专题07 一次函数中的面积问题精讲（解析版）-初中数学一次函数专题精.编讲义

专题07一次函数中的面积问题精讲一、平面直角坐标系中面积的几种求法面积问题是中考的一个重点知识点，考查方式灵活多样，很多题目有创新性，能很好考查学生的灵活运用知识的能力.我们除了要熟知常见图形的面积公式外，在平面直角坐标系中还要懂得以下几种面积的方法：方法一、割补法……割补方法不仅仅只有一种，要灵活使用.方法二、铅垂高、水平宽法二、典型例题选讲题1.如图1-1所示，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（）图1-1A．4

B．8

C．16

D．12【答案】C.【解析】如图1-2所示．图1-2设C点移动到直线y=2x﹣6上的点为C’.∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），∴AB=3．∵∠CAB=90°，BC=5，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=4．∴A′C′=4．∵点C′在直线y=2x-6上，∴2x-6=4，解得x=5．即OA′=5，∴CC′=5-1=4．∴四边形BB’C’C是平行四边形，面积=4×4=16．即线段BC扫过的面积为16，故答案为：C.题2.已知一次函数与的图象都经过A（，0），且与y轴分别交于B、C两点，则△ABC的面积为（）．A．4B．5C．6D．7【答案】C.【解析】因为y=2x+a与y=-x+b的图象都经过A(-2,0),所以0=2×（-2）+a，解得：a=4，又因为0=2+b解得：b=-2y=2x+4、y=-x-2与y轴分别交于B、C两点∴B(0.4)，C(0,-2)，三角形ABC的面积=2×6÷2=6.故答案为：C.题3.(河北中考)如图3-1所示，在平面直角坐标系xOy中，A(0，5)，直线x＝－5与x轴交于点D，直线y＝－eq\f(3,8)x－eq\f(39,8)与x轴及直线x＝－5分别交于点C，E.点B，E关于x轴对称，连接AB.(1)求点C，E的坐标及直线AB的解析式；(2)若S＝S△CDE＋S四边形ABDO，求S的值；(3)在求(2)中S时，嘉琪有个想法：“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置，而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC，这样求S便转化为直接求△AOC的面积，如此不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现S△AOC≠S，请通过计算解释他的想法错在哪里．图3-1【答案】见解析【解析】解：（1）y＝－eq\f(3,8)x－eq\f(39,8)，令y＝0，有0＝－eq\f(3,8)x－eq\f(39,8)，解得：x＝－13，即C(－13，0)．令x＝－5，则有y＝－eq\f(3,8)×(－5)－eq\f(39,8)＝－3，即E(－5，－3)．∵点B，E关于x轴对称，∴B(－5，3)．∵A(0，5)，∴设直线AB的解析式为y＝kx＋5，∴－5k＋5＝3，∴k＝eq\f(2,5)，∴直线AB的解析式为y＝eq\f(2,5)x＋5.（2）由（1）知E(－5，－3)，∴DE＝3.∵C(－13，0)，∴CD＝－5－(－13)＝8，∴S△CDE＝eq\f(1,2)CD·DE＝12.由题意知OA＝5，OD＝5，BD＝3，∴S四边形ABDO＝eq\f(1,2)(BD＋OA)·OD＝20，∴S＝S△CDE＋S四边形ABDO＝12＋20＝32.（3）由（2）知S＝32，在△AOC中，OA＝5，OC＝13，∴S△AOC＝eq\f(1,2)OA·OC＝eq\f(65,2)＝32.5，∴S≠S△AOC.理由：由(1)知直线AB的解析式为y＝eq\f(2,5)x＋5，令y＝0，则0＝eq\f(2,5)x＋5，∴x＝－eq\f(25,2)≠－13，∴点C不在直线AB上，即点A，B，C不在同一条直线上，∴S△AOC≠S.题4.已知一次函数的图象过点(0,3)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为3,则其表达式为()A.y＝1.5x＋3 B.y＝－1.5x＋3C.y＝1.5x＋3或y＝－1.5x＋3D.y＝1.5x－3或y＝－1.5x－3【答案】C.【解析】解：设该一次函数与x轴的交点坐标为（a,0），由题意得：，解得：a=±2，当a=2时，设直线解析式为y=kx+3，将（2,0）代入，求得k=-1.5；同理求得，当a=-2时，k=1.5.所以函数解析式为：y＝1.5x＋3或y＝－1.5x＋3，故答案为C.题5.如图5-1所示，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过A(－2，－1)，B(1，3)两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D.图5-1(1)求该一次函数的解析式；(2)求△AOB的面积．【答案】见解析.【解析】解：(1)把A(－2，－1)，B(1，3)代入y＝kx＋b，得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2k＋b＝－1，,k＋b＝3.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(4,3)，,b＝\f(5,3).))