解：(1)由题意及图象可以得知：甲乙两地之间的距离为560千米（2）由题意可得出：慢车往返分别用了4小时，慢车行驶4小时的距离，快车3小时即可行驶完，∴设慢车速度为3xkm/h，则快车速度为4xkm/h，∵由题意可得出：快车行驶全程用了7小时，∴快车速度为：560÷7=80（km/h），∴慢车速度为：80×=60（km/h）.（3）由题意可得出：当行驶7小时后，慢车距离甲地60km∴D（8，60），∵慢车往返各需4小时，∴E（9，0），设DE的解析式为：y=kx+b，∴，解得：．∴线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为：y=﹣60x+540（8≤x≤9）．题9.在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b(k，b都是常数，且k≠0)的图象经过点(1，0)和(0，2)．(1)当－2＜x≤3时，求y的取值范围；(2)已知点P(m，n)在该函数的图象上，且m－n＝4，求点P的坐标.【答案】见解析.【解析】解：因为一次函数y＝kx＋b的图象经过点(1，0)和(0，2)，所以，解得：，一次函数的解析式为：y=－2x+2.（1）在y=－2x+2中，因为－2<0，所以y随x的增大而减小，当－2＜x≤3时，－4≤y<6.（2）由题意得：，解得：即P点坐标为（2，－2）.题10.如图10-1所示,直线与x轴,y轴分别交于点A和点B,点C,D分别为线段AB,OB的中点,点P为OA上一动点,当PC+PD最小时,求点P的坐标.图10-1【答案】见解析.【解析】解：作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图10-2所示.图10-2在中,令x=0,则y=4,∴点B的坐标为(0,4).在中,令y=0,则x=-6,∴点A的坐标为(-6,0).∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴点C(-3，2)，点D(0，2).∵点D'和点D关于x轴对称，∴点D'的坐标为(0，-2).设直线CD'的解析式为y=kx+b，∵直线CD'过点C(-3，2)，D'(0，-2)，∴，解得，∴直线CD'的解析式为.在中,令y=0,则x=,∴点P的坐标为.题11.如图是一种斜挎包,其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成.小敏用后发现,通过调节扣加长或缩短单层部分的长度,可以使挎带的长度(单层部分与双层部分的长度的和,其中调节扣所占的长度忽略不计)加长或缩短.设单层部分的长度为xcm,双层部分的长度为ycm,经测量,得到如下数据:(8分)单层部分的长度x(cm)…46810…150双层部分的长度y(cm)…737271…(1)根据表中数据的规律，完成以上表格，并直接写出y关于x的函数解析式;(2)根据小敏的身高和习惯，挎带的长度为120cm时，背起来正合适