2024-2025学年北京牛栏山一中高二(下)期中数学试卷含答案

2024-2025学年北京市顺义区牛栏山一中高二（下）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列山的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）函数f（t）＝3t﹣sint，则limΔt→0A．3 B．4 C．5 D．62．（4分）已知{an}为等差数列，记Sn为其前n项和，若Sn=3n2A．3 B．7 C．13 D．213．（4分）函数f（x）部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）A．f'（a）＜f'（b）＜f'（c） B．f′（b）＜f′（a）＜f′（c） C．f′（a）＜f′（c）＜f′（b） D．f'（b）＜f'（c）＜f'（a）4．（4分）学校要从5名男生和3名女生中选择2人组成“研学团”，在男生甲被选中的条件下，研学团中男生人数多于女生的概率为（）A．17 B．47 C．795．（4分）下列函数中，在x＝0处的导数值为1的是（）A．f（x）＝ln（1﹣x） B．f（x）＝|x| C．f（x）＝e2x D．f(x)=6．（4分）已知等比数列{an}，首项a1＞0．则“数列{an}单调递增”是“数列{anan+1}单调递增”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．（4分）已知数列{an}满足：对于∀p，q∈N*，均有ap+q＝apaq，且a2＝2，则a12＝（）A．16 B．32 C．64 D．1288．（4分）数列{an}是递增的整数数列，且an≥2，a1+a2+⋯+an＝180，则n的最大值为（）A．15 B．16 C．17 D．189．（4分）对于函数f（x），定义集合M＝{x0∈R|∀x∈（﹣∞，x0），f（x）＜f（x0）}，若[﹣1，1]⊆M，则下列结论中正确的是（）A．﹣1可能为函数极大值点 B．1可能为函数极大值点 C．函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递增 D．函数f（x）可能为偶函数10．（4分）数列{an}，{bn}的通项公式分别为an=|2n−9|，bn=2n−1，数列{cn}满足cn＝max{an，bn}，记Tn为数列{cA．124 B．128 C．132 D．136二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡上。11．（5分）在(2x−112．（5分）函数y＝f（x）的图像关于原点对称，且在其点A（1，m）处的切线方程为y＝2x+3，则点A关于原点的对称点处的切线方程为．13．（5分）已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a2+a5＝a7，则a1+a14．（5分）已知函数f（x）＝（x﹣1）2ex+1，下列结论中正确的是．①函数f（x）仅有1个零点；②函数f（x）有极大值，也有极小值；③函数f（x）有最小值，无最大值；④函数f（x）的图象与直线y＝1有2个交点．15．（5分）已知函数f(x)=e−x+x，x≤1lnx+x+a，x＞1，若函数f（x）无最小值，则三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（13分）已知数列{an}为等差数列，且a4＝2，a8＝﹣2．数列{bn}为等比数列，且b1＝2，b4＝54．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求{bn﹣an}的前n项和Tn．17．（13分）函数f（x）＝[ax3﹣（4a+2）x2+14x﹣14]ex在x＝2处取得极值．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．18．（14分）为了解学生甲在高中阶段数学学习的具体情况，现对其在高一年级和高二年级所参加的6次数学考试分数进行统计，结果如下表所示．若分数≥90分则记为“优秀”，成绩在[80，89]之间记为“良好”，分数＜80分则记为“合格”．考试1考试2考试3考试4考试5考试6高一年级848290788893高二年级808689918783（Ⅰ）从学生甲高一年级6次考试中随机选取一次，求其成绩为“良好”的概率；（Ⅱ）从表格中学生甲高一年级和高二年级的考试成绩中分别随机抽取2次，记其中成绩为“优秀”的次数为X，求X的分布列及期望；（Ⅲ）将表格中学生甲高一年级6次考试成绩的方差记作S12；高二年级6次考试成绩的方差记作S22；所有12次成绩的方差记作19．