2024-2025学年北京平谷区高二(下)期末数学试卷含答案

2024-2025学年北京市平谷区高二（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分；在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1．（4分）已知集合M＝{x|﹣3＜x＜2}，N＝{x|1≤x＜3}，则M∩N＝（）A．{x|﹣3＜x＜3} B．{x|1≤x＜2} C．{x|1≤x＜3} D．{x|1＜x＜2}2．（4分）下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．f(x)=1x B．f（x）＝ex C．f（x）＝x3 3．（4分）已知函数f（x）＝sinx+cosx，则f′(πA．1 B．π2 C．﹣1 4．（4分）已知等差数列{an}中，S2＝﹣1，S4＝6，则a5＝（）A．272 B．172 C．1325．（4分）在(2x−1A．40 B．﹣40 C．80 D．﹣806．（4分）“0＜x＜1”是“1﹣x+log2x＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．（4分）某学校从5名男生和3名女生中推荐3人参加区级演讲比赛，若选出的3人既有男生又有女生，则不同的选法有（）A．45种 B．56种 C．15种 D．30种8．（4分）一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底部匀速漏出，tmin后剩余的沙量（单位：cm3）y＝ae﹣bt．已知经过4min后容器里的细沙还有开始时的14，若再经过xmin，容器里的细沙只有开始时的132，则A．10 B．8 C．6 D．49．（4分）已知函数f（x）＝lnx，若∀x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则以下错误的是（）A．f（x1）＜f（x2） B．f（x1x2）＝f（x1）+f（x2） C．f(xD．f(10．（4分）已知函数f（x）＝xcosx，则下面说法正确的是（）A．函数f（x）是最小正周期为2π的奇函数 B．函数f（x）在区间[0，π2C．函数f（x）的一条对称轴为x=πD．函数f（x）图像在直线y＝x与y＝﹣x之间二、填空题（本大题共5题，每题5分，共25分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上.）11．（5分）函数f(x)=lgx+1x−2的定义域是12．（5分）某射手每次射击击中目标的概率均为45，比赛中该射手连续射击3次，则该射手恰好击中目标2次的概率为13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β的顶点与原点重合，它们的始边与x轴正半轴重合，终边关于y轴对称．若将α终边按逆时针方向旋转π6恰与β终边重合，则α的一个取值为14．（5分）已知公比q≠1的等比数列{an}，S3＝﹣3，且a6、a5、a7成等差数列，则q＝，a6＝．15．（5分）设函数f(x)=2①f（x）的图像恒过定点；②对任意的a∈R，f（x）都不是单调函数；③当a∈（﹣1，0）∪（0，1）时，f（x）存在2个零点；④若函数f（x）存在最大值，则实数a的取值范围[1−2其中所有正确结论的序号是．三、解答题（本大题共6题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．（13分）已知函数f(x)=lnx−1（I）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AC∩BD＝O，PD⊥平面ABCD，PD＝22，AB＝4，点E为线段PO中点．（I）求证：DE⊥平面PAC；（Ⅱ）求平面PAC与平面PBC夹角的大小．18．（14分）中小学体育锻炼是青少年成长的必修课，不仅促进学生身心发展，增强学生的体质和耐力，还帮助学生培养锻炼习惯，形成健康生活方式，受益终身．现从某高中校甲、乙两个班随机选出几名学生，统计了他们平时周末在户外运动时长，得到以下数据（单位：分）：甲班：40，60，80，100，120，140，160，190，200，220；乙班：50，60，100，110，150，160，170，200．假设用频率估计概率，且每名学生的户外运动情况相互独立．