2025年北京牛栏山一中高二（下）期中数学试卷含答案

2025北京牛栏山一中高二（下）期中数学2025.05第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.函数，则的值为（）A.3 B.4 C.5 D.62.已知为等差数列，记为其前n项和，若，则（）A.3 B.7 C.13 D.23.函数部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.4.学校要从5名男生和3名女生中选择2人组成“研学团”，在男生甲被选中的条件下，研学团中男生人数多于女生的概率为（）A. B. C. D.5.下列函数中，在处的导数值为1的是（）A. B. C. D.6.已知等比数列，首项，则“数列单调递增”是“数列单调递增”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知数列满足：对于，均有，且，则（）A.16 B.32 C.64 D.1288.数列是递增的整数数列，且，，则n的最大值为（）A.15 B.16 C.17 D.189.对于函数，定义集合。若，则下列结论中正确的是（）A.可能为函数极大值点 B.1可能为函数极大值点C.函数在上单调递增 D.函数可能为偶函数10.数列，的通项公式分别为，，数列满足，记为数列前n项和，则（）A.124 B.128 C.132 D.136第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡上.11.的展开式中的常数项为________．12.函数的图像关于原点对称，且在其点处的切线方程为，则点A关于原点的对称点处的切线方程为________．13.已知数列是公差不为零的等差数列．，则________．14.已知函数，下列结论中正确的是________．①函数仅有1个零点；②函数有极大值，也有极小值；③函数有最小值，无最大值；④函数的图象与直线有2个交点．15.已知函数，若函数无最小值，则a的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知数列为等差数列，且，．数列为等比数列，且，．（1）求数列和的通项公式；（2）求的前n项和．17.函数在处取得极值．（1）求a；（2）求的单调区间．18.为了解学生甲在高中阶段数学学习的具体情况，现对其在高一年级和高二年级所参加的6次数学考试分数进行统计，结果如下表所示．若分数分则记为“优秀”，成绩在之间记为“良好”，分数分则记为“合格”．考试1考试2考试3考试4考试5考试6高一年级848290788893高二年级808689918783（1）从学生甲高一年级6次考试中随机选取一次，求其成绩为“良好”的概率；（2）从表格中学生甲高一年级和高二年级的考试成绩中分别随机抽取2次，记其中成绩为“优秀”的次数为X，求X的分布列及期望；（3）将表格中学生甲高一年级6次考试成绩的方差记作；高二年级6次考试成绩的方差记作；所有12次成绩的方差记作，写出：，，的大小关系．（结论不要求证明）19.在椭圆中，过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C．椭圆的上顶点为A，直线AB和直线AC分别交x轴于点M，N．（1）求椭圆E的长轴长及离心率；（2）证明：M，N两点横坐标之和为．20.设函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：函数在定义域内有三个零点；（参考数据：）（3）请分别写出过点，，且与曲线相切的直线个数．（直接写出答案）21.若m行n列的数表满足：，且，记这样的数表为．对于数表，定义为数表中第i行和第j行的积，其中，．（1）数表，直接写出的所有取值；（2）是否存在数表满足？若存在，写出一个这样的，若不存在，请说明理由；（3）若数表满足当时，，求m的最大值．

参考答案第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】A【分析】利用导数的定义，以及导数的运算法则，即可求解．【详解】，∴，故．故选：A．2.【答案】C【分析】由及已知，即可求.【详解】由.故选：C3.【答案】A【分析】根据导数与切线斜率的关系判断即可.【详解】根据图像知道，在处图像单调递增趋势，切线斜率为正，且处越陡，则斜率越大，则.在处图像单调递减趋势，斜率为负，则.综上所得.故选：A.4.【答案】B【分析】设事件为研学团中男生人数多于女生，事件为男生甲被选中，分别求出，再根据条件概率的公式求解即可.【详解】事件为研学团中男生人数多于女生，设事件为男生甲被选中，则事件为男生甲被选中且研学团中男生人数多于女生.