（15分）在椭圆E：x29+y24=1中，过点P（﹣3，2）作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C．椭圆的上顶点为A，直线AB和直线AC（Ⅰ）求椭圆E的长轴长及离心率．（Ⅱ）证明：M，N两点横坐标之和为﹣6．20．（15分）设函数f（x）＝ln（2x+1）+x2﹣4x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）证明：函数f（x）在定义域内有三个零点；（参考数据：1.60＜ln5＜1.61）（Ⅲ）请分别写出过点（﹣1，0），（1，0），（3，0）且与曲线y＝f（x）相切的直线个数．（直接写出答案）21．（15分）若m行n列的数表（m，n≥3）满足：a11⋯a1n⋮⋱⋮am1⋯amn，aij∈{0，1}（i＝1，2，3，⋯，m；j＝1，2，3，⋯，n），且k=1n|aik−ajk||aik﹣ajk|≠0（i≠j），记这样的数表为A（m，n）．对于数表A（m，n），定义σij=k=1n（Ⅰ）数表A（3，3）=1100111（Ⅱ）是否存在数表A（4，4）满足σij=2，（Ⅲ）若数表A（m，2025）满足当i≠j时，σij≤1，求m的最大值．

2024-2025学年北京市顺义区牛栏山一中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案ACABDACCBD一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列山的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）函数f（t）＝3t﹣sint，则limΔt→0A．3 B．4 C．5 D．6【分析】结合导数的定义，以及导数的运算法则，即可求解．【解答】解：函数f（t）＝3t﹣sint，则f'（t）＝3﹣cost，故limΔt→0故选：A．【点评】本题主要考查导数的定义，以及导数的运算法则，属于基础题．2．（4分）已知{an}为等差数列，记Sn为其前n项和，若Sn=3n2A．3 B．7 C．13 D．21【分析】由已知结合和与项的递推关系即可求解．【解答】解：{an}为等差数列，若Sn则a3＝S3﹣S2＝3×9﹣6﹣（3×4﹣4）＝13．故选：C．【点评】本题主要考查了等差数列求和公式的应用，属于基础题．3．（4分）函数f（x）部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）A．f'（a）＜f'（b）＜f'（c） B．f′（b）＜f′（a）＜f′（c） C．f′（a）＜f′（c）＜f′（b） D．f'（b）＜f'（c）＜f'（a）【分析】结合切线的几何意义，即可求解．【解答】解：观察图象可知，函数在a处的切线斜率f'（a）为负；函数在b处的切线斜率f'（b）为正；函数在c处的切线斜率f'（c）为正，且c处切线比b处切线更“陡”，即f'（c）＞f'（b），因为f'（a）＜0，0＜f'（b）＜f'（c），所以f'（a）＜f'（b）＜f'（c）．故选：A．【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．4．（4分）学校要从5名男生和3名女生中选择2人组成“研学团”，在男生甲被选中的条件下，研学团中男生人数多于女生的概率为（）A．17 B．47 C．79【分析】根据条件概率公式求解．【解答】解：设事件A表示“男生甲被选中”，事件B表示“研学团中男生人数多于女生”，则P（A）=C71C82=所以P（B|A）=P(AB)故选：B．【点评】本题主要考查了条件概率公式，属于基础题．5．（4分）下列函数中，在x＝0处的导数值为1的是（）A．f（x）＝ln（1﹣x） B．f（x）＝|x| C．f（x）＝e2x D．f(x)=【分析】结合导数的运算法则，即可求解．【解答】解：对于A，f（x）＝ln（1﹣x），则f'（x）=1故f'（0）=10−1=−1对于B，f（x）＝|x|在x＝0不可导，故B错误；对于C，f（x）＝e2x，则f'（x）＝2e2x，故f'（0）＝2e0＝2，故C错误；对于D，f(x)=1则f'（x）＝cos2x，故f'（0）＝1，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查导数的运算法则，属于基础题．6．（4分）已知等比数列{an}，首项a1＞0．