（I）现从甲班的样本中随机选出2人进行问卷调查，求这2人中恰有1人周末户外运动时长超过3个小时的概率；（Ⅱ）现从甲班全体学生中随机抽取2人，乙班全体学生中随机抽取1人，记X为这3人中在周末户外运动时长不少于120分钟的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）设样本中甲班学生周末户外运动时长的方差为s12，乙班学生周末户外运动时长的方差为s22，直接写出19．（15分）已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω∈N，|φ|＜π2)，从以下三个条件中选择适当的两个作为函数f（I）求函数f（x）解析式；（Ⅱ）设函数g（x）＝f（x）sinωx，（i）求函数g（x）的单调增区间；（ii）求函数g（x）在区间[−π条件①：∀x∈R，f(x)≤f(π条件②：f（0）＝1．条件③：f(−π（注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．如果选择的条件不符合要求，得0分．）20．（15分）已知函数f（x）＝eax（x2+ax﹣1）（a∈R）．（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：f（x）≥﹣1．21．（14分）若数列{an}满足an+2+an＞2an+1（n∈N*），则称数列{an}为Q增数列．（I）判断下面两个数列是否为Q增数列？并说明理由．①an＝n2；②an＝lgn．（Ⅱ）若数列{bn}为Q增数列，且任意项bn∈Z（n∈N*），b1＝0，b2＝1，bk＝2025，求正整数k的最大值．

2024-2025学年北京市平谷区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BCCCDAACCD一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分；在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1．（4分）已知集合M＝{x|﹣3＜x＜2}，N＝{x|1≤x＜3}，则M∩N＝（）A．{x|﹣3＜x＜3} B．{x|1≤x＜2} C．{x|1≤x＜3} D．{x|1＜x＜2}【分析】直接利用交集运算的定义得答案．【解答】解：∵M＝{x|﹣3＜x＜2}，N＝{x|1≤x＜3}，∴M∩N＝{x|﹣3＜x＜2}∩{x|1≤x＜3}＝{x|1≤x＜2}．故选：B．【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．2．（4分）下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．f(x)=1x B．f（x）＝ex C．f（x）＝x3 【分析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性检验各选项即可求解．【解答】解：f（x）=1x在（0，+∞）上单调递减少，f（x）＝ex为非奇非偶函数，B错误；f（x）＝x3为奇函数且在（0，+∞）上单调递增，C正确；f（x）＝x+1x在（0，+∞）上不单调，故选：C．【点评】本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础题．3．（4分）已知函数f（x）＝sinx+cosx，则f′(πA．1 B．π2 C．﹣1 【分析】利用求导公式求解即可．【解答】解：因为函数f（x）＝sinx+cosx，所以f′（x）＝cosx﹣sinx，所以f′(π2)=故选：C．【点评】本题主要考查了导数的计算，属于基础题．4．（4分）已知等差数列{an}中，S2＝﹣1，S4＝6，则a5＝（）A．272 B．172 C．132【分析】结合等差数列的前n项和公式，即可求解．【解答】解：S2＝﹣1，S4＝6，当n＝2时，S2=2a1+2×(2−1)当n＝4时，S4=4a1+4×(4−1)故方程组2a1+d=−1故a5=a故选：C．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式，属于基础题．5．（4分）在(2x−1A．40 B．﹣40 C．80 D．﹣80【分析】求出展开式的通项公式，令x的指数为1，进而可以求解．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为Tr+1=C5令5−3r2=1，解得r＝1，所以x的系数为﹣1故选：D．