所以，，所以在男生甲被选中的条件下，研学团中男生人数多于女生的概率为.故选：B5.【答案】D【分析】根据简单复合函数求导方法，对各选项求导，计算导函数值，判断正误.【详解】函数，，则，所以A错误.函数在不可导，所以B错误.函数，，则，所以C错误.函数，，则，故选：D.6.【答案】A【分析】根据等比数列的单调性和首项与公比之间的关系，判断出两个数列递增对公比的要求即可.【详解】设等比数列的公比为，当首项，数列单调递增，则.数列，则数列，首项为，公比为，当数列单调递增时，若时，则，即，若时，首项，则，即，所以当数列单调递增时或.所以由“数列单调递增”能推出“数列单调递增”，由“数列单调递增”不能推出“数列单调递增”，所以在等比数列，首项条件下，“数列单调递增”是“数列单调递增”的充分不必要条件，故选：A.7.【答案】C【分析】因为，所以依次将，，代入，即可求出.【详解】因为对于，均有，所以令，有，令，有，令，有.故选：C.8.【答案】C【分析】假设数列为最小递增整数数列：2，3，4，……，此时为等差数列，利用等差数列求和得到当时，，当时，，从而确定的最大值为17．【详解】为使最大，则数列各项应尽可能小，假设数列为最小递增整数数列：2，3，4，……，此时为等差数列，公差为1，故通项公式为，其和为，显然随着的增大，增大，当时，，当时，，故当时，不妨令整数数列为满足要求.综上，的最大值为17．故选：C．9.【答案】B【分析】由，故，所以在单调递增，且，然后分别对每个选项说明即可，A选项，存在，使得；B选项，举出符合题意的函数即可；C选项，函数符合在单调递增，且，但不在上单调递增；D选项，因为在单调递增，从而不可能为偶函数.【详解】由题，，即，故在单调递增，且，对于A选项：若为函数极大值点，则存在，使得，而，不满足题意，故A不正确；对于B选项：函数符合，故成立；对于C选项：函数符合题意，但此时函数在上不单调递增，故C不正确；对于D选项：因为在单调递增，所以函数不可能为偶函数，故D不正确.故选：B.10.【答案】D【分析】根据数列通项公式，分别求出前7项，写出数列前7项求和.【详解】因为，所以，因为，所以，所以数列前7项为，则.故选：D.第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡上.11.【答案】【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可.【详解】的展开式的通项公式为，，令，则，所以展开式中常数项为.故答案为：.12.【答案】【分析】先根据函数图像关于原点对称得出函数为奇函数，再利用奇函数的性质求出点关于原点对称点的坐标，最后根据奇函数导数的性质求出对称点处的切线方程.【详解】已知点，可得点关于原点的对称点的坐标为.因为点在切线上，将代入切线方程可得，所以的坐标为.因为的图像关于原点对称，所以是奇函数，即.对两边同时求导，根据复合函数求导法则可得：，即，这表明奇函数的导函数是偶函数.已知函数在点处的切线方程为，可得.因为是偶函数，所以，即函数在点处的切线斜率为.根据点斜式方程可得函数在点处的切线方程为，即，化简可得.故答案为：.13.【答案】【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式，求出首项和公差的等量关系，求出结果即可.【详解】设数列是首项，公差，因为，所以，化简得，所以.故答案为：.14.【答案】①②③【分析】根据函数的性质，借助导数工具和函数图像，分别对函数的零点、极值、最值以及与直线的交点情况进行分析判断.【详解】令，因为恒成立，所以，解得，即函数仅有个零点，故①正确.对求导，则.令，即，因为恒成立，所以，解得或.当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增.所以是极大值点，是极小值点，函数有极大值，也有极小值，故②正确.由上述单调性分析可知，在处取得极小值，也是最小值，.当时，，所以函数无最大值，故③正确.，，且当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以函数的图象与直线有3个交点，故④错误.故答案为：①②③.15.【答案】【分析】由导函数得到分段函数的单调性，结合特殊点函数值，得到不等式，求出答案.【详解】当时，，，令，则恒成立，故在上单调递增，注意到，故当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，其中，当时，，其在上单调递增，且，要想无最小值，需满足，即，解得，故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1），（2）【分析】（1）直接利用来求解即可；（2）利用分组求和法，然后利用公式法分别求和，再相减．