则“数列{an}单调递增”是“数列{anan+1}单调递增”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】由数列单调性的定义和充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：因为等比数列{an}满足a1＞0，设其公比为q，若数列{an}单调递增，则an＞0，且an+1＞an，即an+1此时an+1an+2anan+1所以“数列{an}单调递增”是“数列{anan+1}单调递增”充分条件；若数列{anan+1}单调递增，则an+1an+2an当q＜﹣1时，an+1an=q＜−1所以“数列{an}单调递增”是“数列{anan+1}单调递增”不必要条件，所以“数列{an}单调递增”是“数列{anan+1}单调递增”充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查等比数列的单调性，充分必要条件的判断，属于基础题．7．（4分）已知数列{an}满足：对于∀p，q∈N*，均有ap+q＝apaq，且a2＝2，则a12＝（）A．16 B．32 C．64 D．128【分析】由数列的递推式可令p＝n，q＝2，由等比数列的定义和通项公式，可得所求值．【解答】解：对于∀p，q∈N*，均有ap+q＝apaq且a2＝2，可令p＝n，q＝2，则an+2＝ana2＝2an，即有数列{an}的偶数项是首项和公比均为2的等比数列，可得a12＝26＝64．故选：C．【点评】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，考查转化思想和运算能力，属于基础题．8．（4分）数列{an}是递增的整数数列，且an≥2，a1+a2+⋯+an＝180，则n的最大值为（）A．15 B．16 C．17 D．18【分析】根据数列的性质即可求解．【解答】解：为使n最大，数列各项应尽可能小，数列为最小递增整数列：2，3，4，其和为等差数列和Sn解不等式n(n+3)2≤180，即n2+3n﹣360≤0，求根得n≈17.53，故验证n＝17：S17验证n＝18：S18综上，n的最大值为17．故选：C．【点评】本题考查了数列的性质，属于中档题．9．（4分）对于函数f（x），定义集合M＝{x0∈R|∀x∈（﹣∞，x0），f（x）＜f（x0）}，若[﹣1，1]⊆M，则下列结论中正确的是（）A．﹣1可能为函数极大值点 B．1可能为函数极大值点 C．函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递增 D．函数f（x）可能为偶函数【分析】根据集合M的定义对各选项进行逐项分析．【解答】解：对于A，由题意，因为[﹣1，1]⊆M，所以任取a＞﹣1，b＜﹣1，均有当x∈（b，a）时，f（x）＜f（a），故x＝﹣1不可能是f（x）的极大值点，A错误；对于B，取f（x）＝﹣|x﹣1|，则f（x）满足[﹣1，1]⊆M，且x＝1为f（x）的极大值点，故B正确；对于C，取f（x）=−1，x＜−1x，−1≤x≤11，x＞1，则f（x）满足题意但函数f（x对于D，由题意知，取x0＝1，可得∀x∈（﹣∞，1），f（x）＜f（1），所以f（﹣1）＜f（1），故f（x）不可能为偶函数．故选：B．【点评】本题主要考查函数的单调性、奇偶性，属于中档题．10．（4分）数列{an}，{bn}的通项公式分别为an=|2n−9|，bn=2n−1，数列{cn}满足cn＝max{an，bn}，记Tn为数列{cA．124 B．128 C．132 D．136【分析】由最值的定义，结合等差数列和等比数列的通项公式，计算，求和即可．【解答】解：由an=|2n−9|，bn=2n−1，数列{cn}满足cn＝max可得c1＝max{7，1}＝7，c2＝max{5，2}＝5，c3＝max{3，4}＝4，c4＝max{1，8}＝8，c5＝max{1，16}＝16，c6＝max{3，32}＝32，c7＝max{5，64}＝64，则T7＝7+5+4+8+16+32+64＝136．故选：D．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及最值的定义，考查运算能力，属于基础题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡上。11．（5分）在(2x−1【分析】写出二项式展开式的通项公式，即可求出常数项．【解答】解：二项式(2xTr+1=C5r(2x令5−5r2=0，解得r＝1，所以即展开式的常数项为﹣80．