2024-2025学年北京青苗学校高二(下)期中数学试卷含答案

2024-2025学年北京市朝阳区青苗学校高二（下）期中数学试卷一、单选题（每题只一个正确答案，每题4分，共计40分）1．（4分）某女生有2件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（）A．7种 B．8种 C．10种 D．12种2．（4分）已知函数f（x）＝sinxcosx，则f（x）的导函数为（）A．f′（x）＝sin2x﹣cos2x B．f′（x）＝cos2x﹣sin2x C．f′（x）＝1 D．f′（x）＝﹣13．（4分）4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，若每个项目都有人报名，每人限报1个项目，则不同的报名方式有（）种．A．81 B．64 C．36 D．724．（4分）函数f（x）＝x3﹣3x+1的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）5．（4分）设A，B为两个事件，若P(A∩B)=13，P(B)=23，则P（A．49 B．19 C．296．（4分）已知随机变量X的分布规律为P（X＝i）＝ai2（i＝1，2，3），则P（X＝2）＝（）A．27 B．13 C．147．（4分）二项式(xA．480 B．240 C．120 D．158．（4分）已知小明射箭命中靶心的概率为35A．36625 B．925 C．1446259．（4分）如图所示是y＝f（x）的导函数是y＝f'（x）的图象，下列4个结论：①f（x）在区间（﹣3，1）上是增函数；②x＝﹣1是f（x）极小值点；③f（x）在区间（2，4）上是减函数，在区间（﹣1，2）上是增函数；④当x＝2时，f（x）在区间[﹣3，5]上取得最大值．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．（4分）已知两个正态分布的密度函数图像如图所示，则（）A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2 C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2二、填空题（每小题8分，共计20分）11．（8分）已知随机变量X的分布列如表，且E（X）＝2，则p＝，D（2X﹣3）＝．X02aP16p1312．（4分）若函数f（x）＝e2x+1，则曲线y＝f（x）在点（0，2）处的切线方程为．13．（4分）如果(1−3x)5=a0+a1x+a2x2+⋯+a5x5，那么14．（4分）设X是一个离散型随机变量，其分布列为如下，则q＝．X024P1254q215．（4分）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以Pn表示没有出现连续3次正面的概率．给出下列四个结论：①P3②P4③当n≥2时，Pn+1＜Pn；④Pn其中，所有正确结论的序号是．三、解答题（每题10分，共计40分）16．已知函数f(x)=13x3−x2（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．17．抽样检查是日常检测中常用的方法．某商场进了一种商品20件，其中有4件次品，若从中抽取3件．（1）抽出的商品中无次品的抽法有多少种？（2）抽出的商品中全是次品的抽法有多少种？（3）抽出的商品中至多有2件次品的抽法有多少种？18．已知(2x−1)6=a0+（1）求a0的值；（2）求a1+a3+a5的值．19．某工厂生产一种产品，产品等级分为一等品、二等品、普通品，为了解各等级产品的比例，检测员从流水线上随机抽取200件产品进行等级检测，检测结果如表所示．产品等级一等品二等品普通品样本数量（件）808040（Ⅰ）若从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为一等品的概率；（Ⅱ）从该流水线上随机抽取3件产品，记其中一等品的件数为X，用频率估计概率，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）为拓宽市场，工厂决定对抽取的200件样本产品进行让利销售，每件产品的销售价格均降低了a元．设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为s12，s22，比较s12，s22的大小．（请直接写出结论）

2024-2025学年北京市朝阳区青苗学校高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BBCDDABDBA一、单选题（每题只一个正确答案，每题4分，共计40分）1．（4分）某女生有2件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（）A．7种 B．8种 C．10种 D．12种【分析】利用分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果．【解答】解：女生有2件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，依题意可知，有两类衣服可选，第一类：选择衬衣和裙子，共有2×3＝6种选择；第二类：选择连衣裙，共有2种选择；所以共有6+2＝8种选择．故选：B．【点评】本题考查分类加法和分步乘法计数原理，属于中档题．2．（4分）已知函数f（x）＝sinxcosx，则f（x）的导函数为（）A．f′（x）＝sin2x﹣cos2x B．f′（x）＝cos2x﹣sin2x C．f′（x）＝1 D．f′（x）＝﹣1【分析】根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．【解答】解：f（x）＝sinxcosx，则f'（x）＝（sinx）'cosx+sinx（cosx）'＝cos2x﹣sin2x．