【点评】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．6．（4分）“0＜x＜1”是“1﹣x+log2x＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，设f（x）＝1﹣x+log2x，利用导数与函数单调性的关系可得f（x）在区间（0，1）为增函数，由此可得f（x）＜0，即充分性成立，举出反例可得必要性成立，综合可得答案．【解答】解：根据题意，设f（x）＝1﹣x+log2x，其导数f′（x）＝﹣1+1当0＜x＜1时，由于ln2＜1，则有f′（x）＞0，f（x）在区间（0，1）为增函数，有f（x）＜f（1）＝0，故当0＜x＜1时，有1﹣x+log2x＜0，反之，当x＝4时，f（x）＝1﹣4+2＜0，故“0＜x＜1”是“1﹣x+log2x＜0”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分必要条件的判断，涉及函数导数与单调性的关系，属于基础题．7．（4分）某学校从5名男生和3名女生中推荐3人参加区级演讲比赛，若选出的3人既有男生又有女生，则不同的选法有（）A．45种 B．56种 C．15种 D．30种【分析】根据题意可分为1名男生和2名女生和2名男生和1名女生两种情况讨论即可．【解答】解：学校从5名男生和3名女生中推荐3人参加区级演讲比赛，且选出的3人既有男生又有女生，若1名男生和2名女生，则有C5若2名男生和1名女生，则有C5则不同的选法有15+30＝45种．故选：A．【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．8．（4分）一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底部匀速漏出，tmin后剩余的沙量（单位：cm3）y＝ae﹣bt．已知经过4min后容器里的细沙还有开始时的14，若再经过xmin，容器里的细沙只有开始时的132，则A．10 B．8 C．6 D．4【分析】由题意，代入函数解析式，求解即可．【解答】解：由y＝ae﹣bt知，t＝4时，14a＝ae﹣4b，所以e﹣b=由132a＝ae﹣bt，得132=（e﹣b）t=所以x＝10﹣4＝6，即经过6min，容器里的细沙只有开始时的132故选：C．【点评】本题考查了指数函数模型应用问题，是基础题．9．（4分）已知函数f（x）＝lnx，若∀x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则以下错误的是（）A．f（x1）＜f（x2） B．f（x1x2）＝f（x1）+f（x2） C．f(xD．f(【分析】选项A，根据f（x）是定义域（0，+∞）上的单调增函数，判断即可；选项B，根据对数函数的运算性质，判断即可；选项C，根据f（x）的图象与性质，判断即可；选项D，利用均值不等式，结合对数的运算性质，判断即可．【解答】解：对于A，f（x）＝lnx是定义域（0，+∞）上的单调增函数，所以∀x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x1）＜f（x2），选项A正确；对于B，f（x1x2）＝ln（x1x2）＝lnx1+lnx2＝f（x1）+f（x2），选项B正确；对于C，因为f（x）是定义域（0，+∞）上的单调增函数，且图象为上凸的函数，所以f（x1+x22）≥12[f（x1）+f（x2）]=1当且仅当x1＝x2时取“＝”，所以选项C错误；对于D，由均值不等式知，x1+x2≥2x1x2，两边取对数，得ln（x1+x2）≥ln2+12ln（x1x2）＞12即f（x1+x2）＞12[f（x1）+f（x2）]，选项故选：C．【点评】本题考查了对数的性质与应用问题，是基础题．10．（4分）已知函数f（x）＝xcosx，则下面说法正确的是（）A．函数f（x）是最小正周期为2π的奇函数 B．函数f（x）在区间[0，π2C．函数f（x）的一条对称轴为x=πD．函数f（x）图像在直线y＝x与y＝﹣x之间【分析】由奇函数的定义及函数的周期的定义判断A；利用导数判断B；由对称轴的性质判断C；由|f（x）|≤|x|，可得﹣x≤|x|•|cosx|≤|x|，可判断D．