故答案为：﹣80．【点评】本题考查二项式定理相关知识，属于中档题．12．（5分）函数y＝f（x）的图像关于原点对称，且在其点A（1，m）处的切线方程为y＝2x+3，则点A关于原点的对称点处的切线方程为2x﹣y﹣3＝0．【分析】根据函数的对称性，可得所求切线与y＝2x+3平行，且过A关于原点的对称点，从而可求解．【解答】解：根据题意可得m＝2×1+3＝5，所以A关于原点的对称点为（﹣1，﹣5），又y＝f（x）的图像关于原点对称，所以所求切线与y＝2x+3平行，所以所求切线方程为y+5＝2（x+1），即为2x﹣y﹣3＝0．故答案为：2x﹣y﹣3＝0．【点评】本题考查函数的切线的求解，属基础题．13．（5分）已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a2+a5＝a7，则a1+a3+【分析】根据等差数列的性质求解即可．【解答】解：因为数列{an}是公差不为零的等差数列，a2+a5＝a7，可得：a1+d+a1+4d＝a1+6d，可得a1＝d，故an＝a1+（n﹣1）d＝nd，故a1故答案为：1645【点评】本题主要考查等差数列的性质应用，考查计算能力，属于基础题．14．（5分）已知函数f（x）＝（x﹣1）2ex+1，下列结论中正确的是①②③．①函数f（x）仅有1个零点；②函数f（x）有极大值，也有极小值；③函数f（x）有最小值，无最大值；④函数f（x）的图象与直线y＝1有2个交点．【分析】令f（x）＝0，求出零点，即可判断①；结合导数判断函数的单调性与极值即可判断其他项的正确性．【解答】解：函数f（x）＝（x﹣1）2ex+1，令f（x）＝0，可得x＝1，所以f（x）仅有一个零点，故①正确；f'（x）＝（x+1）（x﹣1）ex+1，当x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，所以f（x）在区间（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递增，在区间（﹣1，1）上单调递减，所以当x＝﹣1时，f（x）有极大值f（﹣1）＝4，当x＝1时，f（x）有极小值f（1）＝0，故②正确；因为f（x）≥0恒成立，所以f（1）＝0是f（x）的最小值，无最大值，故③正确，因为f（x）的极大值为4，极小值为0，且x→﹣∞时，f（x）→0，x→+∞时，f（x）→+∞，所以函数f（x）的图象与直线y＝1有3个交点，故④错误．故答案为：①②③．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，考查运算求解能力，属于中档题．15．（5分）已知函数f(x)=e−x+x，x≤1lnx+x+a，x＞1，若函数f（x）无最小值，则【分析】根据分段函数的性质即可求解．【解答】解：当x≤1时，f（x）＝e﹣x+x，求导得f'（x）＝﹣e﹣x+1，令f'（x）＝0，解得x＝0，x＜0时，f'（x）＜0，f（x）递减，0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）递增，因此，x≤1时，f（x）在x＝0处取最小值f（0）＝1，当x＞1时，f（x）＝lnx+x+a，求导得f′(x)=1x+1＞0，f（x）单调递增，故f（x）＞f若f（x）无最小值，则x＞1部分的下限1+a需小于x≤1的最小值1，即1+a＜1，解得a＜0，综上，a的取值范围是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．【点评】本题考查了分段函数的性质，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（13分）已知数列{an}为等差数列，且a4＝2，a8＝﹣2．数列{bn}为等比数列，且b1＝2，b4＝54．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求{bn﹣an}的前n项和Tn．【分析】（Ⅰ）运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得所求；（Ⅱ）运用数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：（Ⅰ）数列{an}为等差数列，设公差为d，由a4＝2，a8＝﹣2，可得a1+3d＝2，a1+7d＝﹣2，解得a1＝5，d＝﹣1，则an＝5﹣（n﹣1）＝6﹣n；数列{bn}为等比数列，设公比为q，由b1＝2，b4＝54，可得2q3＝54，解得q＝3，则bn＝2×3n﹣1；（Ⅱ）{bn﹣an}的前n项和Tn＝（b1+b2+...