2025年北京广渠门中学高二（下）期中数学试卷含答案

2025北京广渠门中学高二（下）期中数学时间：120分钟2025.4本试卷共2页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．一选择题（共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则（）A.5 B.6 C.7 D.82.已知函数，则（）A.1 B. C.2 D.43.五声音阶（汉族古代音律）是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫，商，角，徵，羽．若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，可排成不同的音序的种数为（）A.12种 B.48种 C.72种 D.120种4.已知，则（）A.1 B.2 C. D.5.已知一组数据的平均数为，方差为，则另一组数据，，，，的平均数、方差分别为（）A.， B.， C.， D.，6.（2017.唐山市二模）已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.97.已知函数，则“”是“在其定义域内的子区间上不单调”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则对于任意，，下列结论正确的是（）A. B.是增函数C. D.9.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（）A.3 B.2 C.1 D.010.已知函数，，若成立，则的最大值为（）A. B. C. D.二填空题（共25分）11.的展开式中常数项是__________（用数字作答）．12.从10名大学毕业生中选3个人担任村主任助理，则甲､乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为___________.13.某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为，，，乘火车迟到的概率为，乘轮船迟到的概率为，乘飞机不会迟到，则这个人迟到的概率为___________．14.已知函数的定义域为，，对任意，则的解集为____________．15.已知，，则下列说法正确的有___________．①的值域为；②时，恒有极值点；③恒有零点；④对于，恒成立．三解答题（共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16.已知函数．（1）求的单调区间；（2）若在区间上的取值范围是，求实数的取值范围．17.袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．（1）若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，求的分布列；（2）若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为，求的分布列、期望和方差．18.周末李梦提出和父亲､母亲､弟弟进行羽毛球比赛，李梦与他们三人各进行一场比赛，共进行三场比赛，而且三场比赛相互独立.根据李梦最近分别与父亲､母亲､弟弟比赛的情况，得到如下统计表：父亲母亲弟弟比赛的次数506040李梦获胜的次数103032以上表中的频率作为概率，求解下列问题.（1）如果按照第一场与父亲比赛､第二场与母亲比赛､第三场与弟弟比赛的顺序进行比赛.（i）求李梦连胜三场的概率；（ii）如果李梦胜一场得1分，负一场得0分，设李梦的得分为X，求X的分布列与期望；（2）记“与父亲､母亲､弟弟三场比赛中李梦连胜二场”的概率为p，此概率p与父亲，母亲，弟弟出场的顺序是否有关？如果有关，什么样的出场顺序使概率p最大（不必计算）？如果无关，请给出简要说明.19.已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C上异于A，B的一点，直线AM与y轴交于点P．（Ⅰ）若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；（Ⅱ）设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且AQ∥BM，求证：∠PFQ为定值．20.已知函数.（1）若曲线在点处的切线为轴，求的值；（2）讨论在区间内极值点的个数；（3）若在区间内有零点，求证：.21.在个实数组成的行列的数表中，表示第行第列的数．记，．若，且，，，，，，，两两不等，则称此表为“阶表”．记．（1）请写出一个“阶表”；（2）对任意一个“阶表”，若整数，且，求证：为偶数；（3）是否存在“阶表”？若存在，请写出一个“阶表”；若不存在，请说明理由．参考答案一选择题（共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.【答案】B【详解】因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故，得.故选：B2.【分析】根据题意，结合导数的运算法则和导数的定义，即可求解.【详解】由题意知，，又由，则，所以故选：A．3.【分析】先排其它三个，然后在空档插入宫、羽两音节即可得．【详解】先排其它三个，然后在空档插入宫、羽两音节，方法数为.故选：C．4.【答案】D【详解】由，可得，所以.故选：D.5.【答案】D【详解】因为一组数据的平均数为，方差为，所以另一组数据，，，，的平均数为，方差为.故选：D6.【答案】C【详解】设第一个路口遇到红灯的事件为A，第二个路口遇到红灯的事件为B，则P（A）=0.5，P（AB）=0.4，则P（B丨A）==0.8，故选C．7.