【解答】解：对于A，因为f（x）＝xcosx，x∈R，且f（﹣x）＝﹣xcos（﹣x）＝﹣xcosx＝﹣f（x），所以f（x）＝xcosx为R上的奇函数；又因为f（x+2π）＝（x+2π）cos（x+2π）＝（x+2π）cosx≠f（x），所以2π不是函数的周期，故A错误；对于B，因为f'（x）＝cosx﹣xsinx，令g（x）＝f'（x）＝cosx﹣xsinx，则g'（x）＝cosx﹣xsinx＝﹣2sinx﹣xcosx，当x∈[0，π2]时，易知g所以g（x），即f'（x）在[0，π所以f'（0）＝1＞，f'（π2）=−所以存在x0∈[0，π2]，使f（当x∈[0，x0]时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（x0，π2]时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，故B对于C，因为f（π2−x）＝（π2−x）cos（π2−x）＝（π2−所以函数f（x）的一条对称轴不可能为x=π4，故对于D，因为|f（x）|＝|x|•|cosx|≤|x|，即﹣x≤|x|•|cosx|≤|x|，所以函数f（x）图像在直线y＝x与y＝﹣x之间，故D正确．故选：D．【点评】本题考查了判断函数的奇偶性、单调性及周期性，考查了导数的综合运用，属于中档题．二、填空题（本大题共5题，每题5分，共25分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上.）11．（5分）函数f(x)=lgx+1x−2的定义域是{x|x＞0且x【分析】列出使函数有意义的不等式组，即可求解．【解答】解：函数f(x)=lgx+1则x−2≠0x＞0，解得x＞0且x故函数f（x）的定义域为{x|x＞0且x≠2}．故答案为：{x|x＞0且x≠2}．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．12．（5分）某射手每次射击击中目标的概率均为45，比赛中该射手连续射击3次，则该射手恰好击中目标2次的概率为48125【分析】利用独立事件的概率乘法公式求解．【解答】解：由题意可知，该射手恰好击中目标2次的概率为P=C故答案为：48125【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β的顶点与原点重合，它们的始边与x轴正半轴重合，终边关于y轴对称．若将α终边按逆时针方向旋转π6恰与β终边重合，则α的一个取值为5π12【分析】根据任意角的概念、终边关于y轴对称的角的关系进行求解，即可得到本题的答案．【解答】解：由α、β的终边关于y轴对称，可得β＝π﹣α+2kπ（k∈Z），因为将α终边按逆时针方向旋转π6恰与β终边重合，所以α+π6=β+2mπ（以上两式联解，可得α=5π12+（k+m）π，取k＝m＝0，解得故答案为：5π12【点评】本题主要考查角的概念推广、终边关于y轴对称的角的关系等知识，属于基础题．14．（5分）已知公比q≠1的等比数列{an}，S3＝﹣3，且a6、a5、a7成等差数列，则q＝﹣2，a6＝32．【分析】由已知结合等比数列的通项公式，等差数列的性质即可求解．【解答】解：公比q≠1的等比数列{an}，S3＝a1（1+q+q2）＝﹣3，又a6、a5、a7成等差数列，所以2a5＝a6+a7，即2a5所以q2+q﹣2＝0，解得q＝﹣2，或q＝1（舍），所以a1×（1﹣2+4）＝﹣3，所以a1＝﹣1，a6＝﹣1×（﹣2）5＝32．故答案为：﹣2；32．【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的应用，属于基础题．15．（5分）设函数f(x)=2①f（x）的图像恒过定点；②对任意的a∈R，f（x）都不是单调函数；③当a∈（﹣1，0）∪（0，1）时，f（x）存在2个零点；④若函数f（x）存在最大值，则实数a的取值范围[1−2其中所有正确结论的序号是①③④．【分析】①中，由f（0）＝﹣1得出f（x）的图像恒过定点；②中，根据分段函数的单调性求出a的取值范围即可；③中，分别判断a∈（﹣1，0）和a∈（0，1）时，利用方程的解判断函数零点的个数；④中，求出分段函数f（x）存在最大值时a的取值范围即可．【解答】解：对于①，x＝0时，f（0）＝﹣1，所以f（x）的图像恒过定点（0，﹣1），①正确；对于②，x＜0时，f（x）＝2x﹣a单调递增，a＞0时，f（x）＝ax2+2x﹣1在[0，+∞）上单调递增，令20﹣a≤﹣1，解得a≥2，所以a≥2时，f（x）是单调增函数，②错误；对于③，若a∈（﹣1，0），则当x＜0时，f（x）＝2x﹣a＝0，得2x＝a＜0，方程无解，即函数无零点；当x≥0时，f（x）＝ax2+2x﹣1＝0，即﹣ax2﹣2x+1＝0，Δ＝4+4a＞0，所以方程有2个正实数解，即函数有2个零点；若a∈（0，1），则当x＜0时，f（x）＝2x﹣a＝0，得2x＝a，方程有1解，即函数有1个零点；当x≥0时，f（x）＝ax2+2x﹣1＝0，Δ＝4+4a＞0，方程有1个正实数根，即函数有1个零点；综上，a∈（﹣1，0）∪（0，1）时，f（x）存在2个零点，③正确；对于④，a∈[1−2，0）时，若x＜0，则f（x）＝2x﹣a＜1﹣a若x≥0，则f（x）＝ax2+2x﹣a开口向下，当x=−1a时f（x）取得最大值为f（−1a）令−1a−1≥1﹣a，解得1−2≤a＜0，所以f（x）存在最大值，a故答案为：①③④．