故选：B．【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．3．（4分）4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，若每个项目都有人报名，每人限报1个项目，则不同的报名方式有（）种．A．81 B．64 C．36 D．72【分析】利用分组分配方法求解即可．【解答】解：4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，若每个项目都有人报名，每人限报1个项目，将4名学生分成3个组有C4再将3个组分配到3个兴趣小组有C4故选：C．【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．4．（4分）函数f（x）＝x3﹣3x+1的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）【分析】根据导数的正负即可求解．【解答】解：因为f（x）＝x3﹣3x+1，所以f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1）＞0，解得：x＜﹣1或x＞1，所以函数的单调递增区间是（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了导数和函数单调性的关系，属于基础题．5．（4分）设A，B为两个事件，若P(A∩B)=13，P(B)=23，则P（A．49 B．19 C．29【分析】根据条件公式直接代入运算即可．【解答】解：由题意可知，P(A|B)=P(A∩B)故选：D．【点评】本题主要考查条件概率公式，属于基础题．6．（4分）已知随机变量X的分布规律为P（X＝i）＝ai2（i＝1，2，3），则P（X＝2）＝（）A．27 B．13 C．14【分析】利用分布列的性质求出a，进而可得出答案．【解答】解：已知随机变量X的分布规律为P（X＝i）＝ai2（i＝1，2，3），根据随机变量分布列的性质可知概率和为1，则P（X＝1）+P（X＝2）+P（X＝3）＝a+4a+9a＝1，解得a=1所以P(X=2)=4a=4×1故选：A．【点评】本题考查了离散型随机变量分布列的性质，属于中档题．7．（4分）二项式(xA．480 B．240 C．120 D．15【分析】运用通项公式计算即可．【解答】解：因为二项式(x2+得到常数项，令12﹣3r＝0，则r＝4．则常数项为C6故选：B．【点评】本题考查二项式定理相关知识，属于中档题．8．（4分）已知小明射箭命中靶心的概率为35A．36625 B．925 C．144625【分析】利用二项分布的概率计算公式求解．【解答】解：由已知命中的概率为35，不命中的概率为2故小明在射击4次后，恰好命中两次的概率是P=C故选：D．【点评】本题考查二项分布的概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（4分）如图所示是y＝f（x）的导函数是y＝f'（x）的图象，下列4个结论：①f（x）在区间（﹣3，1）上是增函数；②x＝﹣1是f（x）极小值点；③f（x）在区间（2，4）上是减函数，在区间（﹣1，2）上是增函数；④当x＝2时，f（x）在区间[﹣3，5]上取得最大值．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由已知结合导数与单调性关系分析各结论即可判断．【解答】解：当﹣3＜x＜1时，导数有正有负，故函数在（﹣3，1）上不单调，①错误；当x＜﹣1时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x＞﹣1时，f′（x）＞0，函数单调递增，故当x＝﹣1时，函数取得极小值，②正确；当2＜x＜4时，f′（x）＜0，f（x）在区间（2，4）上是减函数，当﹣1＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，2）上单调递增，③正确；结合图象可知，函数在[﹣3，﹣1]上单调递减，在[﹣1，2]上单调递增，在[2，4]上单调递减，在[4，5]上单调递增，所以x＝2，函数取得极大值，但不一定为最大值，④错误．故选：B．【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．10．（4分）已知两个正态分布的密度函数图像如图所示，则（）A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2 C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2【分析】根据已知条件，结合图象，即可直接求解．【解答】解：由图可得，μ1＜μ2，图象越“瘦高”，则方差越小，即σ1＜σ2．故选：A．【点评】本题主要考查正态分布曲线的特点，考查转化能力，属于基础题．二、填空题（每小题8分，共计20分）11．（8分）已知随机变量X的分布列如表，且E（X）＝2，则p＝12，D（2X﹣3）＝4X02aP16p13【分析】先根据概率之和为1，求出p的值，再根据数学期望公式，求出a的值，再根据方差公式求出D（X），继而求出D（2X﹣3）．【解答】解：p＝1−1∴E（X）＝0×16+2×12∴D（X）=16（0﹣2）2+12（2﹣2）2∴D（2X﹣3）＝22D（X）＝4，故答案为：12【点评】本题考查期望、方差和分布列中各个概率之间的关系，解决此类问题的关键是熟练掌握离散型随机变量的分布列与数学期望，是基础题．12．（4分）若函数f（x）＝e2x+1，则曲线y＝f（x）在点（0，2）处的切线方程为2x﹣y+2＝0．【分析】利用导函数求得f′（0）即为切线斜率，写出直线点斜式方程，整理得到结果．【解答】解：因为f（x）＝e2x+1，所以f′（x）＝2e2x，所以f′（0）＝2，所以所求切线方程为y﹣2＝2x，即2x﹣y+2＝0．