【小问1详解】解：由于数列为等差数列所以，解得，所以．由于数列为等比数列所以，解得，所以．【小问2详解】．17.【答案】（1）1（2）单调递增区间为，；单调递减区间为，．【分析】（1）根据函数的极值点和函数导数零点之间的对应关系，对函数求导，求出参数.（2）根据函数单调区间和导函数之间的关系，对函数求导，列出不等式求解，写出单调区间.【小问1详解】因为函数在处取得极值，所以所以，解得．经检验，当时，，，可知在左右两侧导函数符号不同，所以符合题意．【小问2详解】；令，解得所以，x，，的关系如下表：x012000极大值极小值极大值所以的单调递减区间为，；单调递增区间为，．18.【答案】（1）（2）分布列见解析，1（3）【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解.（2）先确定的可能取值，然后分别计算每个取值的概率，进而得到分布列，再根据期望公式计算期望.（3）根据方差的意义判断，，的大小关系，方差是用来衡量一组数据波动大小的量.【小问1详解】设事件A为“从学生甲高一年级6次考试中随机选取一次，其成绩为良好”．所以．【小问2详解】学生甲在高一年级6次考试中成绩为“优秀”的次数为2次，在高一年级6次考试中成绩为“优秀”的次数为2次．由题意得X的可能取值为0，1，2，3．且，，，，所以X的分布列为：X0123P所以．【小问3详解】方差衡量数据波动大小，观察成绩：高一年级成绩：84，82，90，78，88，93，数据相对分散，波动大，所以方差较大.高二年级成绩：80，86，89，91，87，83，数据相对集中，波动小，方差较小.把高一高二12次成绩合起来，整体波动程度介于高一、高二各自波动程度之间，所以方差满足.19.【答案】（1）长轴长为6，离心率为．（2）证明见解析【分析】（1）根据椭圆方程求，再根据椭圆的性质，即可求解；（2）首先直线与椭圆方程联立，表示根与系数的关系，并利用点的坐标，分别表示直线和，并求点的坐标，利用韦达定理表示点的横坐标之和，即可证明.【小问1详解】由椭圆方程得，，；所以，所以，；所以椭圆长轴长为6，离心率为．【小问2详解】设点，，，，设直线，联立方程，消去y可得：则；；椭圆上顶点A坐标为，所以直线；直线；将，分别代入直线AB、AC解得；；所以所以将、代入解得，得证．20.【答案】（1）（2）证明见解析（3）2条；1条；3条，理由见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，得解；（2）求出函数导数，得出导函数的零点，列表可得函数单调区间及极值，再由零点存在性定理得证；（3）设出切点，根据导数几何意义得到切线方程，将代入，得到，构造函数，求导，得到函数单调性，结合零点存在性定理得到根的个数，从而确定过点且与曲线相切的直线有2条，同理可得过，且与曲线相切的直线条数.【小问1详解】，，，所以切线方程为．【小问2详解】．，令，解得；所以，x，，的关系如下表：x00极大值极小值所以的单调递增区间为，；单调递减区间为；因为，所以，因为，，根据零点存在定理，在，，上各自存在一个零点，得证.【小问3详解】分别有2条；1条；3条.理由如下：，设切点为，则切线斜率为，切线方程为，因为切线过点，故，，即，令，则，，其中令得，令得，故在上单调递增，在上单调递减，其中，，，故由零点存在性定理得在上分别存在一个零点，故过点且与曲线相切的直线有2条；同理，切线过点时，故，即，令，故，，令得，令得，故在上单调递减，在上单调递减，其中，，，由零点存在性定理得在上存在唯一零点，故过点且与曲线相切的直线有1条；同理，当切线过点时，故，即，令，，，令得，令得，故在上单调递减，在上单调递增，其中，，，，由零点存在性定理得在，，内分别有1个零点，故过且与曲线相切的直线有3条.21.【答案】（1）（2）不存在，理由见解析（3）【分析】（1）由定义求值即可得；（2）理解的意义，当时，即第行的个数；当时，即第两行所有列两项之积的和，由此分析的可能位置产生矛盾；（3）理解当时，表示任意两行在至多列上同时为，从考虑空集、单元素集、双元素集构成的子集族入手分析其最大元素个数即可得.【小问1详解】由给定数表，则，且，则；当时，；；；且；；；故的所有取值共有两个.【小问2详解】由题意知，，由，可知任意两行互异.当时，，由，则即第行的个数；当时，即第两行所有列两项之积的和.故由可知，即每行恰有两个；且，即任意两行都没有同时为的列；由数表共行列，每行中列中任选不同的列，这两项为，其余两项为；而任意两行都没有同时为的列，则行应有共个不同的列，其项都为，但数表仅列，故不存在这样