【点评】本题考查了分段函数的单调性与最值问题，也考查了函数零点应用问题，是中档题．三、解答题（本大题共6题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．（13分）已知函数f(x)=lnx−1（I）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．【分析】（I）f(1)=ln1−11=−1，得切点（1，﹣1，用商数法则求导f′(x)=2−lnxx2，代入x＝1得f'（1）＝2，利用点斜式y﹣y0＝k（x﹣x（Ⅱ）令f'（x）＝0，解得x＝e2，当x∈（0，e2）时，f（x）单调递增；当x∈（e2，+∞）时，f（x）单调递减，极大值为f(e【解答】解：（Ⅰ）f(1)=ln1−1用商数法则，f′(x)=1f′(1)=2−0利用点斜式有：y﹣（﹣1）＝2（x﹣1），整理得y＝2x﹣3；（Ⅱ）根据题目x＞0，令f′（x）＝0，得2﹣lnx＝0⟹x＝e2，x∈（0，e2）时，f′（x）＞0，f（x）递增；x∈（e2，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减，x＝e2是极大值点，极大值为f(e【点评】本题考查利用导数求解函数的极值，属于中档题．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AC∩BD＝O，PD⊥平面ABCD，PD＝22，AB＝4，点E为线段PO中点．（I）求证：DE⊥平面PAC；（Ⅱ）求平面PAC与平面PBC夹角的大小．【分析】（1）先利用线面垂直的性质定理得AC⊥DE，然后利用等腰三角形的性质得PO⊥DE，进而利用线面垂直的判断定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求平面PBC的法向量为n→，由（1）可知，DE→=(1，1，【解答】解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC，又底面ABCD为正方形，BD⊥AC，PD∩BD＝D，PD⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD，DE⊂平面PBD，所以AC⊥DE，PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD，在△PDO中，PD=22，DO=又点E为线段PO中点，所以PO⊥DE，因为AC∩PO＝O，AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，所以DE⊥平面PAC．（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），P(0，0，22)，O（2，2，0），B（4，4，0），则E(1，1，2)，DE→=(1，1，2设平面PBC的一个法向量为n→则n→⋅PC令z=2，则y＝1，所以n由（1）可知，DE→=(1，1，2设平面PAC与平面PBC夹角的夹角为θ，则cosθ=|又θ∈[0，π2]即平面PAC与平面PBC夹角为π6【点评】此题考查线面垂直的判定定理及面面角的向量求法，属于中档题．18．（14分）中小学体育锻炼是青少年成长的必修课，不仅促进学生身心发展，增强学生的体质和耐力，还帮助学生培养锻炼习惯，形成健康生活方式，受益终身．现从某高中校甲、乙两个班随机选出几名学生，统计了他们平时周末在户外运动时长，得到以下数据（单位：分）：甲班：40，60，80，100，120，140，160，190，200，220；乙班：50，60，100，110，150，160，170，200．假设用频率估计概率，且每名学生的户外运动情况相互独立．