∴一次函数的解析式为y＝eq\f(4,3)x＋eq\f(5,3).(2)把x＝0代入y＝eq\f(4,3)x＋eq\f(5,3)，得y＝eq\f(5,3)，∴D点坐标为(0，eq\f(5,3))．∴S△AOB＝S△AOD＋S△BOD＝eq\f(1,2)×eq\f(5,3)×2＋eq\f(1,2)×eq\f(5,3)×1＝eq\f(5,2).题6.已知，一次函数的图像与正比例函数交于点A，并与y轴交于点，△AOB的面积为6，则【答案】或4.【解析】解：因为一次函数的图像与y轴交于点，∴b=－4，OB=4，设A点横坐标为a，因为△AOB的面积为6，所以,即a=3或－3，点A的坐标为（3,1）或（－3，－1）将A点坐标代入，得：k=或－1所以kb=或4.故答案为：或4.题7.如图7-1所示,点G，D，C在直线a上,点E,F,A,B在直线b上,若a∥b,Rt△GEF从如图所示的位置出发,沿直线b向右匀速运动,直到EG与BC重合.运动过程中△GEF与矩形ABCD重合部分的面积（S）随时间（t）变化的图象大致是（）图7-1ABCD【答案】B.【解析】根据题意可得：①F、A重合之前没有重叠面积；②F、A重叠之后，重叠部分面积逐渐增大，且增加的速度越来越快；③△EFG完全进入且F与B重合之前，重叠部分的面积是三角形的面积，不变，④F与B重合之后，重叠部分的面积逐渐减小，减小的速度越来越慢，直至最后重叠部分的面积为0．综上所述，只有B选项图形符合．故答案为：B．题8.如图8-1所示，已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1.(1)求两直线交点C的坐标;(2)求△ABC的面积.(3)在直线BC上能否找到点P,使得S△APC=6，若能，请求出点P的坐标，若不能请说明理由。图8-1【答案】见解析.【解析】解：（1）联立y=2x+3与y=-2x-1，解得：即C点坐标为（－1,1）（2）在y=2x+3中，令x=0，得y=3，即A点坐标为（0,3）；在y=-2x-1中，令x=0，得y=-1，即B点坐标为（0,-1）所以AB=4,所以（3）能.若S△APC=6，则S△APB=8（P在第二象限）或S△APB=4（P在第四象限）而AB=4，所以设P点横坐标为a，可得：或解得：a=－4或a=2分别代入BC的解析式为y=7或y=－5，则P点坐标为（－4，－7），（2，－5）．题9.如图9-1，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点的坐标分别是A（4，3），O（0，0），B（6，0）．点M是OB边上异于O，B的一动点，过点M作MN∥AB，点P是AB边上的任意点，连接AM，PM，PN，BN．设点M（x，0），△OMN的面积为S．（1）求出OA所在直线的解析式，并求出点M的坐标为（1，0）时，点N的坐标；（2）求出S关于x的函数关系式.【答案】见解析.【解析】解：（1）设直线OA的解析式为y=k1x，∵A（4，3），∴3=4k1，解得k1=，∴OA所在的直线的解析式为：y=x，同理可求得直线AB的解析式为：y=x+9，∵MN∥AB，∴设直线MN的解析式为y=x+b，把M（1，0）代入得：b=，∴直线MN的解析式为y=x+，联立y=x，y=x+，解得：，∴N（）.（2）由题意知：S==.题10.已知：如图10-1所示，反比例函数y=的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A（1，4）、点B（﹣4，n）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△OAB的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．图10-1【答案】见解析.【解析】解：（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y=，一次函数y=x+b，得k=1×4，1+b=4，b=3，故一次函数解析式为：y=x+3，反比例函数解析式为.（2）如图，当x=﹣4时，y=﹣1，B（﹣4，﹣1），当y=0时，x+3=0，x=﹣3，C（﹣3，0）S△AOB=S△AOC+S△BOC=.（3）∵B（﹣4，﹣1），A（1，4），∴根据图象可知：当x＞1或﹣4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．题11.如图11-1所示，在平面直角坐标系中，直线l1经过点(2，3)和(－1，－3)，直线l2经过原点，且与直线l1交于点(－2，a)，设交点为P，直线l1与y轴交于点A，求a的值及△APO的面积.图11-1【答案】见解析.【解析】解：设直线l1的解析式为：y=kx+b.将点(2，3)和(－1，－3)代入得：，解得：.即直线l1的解析式为：.∵l2经过原点，且与直线l1交于点(－2，a)∴当x=－2时，y=－5，即a=－5.在中，令x=0，得y=－1，即A点坐标为（0，－1）.所以.题12.如图12-1所示，正方形ABCD的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB在x轴正半轴上，A点坐标为（1，0）(1)经过点C的直线与x轴交于点E，求四边形AECD的面积.(2)若直线经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线