故答案为：2x﹣y+2＝0．【点评】本题考查函数的切线的求解，属基础题．13．（4分）如果(1−3x)5=a0+a1x+a2x2+⋯+a5x5，那么【分析】利用赋值法分别令x＝1，x＝0，化简求值即可．【解答】解：(1−3x)5令x＝1，则原式＝（1﹣3×1）5＝a0+a1+a2+a3+a4+a5＝﹣32，令x＝0，则原式＝（1﹣3×0）5＝a0＝1，所以a1+a2+a3+a4+a5＝a0+a1+a2+a3+a4+a5﹣a0＝﹣32﹣1＝﹣33．故答案为：﹣33．【点评】本题主要考查二项式系数的性质，属于基础题．14．（4分）设X是一个离散型随机变量，其分布列为如下，则q＝12X024P1254q2【分析】根据随机变量的概率非负不大于1，且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，列出方程和不等式，解方程组即可．【解答】解：根据题意，由分布列的性质，可得12解得q=12或又由0≤54−2q≤1且0≤解得18故q=1故答案为：12【点评】本题考查随机变量的分布列，涉及分布列的计算，属于基础题．15．（4分）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以Pn表示没有出现连续3次正面的概率．给出下列四个结论：①P3②P4③当n≥2时，Pn+1＜Pn；④Pn其中，所有正确结论的序号是①③④．【分析】对于①，利用对立事件和相互独立事件概率乘法公式能求出P3；对于②，利用列举法能求出P4；对于④，如果第n次出现反面，那么前n次不出现连续三次正面和前n﹣1次不出现连续三次正面是相同的，这个时候不出现连续三次正面的概率是12×Pn−1；如果第n次出现正面，第n﹣1次出现反面，那么前n次不出现连续三次正面和前n﹣2次不出现连续三次正面是相同的，这个时候不出现连续三次正面的概率是14×Pn−2；如果第n次出现正面，第n﹣1次出现正面，第n﹣2次出现反面，那么前n次不出现连续三次正面和前n﹣3次不出现连续三次正面是相同的，这时候不出现三次连续正面的概率是18×Pn−3，由此能求出Pn（n≥4）；对于③，由n≥4时，{Pn}单调递减，P1＝P2＞P3＞【解答】解：对于①，将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以Pn表示没有出现连续3次正面的概率，∴P3＝1﹣（12）3=78对于②，又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：正正正正或正正正反或反正正正，∴P4＝1−316=对于④，共分三种情况：（i）如果第n次出现反面，那么前n次不出现连续三次正面和前n﹣1次不出现连续三次正面是相同的，∴这个时候不出现连续三次正面的概率是12（ii）如果第n次出现正面，第n﹣1次出现反面，那么前n次不出现连续三次正面和前n﹣2次不出现连续三次正面是相同的，∴这个时候不出现连续三次正面的概率是14（iii）如果第n次出现正面，第n﹣1次出现正面，第n﹣2次出现反面，那么前n次不出现连续三次正面和前n﹣3次不出现连续三次正面是相同的，∴这时候不出现三次连续正面的概率是18综上，Pn=12×Pn−1对于③，由④知，n≥4时，{Pn}单调递减，又P1＝P2＞P3＞P4，∴n≥2时，数列{Pn}单调递减，即当n≥2时，Pn+1＜Pn，故③正确．故答案为：①③④．【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题（每题10分，共计40分）16．已知函数f(x)=13x3−x2（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．【分析】（1）先求出函数的导函数，由切线方程可得f′（0）＝﹣3，f（0）＝2，进而可求函数解析式；（2）求函数的导函数，令f′（x）＞0，f′（x）＜0，求得函数的单调区间，进而可求极值．【解答】解：（1）f(x)=13x3−x2+ax+b，则f′（x函数图像在（0，f（0））处的切线方程是3x+y﹣2＝0，所以f′（0）＝﹣3，f（0）＝2＝b，解得b＝2，a＝﹣3，∴f(x)=1（2）由（1）可知f(x)=1则f′（x）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），令f′（x）＞0，解得x＞3或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜3，则函数f（x）在（﹣∞，﹣1）和（3，+∞）上单调递增，f（x）在（﹣1，3）上单调递减，所以函数在x＝﹣1处取得极大值，f(−1)=113；在x＝3处取得极小值，【点评】本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，还考查了导数集合意义在切线方程求解中的应用，属于中档题．17．抽样检查是日常检测中常用的方法．某商场进了一种商品20件，其中有4件次品，若从中抽取3件．（1）抽出的商品中无次品的抽法有多少种？（2）抽出的商品中全是次品的抽法有多少种？（3）抽出的商品中至多有2件次品的抽法有多少种？【分析】（1）（2）（3）根据已知并应用组合数求抽出的商品中无次品、全是次品、至多有2件次品的抽法数．【解答】解：（1）因为20件商品中，有4件次品，所以有16件非次品，则抽出的商品中无次品的抽法有C16（2）因为20件商品中，有4件次品，所以抽出的商品中全是次品的抽法有C4（3）因为20件商品中，有4件次品，有16件非次品，所以抽出的商品中至多有2件次品的抽法有C16【点评】本题主要考查了简单的组合问题，属于基础题．18．已知(2x−1)6=a0+（1）求a0的值；（2）求a1+a3+a5的值．【分析】（1）令x＝0，可得出a0的值；（2）分别令x＝1、x＝﹣1，两式相减可得出a1+a3+a5的值．【解答】解：因为(2x−1)6=a0+（1）令x＝0得，a0＝1．（2）令x＝1得，a0