（I）现从甲班的样本中随机选出2人进行问卷调查，求这2人中恰有1人周末户外运动时长超过3个小时的概率；（Ⅱ）现从甲班全体学生中随机抽取2人，乙班全体学生中随机抽取1人，记X为这3人中在周末户外运动时长不少于120分钟的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）设样本中甲班学生周末户外运动时长的方差为s12，乙班学生周末户外运动时长的方差为s22，直接写出【分析】（I）由题意，先求出周末户外运动时长超过3个小时的概率，然后利用组合数求出所求概率即可；（Ⅱ）首先确定甲班、乙班周末户外运动时长不少于120分钟的概率，确定X的可能取值和对应概率，进而列出X的分布列，计算出数学期望；（Ⅲ）通过数据直观看出数据的波动性大小来比较甲班、乙班方差的大小即可．【解答】解：（I）由甲班数据可以看出，周末户外运动时长超过3个小时的人数为3人，从10人中随机选取2人，恰有1人周末户外运动时长超过3个小时的概率为P=C（Ⅱ）由甲乙班数据可以得出，甲班周末户外运动时长不少于120分钟的概率为610乙班周末户外运动时长不少于120分钟的概率为48易知X的所有可能取值为0，1，2，3，此时P(X=0)=(25)P(X=2)=C22则X的分布列为：X0123P2258252150950故E（X）＝0×225+1×825（Ⅲ）因为甲班数据波动性更大，所以s1【点评】本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．19．（15分）已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω∈N，|φ|＜π2)，从以下三个条件中选择适当的两个作为函数f（I）求函数f（x）解析式；（Ⅱ）设函数g（x）＝f（x）sinωx，（i）求函数g（x）的单调增区间；（ii）求函数g（x）在区间[−π条件①：∀x∈R，f(x)≤f(π条件②：f（0）＝1．条件③：f(−π（注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．如果选择的条件不符合要求，得0分．）【分析】（Ⅰ）选条件①和条件②：可得到ω≤6，ω∈N，根据条件②得到φ=π6，又根据条件①即可得到ω＝1，进而即可求得函数f（x）解析式；选条件①和条件③：根据周期与对称之间的关系，可得ω的值，结合ω∈N，即可求解，选②③得到φ=π6，又根据条件③即可得到ω＝2﹣12k，k∈Z，进而得到（Ⅱ）（i）根据（Ⅰ）及题意可得g(x)=32−sin(2x−π3)，再根据三角函数的性质即可求得其单调增区间；（ii）根据（【解答】解：（Ⅰ）选条件①和条件②：则T=2πω≥π3−0=由f（0）＝1，得2sinφ＝1，又|φ|＜π2，得φ=π6由∀x∈R，f(x)≤f(π3解得ω＝6k+1，k∈Z，又ω≤6，ω∈N，则ω＝1，所以函数f（x）解析式为f(x)=2sin(x+π选条件①和条件③：由题意可知x=π3和点(−π12，0)若x=π3和点则T=2πω=(π3+若x=π3和点(−π12，0)不是相邻的，则34故选条件①和条件③时，f（x）不存在，选条件②和条件③：则T=2πω≥0+π12=由f（0）＝1，得2sinφ＝1，|φ|＜π2，得φ=π6，由f(−π12)=0解得ω＝2﹣12k，k∈Z，又ω≤24，ω∈N，则ω＝2，或ω＝14，所以函数f（x）不能唯一确定，故舍去．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）可知ω＝1，且f(x)=2sin(x+π则函数g(x)=2sin(x+π令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，k∈Z，得函数g（（ii）求函数g（x）在区间[−π6，π4由x∈[−π6，π4所以g(x)=32+sin(2x−π3【点评】本题考查两角和与差的三角函数，函数的简单性质的应用，是中档题．20．（15分）已知函数f（x）＝eax（x2+ax﹣1）（a∈R）．（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：f（x）≥﹣1．【分析】（Ⅰ）首先对函数求导，然后讨论a＝0，a＞0，a＜0时函数的单调区间；（Ⅱ）根据（Ⅰ）中讨论的函数单调性，分别求出对应的最小值，即可证明结论的正确性．【解答】解：（Ⅰ）对函数求导得：f′（x）＝aeax（x2+ax﹣1）+eax（2x+a）＝[ax+（a2+2）]xeax，当a＝0时，f'（x）＝2x，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减；当a＞0时，令f'（x）＝0，则x