+bn）﹣（a1+a2+...+an）=2(1−3n)1−3−12n（5+6﹣n）＝3n【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式与求和公式，以及数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．17．（13分）函数f（x）＝[ax3﹣（4a+2）x2+14x﹣14]ex在x＝2处取得极值．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．【分析】（Ⅰ）求出导函数，由已知可得f'（2）＝0，由此可解得a的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得导函数，列表可得f（x），f′（x）随x的变化情况，从而可得函数的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）＝[ax3﹣（a+2）x2﹣（8a﹣10）x]ex，因为函数f（x）在x＝2处取得极值，所以f'（2）＝0，所以（12﹣12a）e2＝0，解得a＝1，经检验，a＝1时，符合题意．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）＝（x3﹣3x2+2x）ex＝x（x﹣1）（x﹣2）ex，令f（x）＝0，解得x＝0，1，2，所以x，f（x），f′（x）的关系如下表：x（﹣∞，0）0（0，1）1（1，2）2（2，+∞）f（x）﹣0+0﹣0+f′（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（1，2）；单调递减区间为（0，1），（2，+∞）．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查运算求解能力，属于基础题．18．（14分）为了解学生甲在高中阶段数学学习的具体情况，现对其在高一年级和高二年级所参加的6次数学考试分数进行统计，结果如下表所示．若分数≥90分则记为“优秀”，成绩在[80，89]之间记为“良好”，分数＜80分则记为“合格”．考试1考试2考试3考试4考试5考试6高一年级848290788893高二年级808689918783（Ⅰ）从学生甲高一年级6次考试中随机选取一次，求其成绩为“良好”的概率；（Ⅱ）从表格中学生甲高一年级和高二年级的考试成绩中分别随机抽取2次，记其中成绩为“优秀”的次数为X，求X的分布列及期望；（Ⅲ）将表格中学生甲高一年级6次考试成绩的方差记作S12；高二年级6次考试成绩的方差记作S22；所有12次成绩的方差记作【分析】（Ⅰ）设事件A为“从学生甲高一年级6次考试中随机选取一次，其成绩为“良好”，代入公式求解即可；（Ⅱ）得到X的所有可能取值和相对应的概率，列出分布列，代入期望公式求解即可；（Ⅲ）结合方差的意义进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设事件A为“从学生甲高一年级6次考试中随机选取一次，其成绩为“良好”，所以P(A)=3（Ⅱ）学生甲在高一年级6次考试中成绩为“优秀”的次数为2次，在高一年级6次考试中成绩为“优秀”的次数为2次，易知X的所有可能取值为0，1，2，3，此时P(X=0)=C41P(X=2)=C41则X的分布列为：X0123P1245224529145故E(X)=0×12（Ⅲ）因为方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大，易知高一年级的考试成绩波动最大，高二年级的考试成绩波动最小．所以S1【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．19．（15分）在椭圆E：x29+y24=1中，过点P（﹣3，2）作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C．椭圆的上顶点为A，直线AB和直线AC（Ⅰ）求椭圆E的长轴长及离心率．（Ⅱ）证明：M，N两点横坐标之和为﹣6．【分析】（Ⅰ）由椭圆的方程可得a，b，c的值，进而可得椭圆的长轴长即离心率的值；（Ⅱ）设直线BC的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出直线AB的方程，令y＝0，可得点M的横坐标，同理可得N的横坐标，求出M，N的横坐标之和，整理可证得结论．