【答案】A【详解】假设在其定义域内的子区间上不单调，由，得或（舍去），所以，解得，所以的取值范围为.所以“”是“在其定义域内的子区间上不单调”的充分不必要条件.故选：A.8.【答案】D【详解】由导函数的图象可知，导函数的图象在轴下方，即恒有，且其绝对值越来越小，因此过函数图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，即其图象下凸，且函数是减函数，故B错误；但无法判断的函数值符号，故A错误；对于C，D，如图，设直线分别与的图象交于点，连接，设直线交线段于点，交函数的图象于点，则，由图可知，即fx1+fx22>f(故选：D.9.【答案】C【详解】，设是函数在上的“拉格朗日中值点”，则，即，令，则求在上的零点个数，时，，所以在上单调递增，又，所以在上只有一个零点，即函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为1，故选：C.10.【答案】A【详解】解：不妨设，，，，即，，故，令，，，故在上是减函数，且，当时，，当时，，即当时，取得极大值同时也是最大值，此时，即的最大值为，故选：．二填空题（共25分）11.【答案】【分析】写出二项式展开通项，即可求得常数项.【详解】其二项式展开通项：当，解得的展开式中常数项是：.故答案为：.12.【答案】49【详解】丙没有入选，把丙去掉，相当于从9个人中选3人，甲､乙至少有1人入选，分为两种情况：甲乙两人只有一人入选；甲乙两人都入选.甲乙两人只有一人入选，选法有种；甲乙两人都入选，选法有种.所以，满足题意的选法共有种.故答案为：49.13.【答案】0.18##【详解】设事件“乘火车”，“乘轮船”，“乘飞机”，“迟到”，则，，因，且两两互斥，故.故答案为：0.18.14.【答案】.【详解】设，可得，因为对任意，所以，所以在为单调递增函数，又由，可得，所以当时，，即不等式的解集为.故答案为：.15.【答案】②③④【详解】设，则即，则，，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，即得，即的值域不是，故①错误；由①可知，时，是的极值点，故②正确；若有零点，则有实根.当时，与恒有交点；当时，由①知，，且在上单调递增，在上单调递减.当时，函数与在第三象限有交点；当时，函数与在第四象限有交点，故与恒有交点，故③正确；因，设，，则，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故，即恒成立，故④正确.综上可得，说法正确的有②③④.故答案为：②③④.三解答题（共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16.【答案】（1）在和单调递增，在上单调递减（2）【小问1详解】由，可得，令，可得，解得或，令，可得，解得，所以在和单调递增，在上单调递减；【小问2详解】因为，又，又由（1）可知在上单调递增，由在区间上的取值范围是，所以，又在上单调递减，且，又在上单调递增，且，所以，所以实数的取值范围为．17.【答案】（1）分布列见解析（2）分布列见解析，，【小问1详解】若每次抽取后都放回，则每次抽到黑球的概率均为，而3次取球可以看成3次独立重复试验，因此，所以，，，，因此X的分布列为：X0123P【小问2详解】由题意，的所有取值为，则，，，因此，Y的分布列为：Y012P所以，.18.【答案】（1）（i）；（ii）答案见解析（2）有关，出场顺序为妈妈弟弟爸爸或爸爸弟弟妈妈【小问1详解】李梦与爸爸比赛获胜概率为；与妈妈比赛获胜概率为；与弟弟比赛获胜概率为；则李梦连胜三场的概率为，的可能取值为，则；；；.故分布列为【小问2详解】若出场顺序为爸爸妈妈弟弟：；若出场顺序为爸爸弟弟妈妈：；若出场顺序为妈妈爸爸弟弟：；若出场顺序为妈妈弟弟爸爸：；若出场顺序为弟弟妈妈爸爸：；若出场顺序为弟弟爸爸妈妈：；故与出场的顺序有关，出场顺序为妈妈弟弟爸爸或爸爸弟弟妈妈概率p最大.19.【答案】（Ⅰ）kAM∈（，0）（0，）；（Ⅱ）见解析【详解】Ⅰ）由题意可得c2＝a2﹣2，∵e，∴a＝2，c，∴椭圆的方程为1，设P（0，m），由点P在椭圆C的内部，得m，又∵A（﹣2，0），∴直线AM的斜率kAM∈（，），又M为椭圆C上异于A，B的一点，∴kAM∈（，0）（0，），（Ⅱ）由题意F（，0），M（x0，y0），其中x0≠±2，则1，直线AM的方程为y（x+2），令x＝0，得点P的坐标为（0，），∵kBM=kAQ，∴直线AQ的方程为y（x+2），令x＝0，得点Q的坐标为（0，），由（，），（，），∴•20，∴⊥，即∠PFQ＝90°，故∠PFQ为定值20.【答案】（1）（2）答案见解析（3）证明见解析【小问1详解】由得：，依题意，，得.经验证，在点处的切线为，所以.【小问2详解】由题得.（i）若，当时，恒成立，所以在区间上单调递增，所以无极值点.（ii）若，当时，，故在区间上单调递减，当时，，故在区间上单调递增.所以为的极小值点，且无极大值点.综上，当时，在区间内的极值点个数为0；当时，在区间内的极值点个数为1.【小问3详解】由（2）知当时，在区间上单调递增，所以，在区间内无零点.当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.所以.若在区间内有零点，则.而，设，则.设，则，所以在区间上单调递增.所以，即.所以在区间上单调递增.所以，即.又，所以.21.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（3）不存在，理由见解析【小问1详解】根据题意，可得出一个“阶表”如下表所示：【小问2详解】对任意一个“阶表”，表示第行所有数的和，表示第列所有数的和，均表示数表中所有数的和，所以.因为，所以，，……，，，，……，只能取内的整数.又因为，，……，，，，……，互不相等，且，所以{，，，……，，，，……，，……，-1，0，1，……，，所以所以偶数.【小问3详解】假设存在一个“阶表”，则