【解答】（Ⅰ）解：在椭圆E：x29+y24=1中，可得a2＝9，b2＝4，可得c2可得a＝3，b＝2，c=5可得椭圆的长轴长为2a＝6，离心率e=c（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得椭圆的上顶点A（0，2），设直线BC的方程为y﹣2＝k（x+3），设B（x1，y1），C（x2，y2），联立y=kx+2+3kx29+y24=1，整理可得：（4+9k2）x2+18k（2+3k可得x1+x2=−18k(2+3k)4+9k2，x1直线AB的方程为：y=y1−2x1x+2，令y同理可得xN=−2所以xM+xN＝﹣[2x1k(x=−2k•2⋅81即证得结论．【点评】本题考查椭圆的性质的应用及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．20．（15分）设函数f（x）＝ln（2x+1）+x2﹣4x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）证明：函数f（x）在定义域内有三个零点；（参考数据：1.60＜ln5＜1.61）（Ⅲ）请分别写出过点（﹣1，0），（1，0），（3，0）且与曲线y＝f（x）相切的直线个数．（直接写出答案）【分析】（I）根据导数的几何意义求出切线斜率，得解；（II）求出函数导数，得出导函数的零点，列表可得函数单调区间及极值，再由零点存在性定理得证；（III）设出切点（x0，y0），根据导数几何意义得到切线方程y−ln(2x0+1)−x02+3x0=(22x0+1【解答】解：（I）f′(x)=22x+1+2x−3，f所以切线方程为y＝﹣x；（II）证明：f（x）＝ln（2x+1）+x2﹣3x，x∈(−1f′(x)=22x+1+2x−3，令f'（x）＝0，解得x=1±22；所以，x，f（x(−11−2(1−1+2(1+f'（x）+0﹣0+f（x）7极大值）极小值7所以f（x）的单调递增区间为(−1单调递减区间为(1−因为f（0）＝0，所以f(1−因为f(−25)=ln15f（x）＝ln（2x+1）+x2﹣3x，根据零点存在定理，f（x）在(−25，（III）分别有2条；1条；3条．理由如下：f′(x)=22x+1+2x−3，设切点为（x0，y0切线方程为y−ln(2x因为切线过点（﹣1，0），故−ln(2x即ln(2x0+1)−则q(x)==−2(x+1)(4x2+4x−1)(2x+1)2得x∈(−12，故q（x）在x∈(−12，其中q(−1+22故由零点存在性定理得在(−1故过点（﹣1，0）且与曲线y＝f（x）相切的直线有2条；同理，切线过点（1，0）时，故−ln(2x即ln(2x令w(x)=ln(2x+1)+2−2x故w(x)=22x+1+令w（x）＜0，得x∈(−1令w（x）＞0，得x∈(−1+故w（x）在(−12，其中w(−13)=−ln3+由零点存在性定理得在(−13，−1+22)同理，当切线过点（3，0）时，故−ln(2x即ln(2x0+1)+6−2x02令e（x）＜0，得x∈(−12，故e（x）在(−1在(−1+22e(−1+22)=ln2+72由零点存在性定理得e（x）在(−13，故过（3，0）且与曲线y＝f（x）相切的直线有3条．【点评】本题考查利用导数求解函数的最值及曲线在某点上的切线方程，属于难题．21．（15分）若m行n列的数表（m，n≥3）满足：a11⋯a1n⋮⋱⋮am1⋯amn，aij∈{0，1}（i＝1，2，3，⋯，m；j＝1，2，3，⋯，n），且k=1n|aik−ajk||aik﹣ajk|≠0（i≠j），记这样的数表为A（m，n）．对于数表A（m，n），定义σij=k=1n（Ⅰ）数表A（3，3）=1100111（Ⅱ）是否存在数表A（4，4）满足σij=2，（Ⅲ）若数表A（m，2025）满足当i≠j时，σij≤1，求m的最大值．【分析】（Ⅰ）由aij定义求值即可得；（Ⅱ）理解σij=2，i=j0，i≠j的意义，当i＝j时，σii=k=1naij2，即第i（Ⅲ）理解当i≠j时，σij≤1表示任意两行在至多1列上同时为1，从考虑空集、单元素集、双元素集构成的子集族Ⅱ入手分析其最大元素个数即可得．【解答】解：（Ⅰ）由给定数表A（3.3）=1则σij且σji则σij＝σji；当i＝j时，σijσ11＝1×1+1×1+0×0＝1+1+0＝2；σ22＝0×0+1×1+1×1＝0+1+1＝2；σ33＝1×1+0×0+1×1＝1+0+1＝2；且σ12＝1×0+1×1+0×1＝0+1+0＝1＝σ21；σ13＝1×1+1×0+0×1＝1+0+0＝1＝σ31；σ23＝0×1+1×